Elementi di Logica Le forme del ragionamento Testo di riferimento: A. Coliva, E. Lalumera, Pensare. Leggi ed errori del ragionamento, Carocci 2006 (possono essere saltate le sezioni 1.5 e 2.7)

Il principale oggetto di studio della logica è il ragionamento, con particolare attenzione per il pensiero deduttivo, nel quale un ruolo centrale è svolto da nozioni come inferenza conseguenza deduzione

G. Lolli, Introduzione alla logica formale (1991), p. 13 “Il punto di partenza della logica formale è la nozione tradizionale della logica, il ragionamento: il ragionamento è un susseguirsi o un fluire di affermazioni che si suppone siano legate da certe relazioni, o legami di consequenzialità, che se rispettati danno al ragionamento il carattere di ragionamento corretto, o argomento valido.»

Le molte facce della LOGICA Forme dell’argomentazione (induzione/deduzione,...) Struttura dei linguaggi (naturali & artificiali) Dimostrazione (fondamenti della matematica) Algoritmi & Calcolabilità (fondamenti dell’informatica e delle scienze cognitive)

Logica (formale) e linguaggio naturale: rapporto complesso! Da un lato, infatti, la logica formale costruisce strutture artificiali (i linguaggi logici), tra i cui scopi c’è anche quello di chiarire e talvolta correggere o eliminare le numerose ‘ambiguità’ del linguaggio naturale Da un altro lato, tuttavia, il linguaggio naturale costituisce un termine di confronto irrinunciabile per la logica, dal momento che anche il linguaggio naturale ha una sua struttura interna cui la logica è interessata Inoltre la linguistica moderna – cioè la scienza del linguaggio – ha profondi contatti teorici con la logica (faremo dei cenni più avanti nel corso)

Uno dei temi centrali del corso Come dovremmo ragionare LOGICA Leggi del ragionamento (visione normativa) ≠ Come di fatto ragioniamo PSICOLOGIA COGNITIVA Meccanismi effettivi del ragionamento (visione descrittiva)

La tradizione normativa della logica (Aristotele, Frege) «Le regole del nostro pensiero e del nostro ritenere vero vanno pensate <come> determinate dalle leggi dell’esser vero. Con queste sono date anche quelle. Possiamo perciò anche dire: la logica è la scienza delle leggi più generali dell’esser vero. [...] Originariamente nell’uomo il pensiero è mescolato al sentimento e alla rappresentazione. La logica ha il compito di isolare l’elemento logico nella sua purezza, non nel senso che dovremmo poter pensare senza aver rappresentazioni – che è del tutto impossibile – bensì nel senso che dobbiamo distinguere consapevolmente l’elemento logico da quel che fa parte della rappresentazione e del sentimento.» Gottlob Frege, padre della logica moderna (1848-1925)

«Alla psicologia non interessa se i prodotti dei processi psichici di cui si occupa possano venir chiamati ‘veri’. Quel che è vero è tale indipendentemente da colui che lo riconosce come vero. Quel che è vero non è il prodotto di un processo psichico o di un’attività interiore; infatti questi differiscono da una persona all’altra, per quanto simili possano essere, così come la fame di uno dalla fame dell’altro o l’occhio di uno dall’occhio dell’altro, malgrado tutte le somiglianze.» Gottlob Frege

Ma quale rapporto esiste tra le leggi della logica e i meccanismi effettivi del ragionamento? Problema complesso: non esiste una risposta semplice a questa domanda, perché molte discipline diverse sono coinvolte (logica, psicologia cognitiva, linguistica, biologia,….)

Parleremo di tre forme fondamentali di argomentazione Deduzione Induzione Abduzione (o inferenza alla migliore spiegazione)

“Donald Trump si batte per i diritti umani” Enunciato (dichiarativo): espressione linguistica che rappresenta un fatto o stato di cose e che può ricevere un valore di verità (‘vero’ o ‘falso’). Esempi: L’espressione “Donald Trump si batte per i diritti umani” è un enunciato Le espressioni “C’è nessuno in casa?” “Vietato fumare!” non sono enunciati.

