x2 – 4x + 1 x – 3 6x 5y2 ; x2 – 4x + 1 x – 3 x – 3 ≠ 0 x ≠ 3 Definizione e caratteristiche Frazione algebrica: espressione letterale del tipo , con A e B monomi o polinomi e B ≠ 0 A B ESEMPIO x2 – 4x + 1 x – 3 6x 5y2 ; Dominio della frazione: insieme dei valori che è possibile attribuire alle lettere. ESEMPIO x2 – 4x + 1 x – 3 Dominio: x – 3 ≠ 0 x ≠ 3

[2a (a – 1) (a + 1) = 2(a + 1)  a (a – 1)] Frazioni equivalenti Due frazioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, sono equivalenti se diventano numeri uguali in corrispondenza di ogni valore che è possibile attribuire alle variabili. Regola per individuare l’equivalenza: e sono equivalenti se A  D = B  C. A B C D ESEMPIO 2a a2 – a è equivalente a 2a + 2 a2 – 1 Infatti: 2a (a2 – 1) = (2a + 2) (a2 – a) [2a (a – 1) (a + 1) = 2(a + 1)  a (a – 1)] Per ottenere frazioni algebriche equivalenti basta applicare la proprietà invariantiva della divisione, cioè possiamo: dividere numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo permette di semplificare una frazione moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo serve per ridurre due o più frazioni allo stesso denominatore in modo da poterle sommare o sottrarre.

3a2x2 – 9a3x ax3 – 3a2x2 = 3a2x (x – 3a) ax2 (x – 3a) 3a x 1. a + 2b Semplificazione L’algoritmo per semplificare una frazione è il seguente: si scompongono numeratore e denominatore si individuano i divisori comuni, cioè il M.C.D. si dividono il numeratore e il denominatore per il loro M.C.D. Se il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni si dice che la frazione è irriducibile. ESEMPI 3a2x2 – 9a3x ax3 – 3a2x2 = 3a2x (x – 3a) ax2 (x – 3a) 3a x 1. a + 2b a2 – b2 = (a – b) (a + b) 2. Il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni al di fuori dell’unità e quindi la frazione è irriducibile.

3b 2x + y b 2x − y + = 3b (2x – y) + b (2x + y) (2x + y) (2x – y) = Operazioni Addizione e sottrazione Per sommare o sottrarre due o più frazioni algebriche, si deve seguire questa procedura: scomporre i denominatori delle frazioni e determinare il dominio semplificare le frazioni che non sono irriducibili trovare il m.c.m. fra i denominatori ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore eseguire le addizioni e le sottrazioni e semplificare la frazione ottenuta se necessario ESEMPIO 3b 2x + y + b 2x − y = D: 2x + y ≠ 0 2x – y ≠ 0 m.c.m = (2x + y) (2x − y) 3b (2x – y) + b (2x + y) (2x + y) (2x – y) = 6bx – 3by + 2bx + by 8bx – 2by

Operazioni Moltiplicazione La moltiplicazione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori e semplificando poi la frazione ottenuta. In pratica, come nel caso di frazioni numeriche, prima si scompone, si semplifica se possibile e poi si moltiplica. ESEMPIO 3 4 8 9  = 2 1 con le frazioni numeriche con le frazioni algebriche 4x2 – y2 x2 + 2xy + y2  = 3x + 3y 2x − y (2x – y) (2x + y) (x + y)2  3 (x + y) 2x − y = 3 (2x + y) x + y

x – y x 2 x + 3y (x – y) (x + 3y) 2x 2a a – 3b (2a)2 (a – 3b)2 4a2 : = Operazioni Divisione La divisione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda. ESEMPIO x – y x : = 2 x + 3y  (x – y) (x + 3y) 2x Elevamento a potenza L’elevamento a potenza di una frazione algebrica si ottiene elevando a quella potenza il numeratore e il denominatore. ESEMPIO 2a a – 3b (2a)2 (a – 3b)2 2 = 4a2

Equazioni numeriche frazionarie Nelle equazioni frazionarie il dominio non è più R, perché bisogna escludere quei valori che, annullando qualche denominatore, fanno perdere significato all’equazione. Regola per determinare il dominio 1) si esegue, se necessario, la scomposizione dei polinomi ai denominatori; 2) si impone che ciascun fattore al denominatore sia diverso da zero; 3) si risolvono le condizioni trovate al punto due con la stessa procedura usata per risolvere le equazioni intere. Il dominio è l’insieme R – {valori trovati al punto 3} Determinato il dominio, si procede alla risoluzione dell’equazione applicando i principi di equivalenza. Una volta trovata la soluzione si deve confrontare il valore trovato con quelli esclusi dal dominio.

1 x2 – 4 – 3 x – 2 = 5 x + 2 1 (x – 2) (x + 2) – 3 x – 2 = 5 x + 2 Equazioni numeriche frazionarie ESEMPIO 1 x2 – 4 – 3 x – 2 = 5 x + 2 1 (x – 2) (x + 2) – 3 x – 2 = 5 x + 2 Poiché deve essere x + 2 ≠ 0 ∧ x – 2 ≠ 0 ossia x ≠ – 2 ∧ x ≠ 2 Il dominio è l’insieme D = R – {– 2; 2} 1 – 3 (x + 2) (x – 2) (x + 2) = 5 (x – 2) continua

1 – 3 (x + 2) (x – 2) (x + 2) = 5 (x – 2) 1 – 3 (x + 2) = 5 (x – 2) Equazioni numeriche frazionarie 1 – 3 (x + 2) (x – 2) (x + 2) = 5 (x – 2) 1 – 3 (x + 2) = 5 (x – 2) 1 – 3x – 6 = 5x – 10 – 3x – 5x = – 10 + 6 – 1 = + x 5 8 – 8x = – 5 5 8 Poiché non coincide con uno dei valori esclusi dal domino, la soluzione è accettabile: S = { }

+ = 1 a 2a x – 1 2 x ≠ 1 D = R – {1} a ≠ 0 Equazioni letterali In un’equazione letterale si può sempre: trasportare i termini da un membro all’altro dell’equazione cambiando loro di segno; cambiare tutti i segni dei termini ai due membri; moltiplicare o dividere entrambi i membri per un coefficiente numerico diverso da zero. Non è invece possibile: moltiplicare o dividere per un coefficiente letterale senza avere posto le condizioni di diversità da zero di tale coefficiente. In un’equazione letterale bisogna distinguere: + = 1 a 2a x – 1 2 il dominio, determinato rispetto all’incognita x le condizioni sul parametro x ≠ 1 D = R – {1} a ≠ 0

Equazioni letterali Per risolvere un’equazione contenente il parametro al denominatore è necessario prima determinare le condizioni sul parametro e poi moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per il m.c.m. fra i denominatori. ESEMPIO In sintesi:

Equazioni letterali Per risolvere un’equazione letterale frazionaria, si determina il dominio e, trovate le soluzioni, si controlla la loro accettabilità. ESEMPIO In sintesi:

Sistemi frazionari Un sistema frazionario è un sistema le cui equazioni contengono almeno un’incognita al denominatore. Per risolverlo è necessario determinare il dominio e verificare poi l’accettabilità delle soluzioni. ESEMPIO La soluzione non è accettabile perché la x coincide con il valore escluso dal dominio. Il sistema è impossibile,