Presentazione a cura della ANNUNZIATA DI BIASE INSIEMI Presentazione a cura della Prof.ssa ANNUNZIATA DI BIASE Ottobre 2014

Indice Concetto di Insieme Sottoinsieme Complementare Operazioni Partizione

Rifletti…. Puoi dare la definizione di insieme? NO. Perché? Il concetto di insieme è un CONCETTO PRIMITIVO

Ricordi….. Cos’è un concetto primitivo? Un concetto primitivo è un concetto che non si può definire, ma serve a determinare altri concetti che si chiamano concetti derivati. Conosci altri concetti primitivi? Quali?

Come è formato un insieme? Un INSIEME in senso matematico è formato da un raggruppamento di elementi che devono avere una caratteristica comune che deve essere chiara e specifica. Tale caratteristica deve essere oggettiva e non soggettiva, perché preso un elemento esterno ad esso, dobbiamo essere in grado di stabilire, senza dubbi e senza incertezze, se l’elemento considerato appartiene o non all’insieme. In uno stesso insieme si possono avere anche più caratteristiche, ma devono essere tutte oggettive.

“Gli studenti belli ” formano un Insieme???

Rifletti….. Perchè ??? La bellezza come la bontà, la simpatia, ecc.. Sono caratteristiche soggettive e non oggettive e quindi possono dare adito a dubbi e incertezze. Esempi di insiemi matematici: 1) N = insieme dei Numeri Naturali = {0,1,2,3, …}   2) L'insieme degli scolari del primo anno di una scuola elementare (1°A), ha come caratteristica oggettiva comune l’appartenenza dei singoli alunni ad una medesima classe nel medesimo istituto.

3) La terra può essere definita come l’insieme formato da tutti gli oceani e le terre emerse appartenenti al nostro pianeta oppure come l’insieme costituito da questi elementi. Tale insieme è finito. 4) Gli insiemi numerici come: N insieme dei numeri naturali, Z insieme dei numeri interi relativi, Q insieme dei numeri razionali relativi, R insieme dei numeri reali relativi, ecc. Tali insiemi sono infiniti.

Gli oggetti, le persone, ecc Gli oggetti, le persone, ecc. che formano un insieme si definiscono elementi. Essi devono essere riconoscibili e distinti fra loro. Generalmente gli insiemi sono indicati con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino A, B, C… mentre gli elementi che li compongono sono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto latino a, b, c… In un insieme non ha importanza né la natura degli elementi, né che essi siano dello stesso tipo e né l’ordine in cui essi sono disposti, ma quello che conta è che NON bisogna ripetere lo stesso elemento e che dato un insieme, si possa con “assoluta precisione” dire se un dato elemento appartiene, oppure no, ad esso.

Rifletti…… Adesso, trovane tu altri….. Può esistere un insieme che NON ha elementi ??? Certo!!! E’ detto insieme vuoto. Si indica con  oppure con { }. Un esempio ? Le galline con tre zampe !!! Può esistere un insieme che ha un solo elemento ??? Certo!!! E’ detto insieme unitario. Un esempio ? I numeri primi compresi tra 4 e 6!!! Adesso, trovane tu altri…..

Ricordi la simbologia ? APPARTENENZA “” e “Ï” Considera A = {numeri pari < 10} 3 non appartiene all’insieme A : si scrive 3 Ï A 2 appartiene all’insieme A : si scrive 2 ÎA APPARTENENZA “” e “Ï”

U A B a  e  b  f  d c  B = b; d A = a; b; d; e; f Esempio: consideriamo l’insieme U formato dagli elementi a; b; c; d; e; f, si ha: U B = b; d A a  B A = a; b; d; e; f e  b  f  U = a; b; c; d; e; f d c  a  A, a  U, a  B, b  B, b  A, b  U c  U, c  B, c  A

Dato l’insieme A = { 2, 3, 5, 7 } indica quali delle seguenti affermazioni sono vere o false: a) 2 A V F b) c A V F c) 3 A V F d) 4 A V F