Distinzione enunciato/proposizione Enunciato = espressione linguistica di cui ha senso chiedersi se è vera o falsa Proposizione = contenuto o senso di un enunciato «Paolo mangia la mela» 2 enunciati, 1 proposizione «La mela è mangiata da Paolo»

Esistono alcuni ‘tipi generali’ di domande alle quali la logica si incarica di rispondere Data una generica implicazione A  B (si legge «A implica B»), cosa significa che un enunciato A ‘implica‘ un enunciato B? Ammettendo di sapere che effettivamente l’enunciato A ‘implica’ l’enunciato B, come possiamo giustificare una simile implicazione? La logica punta a isolare le proprietà che ogni implicazione di questo tipo è tenuta a soddisfare, quali che siano i particolari contenuti e significati impliciti negli enunciati A e B

Natura formale della logica Le analisi della logica risultano, entro certi limiti, indipendenti dal significato degli enunciati coinvolti, cioè valgono in virtù della sola “forma logica” degli enunciati stessi e delle relazioni che li collegano

Argomento (o argomentazione) LOGICA ENUNCIATIVA (o PROPOSIZIONALE) Elementi di base e prime definizioni informali Argomento (o argomentazione) Definizione informale: Insieme strutturato di enunciati nel quale un certo insieme di enunciati (detti premesse) sono offerte come base per giustificare la ‘fondatezza’ di un altro enunciato (detto conclusione).

Esempi: Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale Giulio non era alla festa non può essere stato lui a rubarti la bicicletta

Indicatori inferenziali Indicatori di premessa Indicatori di conclusione Se Allora Dato che Quindi Siccome Dunque Poiché Pertanto ………… …………….

Le coppie [Validità/Non-validità] & [Verità/Falsità] Gli argomenti possono essere validi o non-validi Gli enunciati possono essere veri o falsi IMPORTANTE! Bisogna distinguere tra Validità o Non-validità di un argomento e Verità o Falsità di un enunciato

Validità di un argomento Un argomento è valido se non può darsi il caso che le sue premesse siano vere e la sua conclusione sia falsa. Quando un argomento è valido, si dice che la conclusione è conseguenza logica delle premesse. Attenzione! Un argomento può essere corretto anche se una o più premesse non sono vere.

Esempi Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi L’argomento Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale è valido, perché le premesse implicano logicamente la conclusione Inoltre, le sue premesse sono vere

L’argomento Tutti gli ippogrifi volano In Australia esistono gli ippogrifi quindi In Australia almeno un animale che vola è valido, perché le premesse implicano logicamente la conclusione Una delle sue premesse è falsa!

L’argomento Tutti i cavalli sono mortali Furia è un cavallo quindi George Clooney è statunitense non è valido perché le premesse non implicano logicamente la conclusione Sia le premesse sia la conclusione sono enunciati veri!

Riassumendo Validità Verità/Falsità enunciati Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo Premesse vere Quindi Valido Conclusione vera Socrate è mortale Tutti gli ippogrifi volano In Australia esistono gli ippogrifi Una premessa falsa Quindi Valido In Australia almeno un animale vola Tutti i cavalli sono mortali Furia è un cavallo Premesse vere Quindi Non-valido Conclusione vera George Clooney è statunitense

I sillogismi (il termine deriva dal greco antico syn-loghismòs, che significa deduzione) Particolari argomenti, le cui premesse possono essere soltanto della forma: Tutti gli F sono G UA = Universale affermativa Nessun F è G UN = Universale negativa Qualche F è G PA = Particolare affermativa Qualche F non è G PN = Particolare negativa

Se poniamo F = essere uomo e G = essere mortale UA (Universale affermativa) = Tutti gli uomini sono mortali Tutti gli F sono G UN (Universale negativa) = Nessun uomo è mortale Nessun F è G PA (Particolare affermativa) = Qualche uomo è mortale Qualche F è G PN (Particolare negativa) = Qualche uomo non è mortale Qualche F non è G

Relazioni logiche tra le premesse di sillogismi categorici U affermativa CONTRARIE U negativa SUBALTERNE CONTRADDITTORIE SUBALTERNE P affermativa SUB-CONTRARIE P negativa

Contrarie Universale affermativa CONTRARIE Universale negativa Non possono essere entrambe vere, ma possono essere entrambe false Esempio: UA: Tutti gli italiani guadagnano 1 milione di euro all’anno UN: Nessun italiano guadagna 1 milione di euro all’anno

Sub-contrarie Particolare affermativa SUB-CONTRARIE Particolare negativa Non possono essere entrambe false, ma possono essere entrambe vere Esempio: PA: Qualche uomo è avaro PN: Qualche uomo non è avaro

Subalterne Universale affermativa Universale negativa SUBALTERNE Particolare affermativa Particolare negativa Se UA è vera, allora PA è vera Se UN è vera, allora PN è vera Se PA è falsa, allora UA è falsa Se PN è falsa, allora UN è falsa Esempio: Se «Tutti gli uomini sono mortali» è vera, allora è vero che «Qualche uomo è mortale» è vera Ma se «Qualche uomo è mortale» è falsa, allora anche «Tutti gli uomini sono mortali» è falsa

Contraddittorie Universale affermativa Universale negativa CONTRADDITTORIE Particolare negativa Particolare affermativa Se UA è vera, allora PN è necessariamente falsa e viceversa Se UN è vera, allora PA è necessariamente falsa e viceversa Esempio: Se «Tutti gli uomini sono mortali» è vera, allora «Qualche uomo non è mortale» è falsa, e viceversa Se «Nessun uomo è mortale» è vera, allora «Qualche uomo è mortale» è falsa, e viceversa

Diagrammi di Eulero-Venn per le relazioni logiche tra premesse di sillogismi categorici UA: Tutti gli F sono G UN: Nessun F è G G G F F

PA: Qualche F è G PN: Qualche F non è G

Enunciati composti e valori di verità Nella logica enunciativa, enunciati come “Isaac Asimov scriveva romanzi” esprimono fatti semplici, vale a dire fatti non ulteriormente analizzabili. Enunciati di questo tipo vengono definiti atomici.

“Isaac Asimov scriveva romanzi e Italo Calvino era nato a Cuba” È naturalmente possibile introdurre enunciati composti (o molecolari), generati a partire da un certo numero di proposizioni atomiche. L’enunciato “Isaac Asimov scriveva romanzi e Italo Calvino era nato a Cuba” rappresenta un enunciato composto, generato mediante l’applicazione di una particella (‘e’) ai singoli enunciati atomici <Isaac Asimov scriveva romanzi>, <Italo Calvino era nato a Cuba>

Connettivi Si definiscono connettivi quelle particelle del linguaggio che non sono provviste in sé di significato ma che permettono di formare enunciati composti a partire da enunciati atomici. Connettivi principali della logica enunciativa: non (connettivo unario, si applica a un singolo enunciato) e, o, se...allora (connettivi binari, si applicano a coppie di enunciati).

Esempi di applicazione dei connettivi a enunciati dati “Isaac Asimov scriveva romanzi”  non “Isaac Asimov non scriveva romanzi”

“Isaac Asimov scriveva romanzi”, “Italo Calvino era nato a Cuba”  e , o “Isaac Asimov scriveva romanzi e Italo Calvino era nato a Cuba” “Isaac Asimov scriveva romanzi o Italo Calvino era nato a Cuba”  se...allora “Se Isaac Asimov scriveva romanzi, allora Italo Calvino era nato a Cuba”

In simboli: naturale formale negazione non  congiunzione e  Connettivi Linguaggio Linguaggio naturale formale negazione non  congiunzione e  disgiunzione o  implicazione se...allora 

Notazione funzionale per i connettivi Se  rappresenta un generico connettivo, possiamo usare la seguente notazione: se A, B sono due enunciati atomici qualsiasi, il connettivo  è rappresentato in forma funzionale come : {A, B}  AB dove il simbolo AB rappresenta l’enunciato molecolare. Esempio: se  rappresenta il connettivo  (congiunzione), la rappresentazione funzionale di  è  : {A, B}  A  B

Le condizioni di verità Sulla base delle nozioni di enunciato atomico e composto e della nozione di verità, si pone in modo naturale il seguente problema: come si comporta la verità rispetto alla composizione di enunciati composti a partire da un certo numero di enunciati atomici? Cioè: dato : { A, B }  AB poiché A può singolarmente essere V o F poiché B può singolarmente essere V o F Cosa succede di AB ?

Verofunzionalità Proprietà fondamentale dei connettivi logici di base (enunciativi) I connettivi si comportano come funzioni di verità I valori di verità degli enunciati atomici determinano univocamente il valore di verità dell’enunciato composto

Perché i connettivi della logica proposizionale si dicono verofunzionali? Perché il valore di verità di un generico enunciato P è funzione dei valori di verità degli enunciati atomici che compongono P. In altre parole, se  è un generico connettivo e A, B sono enunciati Valore di A fissato & Val di AB fissato Valore di B fissato

Tavole di verità Il comportamento di ogni connettivo rispetto al valore di verità di un generico enunciato è regolato da un particolare strumento teorico, detto tavola di verità. Le tavole di verità rappresentano veri e propri algoritmi per calcolare il valore di verità di un generico enunciato.