Ti ricordi come si rappresenta un Insieme ? Per rappresentare un insieme abbiamo tre possibilità: Rappresentazione estensiva o tabulare o per elencazione: A = {0, 1, 2, 3, 4} 2) Rappresentazione intensiva o caratteristica: A = {x  x  N e x < 5} A 3) Rappresentazione mediante i diagrammi di Eulero – Venn: 4 1 3 2 0

1.Nella forma tabulare o per elencazione o estensiva vengono elencati TUTTI gli elementi uno accanto all’altro separati da un punto e virgola e chiusi in una parentesi graffa. A = {2, 4, 6, 8, 10} 2. Nella forma intensiva o caratteristica non si scrivono gli elementi, ma A è l’insieme degli x (elementi) che soddisfano la proprietà caratteristica P(x). A = {x/x è un numero pari £ 10} 3. Mediante diagrammi di Eulero - Venn (rappresentazione grafica della forma tabulare) si elencano TUTTI gli elementi dell’insieme all’interno di una figura geometrica e contrassegnati da un punto.

A A = Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna 1 Marta  Esempio: rappresentare l’insieme che chiameremo “A” di tutti gli amici di Marco che sono: Andrea, Marta, Simone, Matteo, Anna, Martina. A Con i diagrammi di Eulero Venn: 1 Marta  Simone  Andrea  Martina Attraverso la rappresentazione tabulare (estensiva): Matteo  Anna 2 A = Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva): 3 A = xx è amico di Marco

Rifletti….. I tre modi di rappresentazione NON sono del tutto equivalenti. Perché??? Per gli insiemi infiniti è corretta solo la forma caratteristica. Per gli insiemi finiti le forme corrette sono la forma tabulare e il diagramma di Eulero - Venn.

B  A Cos’è un sottoinsieme? Un insieme può essere contenuto in un altro A 0 B 4 1 2 3 Si dice allora che B è un sottoinsieme di A: B  A

Si dice che un insieme B è sottoinsieme di un insieme A (B incluso o contenuto in A) quando TUTTI gli elementi di B appartengono anche ad A. Esempio: L’ insieme dei numeri pari è un sottoinsieme dei numeri naturali.

Descrizione formale della relazione di INCLUSIONE B Ì A Û (" x Î B) Þ (x Î A) A B

SOTTOINSIEMI PROPRI, inclusione stretta “ “ Un sottoinsieme si dice PROPRIO se il numero degli elementi è inferiore all’insieme principale. A a  B e  b  f  L’insieme Universo U è l’insieme che racchiude TUTTI i sottoinsiemi. d c  U = a;b; c;d;e;f A = a;b; d;e;f B = b; d b; d  B a; b; d  A d  B

SOTTOINSIEMI IMPROPRI, inclusione larga “” I sottoinsiemi impropri sono solo due: il vuoto e se stesso e sé stesso A a  B Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di sé stesso C b  d A  A, B  B,….. c  L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di ogni insieme   C,   B, …..

SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ” B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A A B  A a  B C ALTRI SOTTOINSIEMI IMPROPRI SONO IL VUOTO E L’INSIEME STESSO b  d A  A, B  B,….. c    C,   B, ….. A è un SOTTOINSIEME PROPRIO DI U C è un SOTTOINSIEME PROPRIO DI B C  B A  U

Considera gli insiemi A = {1,2, 3, 4}, B = {1,2}, C = {2,5} Considera gli insiemi A = {1,2, 3, 4}, B = {1,2}, C = {2,5}. Quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false? A B V F B C V F B = C V F B A V F

INSIEME DELLE PARTI “P(A)” A = a; b; c; Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI propri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P(A) A a  b  I possibili SOTTOINSIEMI di A sono: c   a b c a; b a; c b; c a; b; c L’insieme delle parti di A è: P(A) =  ; A; a; b; c; a; b; a; c; b; c Gli elementi di P(A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P(A) ne contiene 2n ; se per esempio l’insieme A è formato da 3 elementi, n=3 ; P(A)è formato da 23 =8 elementi

Rifletti…… Può esistere un insieme che non ha i sottoinsiemi propri ??? Certo!!! E’ detto insieme unitario. Può esistere un insieme che non ha i sottoinsiemi impropri? NO.

APPARTENENZA e INCLUSIONE tra elemento e insieme INCLUSIONE: tra due insiemi b  A d    L’insieme b è strettamente incluso nell’insieme A L’insieme d;b è uguale ad A L’elemento b appartiene all’insieme A d;b  A oppure d;b = A b  A b  A

INSIEMI UGUALI, DIVERSI E DISGIUNTI Due insiemi si dicono UGUALI se hanno tutti gli elementi uguali. A = 1;2;3;4 e B = 4;1;2;4 si ha: A uguale B Due insiemi si dicono DISUGUALI se hanno almeno un elemento diverso. A = 1;2;3;4 e B = 5;1;2;4 si ha: A disuguale B Due insiemi si dicono DISGIUNTI se non hanno nessun elemento uguale. A = 1;2;3;4 e B = 5;7;9 si ha: A disgiunto da B

INSIEME COMPLEMENTARE È’ l’insieme degli elementi di U che non appartengono ad A. CuA= xx U e x  A  U b  d  A E’ l’insieme degli elementi di U c  e  a  f  g  CuA =a; b; g Che non appartengono ad A

INSIEME COMPLEMENTARE. CBA CBA= x/ x B e x  A  B b  d  A E’ l’insieme degli elementi di B c  e  a  f  g  CBA =a; b; g Che non appartengono ad A

Operazioni tra insiemi Unione Intersezione Differenza Prodotto

Unione di insiemi Cosa metti nell’unione ? Sia gli elementi di A che di B presi una sola volta. A B

l’unione è la parte colorata Si definisce unione di due insiemi A e B, l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi dati. A B l’unione è la parte colorata

SIMBOLO UNIONE “  ” Il simbolo  è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A unito B” oppure “A o B”. L’unione tra due insiemi è l’insieme C degli elementi che appartengono ad A o a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. C=A  B = xx A  x  B  B A A  B C=A  B = xx A o x  B 

C = A  B = {1,2,3,4,5,6} A  B = {x x  A o x  B} Dati ad esempio i due insiemi A = {1,2,3,5} e B = {2,3,4,6}, l’unione tra A e B è data dal seguente insieme: C = A  B = {1,2,3,4,5,6} A  B = {x x  A o x  B}

UNIONE di insiemi DISGIUNTI L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A B 5 6 2 3 7 4 5 7 6 3 2 4 A B

CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE A  A = A A   = A A  CuA = U Se B  A allora A  B = A

Intersezione di insiemi Cosa metti nell’intersezione ? Gli elementi che A e B hanno in comune, cioè che appartengono contemporaneamente ai due insiemi.

l’intersezione è la parte colorata Si definisce intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B. A B l’intersezione è la parte colorata

SIMBOLO INTERSEZIONE “  ” Il simbolo  è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A intersecato B” oppure “A e B”. L’intersezione tra due insiemi è l’insieme degli elementi che appartengono ad A e a B C=A  B = xx A e x  B  B A A  B C=A  B =xx A Ù x  B 

A  B = {2, 4} A  B = {x x  A e x  B} Dati ad esempio i due insiemi A = {0,1,2,3,4} e B = {2,4,6}, l’intersezione tra A e B è data dal seguente insieme: A  B = {2, 4} A  B = {x x  A e x  B}

Rifletti…… A A  B =  L’intersezione è l’insieme vuoto { }. Se A e B sono disgiunti. B A Cosa succede???? L’intersezione è l’insieme vuoto { }. A  B = 

CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE A  A = A Se A  B = , A e B si dicono DISGIUNTI A   =  A  A =  Se B  A allora A  B = B A  U = A

A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l Esempio: A  B e A  B A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  A  B = d; e; f A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

Rifletti…… di quali proprietà gode l’unione e l’intersezione? Proprietà commutativa L‘unione fra l'insieme A e l'insieme B è uguale all’unione fra l'insieme B con l'insieme A, ovvero… A  B = B  A L'intersezione fra l'insieme A e l'insieme B è uguale all'intersezione fra l'insieme B con l'insieme A, ovvero… A  B = B  A