Tavola di verità di  Congiunzione A  B V V V V F F F F V F F F Elenco dei possibili Elenco dei possibili valori di verità di A valori di verità di B Elenco dei possibili valori di verità di A  B

Tavola di verità di  Disgiunzione A  B V V V V V F F V V F F F

Tavola di verità di  Implicazione A  B V V V V F F F V V F V F

Tavola di verità di  Negazione  A F V V F

Tavola di verità di  ‘Se e solo se’ (Doppia implicazione) A  B V V V V F F F F V F V F

Carattere algoritmico delle tavole di verità Valore di A, Valore di B Procedura meccanica Valore di (AB), dove  è un connettivo qualsiasi

Applicazione delle tavole di verità: un semplice esercizio Prima di tutto definiamo tautologia (o verità logica) un enunciato che riceve valore di verità V per qualsiasi assegnazione di valore di verità ai suoi enunciati componenti. Verifichiamo poi se un dato enunciato è una tautologia, calcolandone il valore di verità. In base alla definizione di tautologia, quell’enunciato sarà una tautologia soltanto se riceverà sempre il valore di verità V, cioè se avrà tale valore quale che sia il valore di verità degli enunciati componenti.

Sia dunque dato un certo enunciato, per esempio (pq)(qp) p q ( p  q )  (  q   p) V V V V V V F V V F V V F V F F V V F F F V F V F V V V F V V V F F F F V F V V F V V F Nella colonna del connettivo  (il connettivo principale dell’enunciato) troviamo sempre V. L’enunciato dato riceve cioè valore di verità V per ogni assegnazione di valore di verità agli enunciati componenti, e risulta dunque una tautologia.

Vediamo ora la proposizione (pq)(qp) p q (p  q)  (q  p) V V V V V V V V V V F V F F F F V V F V F V V F V F F F F F V F V F V F Sotto il connettivo principale  non troviamo sempre il valore V per qualsiasi assegnazione di valore di verità agli enunciati componenti: l’enunciato dato non è una tautologia.

È ragionevole che (pq)(qp) non sia una tautologia È ragionevole che (pq)(qp) non sia una tautologia. Se lo fosse, questo significherebbe che – data una qualsiasi implicazione – noi siamo sempre legittimati a invertire il senso dell’implicazione. Esempio: p = Io sono un cittadino italiano q = Io sono un cittadino europeo Se (pq)(qp) fosse una tautologia, allora assumere l’implicazione Io sono un cittadino italiano  Io sono un cittadino europeo giustificherebbe anche immediatamente l’implicazione Io sono un cittadino europeo  Io sono un cittadino italiano

Formalizzazione: qualche esercizio Linguaggio naturale Linguaggio enunciativo p = «piove», n = «nevica» «Piove ma non nevica» p  n «Non è vero che sia piove sia nevica»  (p  n) «Piove se e solo se nevica» p  n «Se piove e nevica, allora nevica» (p  n)  n «O piove e nevica, o piove ma non nevica» (p  n)  (p   n)

Verso un linguaggio formale per la logica enunciativa Scopo principale nella costruzione di un linguaggio formale Evitare le ambiguità del linguaggio naturale nell’indagine sulla struttura logica degli argomenti

Il linguaggio (artificiale) della logica enunciativa Alfabeto descrittivo: un insieme di variabili enunciative (eventualmente infinito), indicate con p, q, r, ... Alfabeto logico: connettivi di congiunzione (), disgiunzione (), implicazione (), negazione () Alfabeto ausiliario : simboli speciali ( ) e ,

Cos’è una formula del linguaggio enunciativo (LE)? È una qualsiasi successione finita di simboli di LE, p. es. q  r  (s  s) st p  r 

Si vede subito che non tutte queste successioni possono rappresentare effettivamente degli enunciati: intuitivamente la successione di simboli q  r rappresenta un enunciato, mentre la successione st non lo rappresenta. Come è possibile distinguere in modo adeguato tra formule che rappresentano enunciati (che chiameremo ben formate) e formule prive di significato? Mediante un particolare tipo di definizione, detta induttiva o ricorsiva.