Proprietà associativa Tutta l‘unione fra l'insieme A e l'insieme B unita con l'insieme C è uguale a tutta l‘unione fra B e C unita ancora con A, ovvero… (A  B)  C = A  (B  C) Tutta l'intersezione fra l'insieme A e l'insieme B intersecata con l'insieme C è uguale a tutta l'intersezione fra B e C intersecata ancora con A, ovvero… (A  B)  C = A  (B  C) Proprietà distributiva L'unione degli insiemi B e C intersecata con l'insieme A, è uguale all'unione fra l'intersezione di A con B e di A con C, ovvero… A  (B  C) = (A  B)  (A  C) L‘intersezione degli insiemi B e C unita con l'insieme A, è uguale all‘intersezione fra l‘unione di A con B e di A con C, ovvero… A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Cosa metti nella differenza fra l’insieme A e B ? Differenza generica Cosa metti nella differenza fra l’insieme A e B ? Gli elementi che appartengono ad A, ma che non appartengono a B. C = A-B = {x | xÎA  xB} A B

SIMBOLO DIFFERENZA GENERICA. “A - B”oppure “A / B” Si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B E’ costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B

DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”. g  a  d  e  h  b  i  c  f  l  B g  A a  d  B - A = g; h; i; l e  h  b  i  c  f  l  B g  a  d  A - B = a; b; c e  h  b  i  c  f  A l 

B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  Ancora un esempio: A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l

Differenza complementare RIFLETTI….. Nella differenza generica B  A??? NO Se B  A possiamo parlare di differenza tra A e B??? SI Come si chiama tale differenza? Differenza complementare

A A – B = {x x  A e x  B} se B A DIFFERENZA COMPLEMENTARE Si definisce differenza complementare fra l’insieme A e il suo sottoinsieme B, l’insieme degli elementi che stanno in A ma non in B A – B = {x x  A e x  B} se B A B A Il complementare di B rispetto ad A si indica con CBA = A – B , ed è la parte colorata in figura. A

Dati ad esempio i due insiemi U = {1,2,3,5} e A = {2,3}, il complementare di A è dato dal seguente insieme: .1 .2 .3 .5 U - A U - A = {1,5} .1 .2 .3 .5 A

CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI A - A =  A -  = A Se A  B =  allora A - B = A e B - A = B Se B  A allora B - A = 

Differenza Simmetrica Cosa metti nella differenza simmetrica fra l’insieme A e B ? Gli elementi che appartengono ad A, che appartengono a B, ma che non appartengono A  B. Dati ad esempio i due insiemi A = {0,1,2,3,4} e B = {2,4,6}, l’insieme differenza tra A e B è data dal seguente insieme C: C = {x | xÎA  xÎB  x A  B} C = {0;1;3;6} C

RIFLETTI…… Quale delle differenze studiate gode della proprietà commutativa??? La differenza simmetrica!!!

OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO Gli elementi del prodotto cartesiano sono coppie ordinate Una coppia (x;y) si dice ordinata, quando il primo elemento appartiene sempre al primo insieme (insieme di partenza) ed il secondo elemento appartiene sempre al secondo insieme (insieme di arrivo) . La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x) Il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa, perché A x B  B x A A x A = A2 Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede “n per m” elementi.

Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2 PRODOTTO CARTESIANO Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B A x B = (x;y)x  A e y  B  Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2 Si legge A cartesiano B A B a  1  A x B =  (a ;1), (a ;2), (b ;1), b  (c ;2)  (b ;2), (c ;1), 2  c 

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2) può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi: A B a  Rappresentazione SAGITTALE 1  b  Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA 2  c  Rappresentazione CARTESIANA    2    1 a b c

PARTIZIONE DI UN INSIEME Si consideri insieme A e un numero “n” di sottoinsiemi propri di A. A A2 A1 A3 A5 A4 Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PARTIZIONE di A se: Ogni sottoinsieme è proprio Ai  A e Ai  ,  i 1 I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti 2 Ai  Ak =  con i  k L’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A 3 A1  A2  A3  A4  A5 = A