Definizione induttiva o ricorsiva Una definizione induttiva, o ricorsiva, è una definizione che caratterizza un certo insieme mediante l’applicazione di certe operazioni a certi elementi di base dell’insieme Questo tipo di definizione serve a dominare con mezzi finiti un insieme che di fatto è infinito (perché il numero di formule ben formate è in linea di principio infinito)

La nozione di meta-variabile I simboli p, q, r,…. del nostro alfabeto descrittivo funzionano come variabili nel senso che uno qualsiasi di questi simboli ‘sta per’ un enunciato Nella definizione induttiva di formula ben formata, avremo bisogno di simboli che stanno per le variabili enunciative Chiameremo questi simboli meta-variabili o variabili ‘di secondo grado’: simboli che stanno per altri simboli

Intermezzo importante: il suffisso meta Il suffisso meta deriva dalla preposizione greca antica meta, che significa sopra ma anche a proposito di, riguardo a Una nozione che usa in modo importante questo suffisso è la distinzione Linguaggio L / Metalinguaggio ML L parla di certi oggetti ML parla del linguaggio L

Una stessa lingua può funzionare da linguaggio o da metalinguaggio Quando scriviamo Il Sole sorge alle 6 utilizziamo l’italiano come linguaggio (descrittivo). Ma quando scriviamo Nella frase «Il Sole sorge alle 6», «Sole» indica un sostantivo utilizziamo l’italiano come metalinguaggio, cioè come un linguaggio che parla di un altro linguaggio

In sintesi Enunciato «Mario mangia la mela» Variabile enunciativa p p sta per «Mario mangia la mela» Meta-variabile a a sta per la variabile enunciativa p

Definizione ricorsiva di formula ben formata (fbf) in un linguaggio enunciativo BASE: Ogni variabile enunciativa è una fbf. PASSO: 1) Se a è una fbf, allora anche  a è una fbf. 2) Se a, b sono fbf, allora anche a  b è una fbf. 3) Se a, b sono fbf, allora anche a  b è una fbf. 4) Se a, b sono fbf, allora anche a  b è una fbf. CHIUSURA: Nient’altro è una fbf. Una sottofbf è una parte di una fbf che è anch’essa una fbf.

Occorrenza (di un simbolo): modalità di comparizione di quel simbolo in una fbf Prima occorrenza di p Seconda occorrenza di p (pq)(qp) Prima occorrenza di q Seconda occorrenza di q Nota: si parla nello stesso senso di occorrenza di un connettivo.

Campo (di un connettivo): la più piccola fbf in cui occorre quel connettivo Es: nella fbf (pq)(qp) il campo della prima occorrenza di  è (pq) il campo della prima occorrenza di  è …… il campo di  è l’intera formula. Quando il campo di un dato connettivo è l’intera formula, quel connettivo si chiama principale

/ = simbolo di inferenza («quindi») Calcolo logico per la logica enunciativa Verifica della correttezza di un argomento esprimibile in logica enunciativa Date le fbf a1,…, an, b, la forma generale di un argomento in logica enunciativa sarà a1,…, an / b dove a1,…, an = premesse b = conclusione / = simbolo di inferenza («quindi»)

Consideriamo il seguente argomento in lingua naturale: «Se Mario ha studiato, allora Mario ha passato l’esame di logica. Mario ha passato l’esame di logica, quindi Mario ha studiato.» Come è possibile formalizzare questo argomento? In versione formalizzata, si tratta di un argomento corretto? Risulta cioè che, ogni volta che le premesse sono vere, anche la conclusione è vera?

Se Mario ha studiato allora Mario ha passato l’esame di logica [p] [q] Mario ha passato l’esame di logica [q] quindi Mario ha studiato [p] Formalizzazione (Traduzione dell’argomento in forma condizionale) ((p  q)  q)  p

((p  q)  q)  p V V V V V V V V F F F F V V F V V V V F F F V F F F V F Conclusione: l’argomento non è corretto, perché esiste almeno un caso in cui le premesse sono vere e la conclusione è falsa (la terza riga).

Calcolo logico per la logica enunciativa Calcolo del valore di verità delle premesse, per ogni possibile assegnazione di valori di verità degli enunciati atomici che compongono le premesse Due casi possibili: 1) In tutte le assegnazioni in cui sono vere le premesse è vera argomento corretto anche la conclusione 2) Esiste almeno un’assegnazione in cui sono vere le premesse ma argomento scorretto la conclusione è falsa

Esempio del caso possibile 1: p  q, q / p p q (p  q) , q / p) V V V F F V F F V F F V V F V F F V V V Ogni volta (nel nostro caso una sola volta) che le premesse risultano entrambe vere, anche la conclusione è vera: dunque l’argomento è corretto.

Esercizio per casa Tradurre l’argomentazione p  q, q / p in forma condizionale 2) Verificare se la forma condizionale è una tautologia o no

Esempio del caso possibile 2: p  q, p / q p q (p  q) p / q) V V V F F V F F F V F V V V F F F V V V Questa volta esiste un caso in cui le premesse risultano entrambe vere ma la conclusione falsa: dunque l’argomento è scorretto.