S=x / studenti di Scuola Media Superiore suddivisi in classi IN SINTESI: La partizione di un insieme deve necessariamente generare: Insiemi non vuoti. I sottoinsiemi ricavati devono essere disgiunti. L'unione di tutti i sottoinsiemi deve dare l'insieme generatore. Sia dato quindi un insieme S definito come l'insieme di studenti di una Scuola Media Superiore, tramite l'operazione di partizione si possono individuare altri sottoinsiemi propri all'interno di S. S=x / studenti di Scuola Media Superiore suddivisi in classi Graficamente, quindi, questa operazione si rappresenta come: classe

Clicca sulla risposta corretta ESERCIZIO N. 1….. C Trova: A  B  C Clicca sulla risposta corretta m  n  B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  A  B  C = g; h; i; l A  B  C = d Esercizio Successivo A  B  C = d; e; f A  B  C = e; f

Clicca sulla risposta corretta ESERCIZIO N. 2….. C Trova: C - (A  B) Clicca sulla risposta corretta m  n  B A g  a  d  b  i  e  h  c  f  l  C - (A  B) = m; n C - (A  B) = e; f Soluzione passo passo Esercizio Successivo C - (A  B) = m; n; d C - (A  B) = g; h; i; l

ESERCIZIO N. 3….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A C - (A  B) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

ESERCIZIO N. 4….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A C - (A  B) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

ESERCIZIO N. 5….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A (C - (A  B))  ((A  B) - C) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

Problemi con gli insiemi

PROBLEMA 1 Al bar della scuola ci sono 40 studenti. 15 alunni mangiano una pizzetta. 20 alunni mangiano un panino. 10 alunni non mangiano nulla.

Rispondi……. Quanti alunni mangiano solo la pizzetta? Quanti alunni non mangiano il panino? Quanti alunni mangiano il panino, la pizzetta o tutti e due? Quanti alunni mangiano o solo il panino o solo la pizzetta?

Utilizza le tue conoscenze sugli insiemi …… A = {alunni che mangiano un panino} B = {alunni che mangiano una pizzetta}

Utilizza la rappresentazione grafica ……. Insieme A Insieme B

Hai trovato la soluzione?

Confronta……. 5 alunni mangiano sia il panino che la pizzetta. 20 alunni non mangiano il panino. 10 alunni mangiano solo la pizzetta. 30 alunni mangiano il panino, la pizzetta o tutti e due. 25 mangiano o solo la pizzetta o solo il panino.

PROBLEMA 2 In una classe di 20 studenti : 10 alunni giocano a pallavolo. 14 alunni giocano a calcio. 8 giocano sia a calcio che a pallavolo.

Prova a risolvere….. Quanti alunni giocano solo a pallavolo? Quanti alunni giocano solo a calcio? Quanti non giocano a nessuno dei due sport ?

Hai trovato la soluzione?

Confronta……. N ° 2 alunni giocano solo a pallavolo. N ° 6 alunni giocano solo a calcio. N ° 4 non giocano a nessuno dei due sport.

FINE DELLA PRESENTAZIONE SEGUONO LE DIAPOSITIVE DI RISPOSTA AI QUESITI TEORIA DEGLI INSIEMI FINE DELLA PRESENTAZIONE SEGUONO LE DIAPOSITIVE DI RISPOSTA AI QUESITI

SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2….. Un clic del mouse per avanzare passo-passo Si tolgono a C gli elementi di A  B Trova: C - (A  B) C Soluzione = m; n m  n  B A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  Torna all’esercizio

Ritorna alla diapositiva TEORIA DEGLI INSIEMI COMPLIMENTI RISPOSTA ESATTA!!!! Ritorna alla diapositiva precedente

Ritorna alla diapositiva TEORIA DEGLI INSIEMI MI DISPIACE RISPOSTA ERRATA!!!! Ritorna alla diapositiva precedente

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