Energia potenziale gravitazionale e teorema di Gauss Lavoro fatto contro la forza gravitazionale per portare un corpo da un punto A ad un punto B. Sulla superficie terrestre, si sceglie il punto A ad altezza 0 e si calcola l'energia potenziale quando il corpo è ad altezza h 𝐿= 𝑖=1,𝑁 𝑚 𝑔 𝑑ℎ 𝑖 = 0 ℎ 𝑚𝑔 𝑑=𝑚𝑔ℎ Nel caso di masse puntiformi 𝐹 =−𝐺 𝑚 1 𝑚 2 𝑟 2 𝑢 𝑟 Energia potenziale è il lavoro contro la forza per portare la massa m2 da infinito fino ad una distanza r. P3 Forze Conservative

𝐿= ∞ 𝑟 −𝐺 𝑚 1 𝑚 2 𝑟 2 𝑑𝑟=−𝐺 𝑚 1 𝑚 2 ∞ 𝑟 1 𝑟 2 𝑑𝑟 Attenzione! dr è negativo perché parto dall'esterno e mi avvicino. 𝑈 𝑟 =−𝐺 𝑚 1 𝑚 2 𝑟 𝑚 1 𝑚 2 𝑑𝑟 Energia negativa perché energia di legame. Bisogna fornire un'analogo valore in energia cinetica per allontanare il corpo all'infinito. P3 Forze Conservative

E se lo spostamento non è radiale? Nella direzione perpendicolare alla direzione radiale il lavoro è nullo. Questo perché la forza è radiale 𝑑𝐿=−𝐺 𝑚 1 𝑚 2 𝑟 2 𝑢 𝑟 ⋅ 𝑑𝑙 𝑑𝑙 =𝑑𝑟 𝑢 𝑟 +𝑑𝑡 𝑢 𝑡 𝑢 𝑟 ⋅ 𝑑𝑙 =𝑑𝑟+0 𝑑𝐿=−𝐺 𝑚 1 𝑚 2 𝑟 2 𝑑𝑟 P3 Forze Conservative

Velocità di fuga dalla Terra La velocità si ottiene dando sufficiente energia cinetica sulla superficie al corpo m2 per cui all'infinito abbia velocità nulla. 𝐸 𝑡𝑜𝑡 =−𝐺 𝑚 1 𝑚 2 𝑟 + 1 2 𝑚 2 𝑣 𝑒𝑠𝑐 2 = 1 2 𝑚 2 𝑣 ∞ 2 =0 𝑣 𝑒𝑠𝑐 = 2𝐺 𝑚 1 𝑟 𝑆𝑒 𝐸 𝑡𝑜𝑡 <0 𝑆𝑒 𝐸 𝑡𝑜𝑡 >0 Stato legato Stato libero P3 Forze Conservative

Campo gravitazionale nello spazio 𝐺 =−γ 𝑚 1 𝑟 2 𝑢 𝑟 Con g al posto di G come simbolo per la costante gravitazionale P3 Forze Conservative

Flusso del campo: 𝑑Φ=−γ 𝑚 1 𝑟 2 𝑢 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝑆= 𝐺 ⋅ 𝑛 𝑑𝑆 𝑑Φ=−γ 𝑚 1 𝑟 2 𝑢 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝑆= 𝐺 ⋅ 𝑛 𝑑𝑆 Φ=−γ 𝑚 1 𝑖=1 𝑁 1 𝑟 𝑖 2 𝑢 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑖 𝑑𝑆 𝑖 = 𝑆 𝐺 𝑑𝑠 P3 Forze Conservative

Flusso del campo su una sfera Φ=−γ 𝑚 1 𝑖=1 𝑁 1 𝑟 𝑖 2 𝑢 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑖 𝑑𝑆 𝑖 = 𝑆 𝐺 𝑑𝑠 1) Il prodotto scalare per un campo radiale su elementi di sfera = 1 𝑢 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑖 =1 P3 Forze Conservative

𝑑𝑆= 𝑟 2 sin θ 𝑑θ𝑑ϕ 2) Legge dell'inverso del quadrato della distanza coincide con l'aumento dell'area di una sfera con il raggio −γ 𝑚 1 𝑟 2 1𝑛 𝑟 2 sin θ 𝑑θ𝑑ϕ P3 Forze Conservative

Φ=−γ 𝑚 1 𝑖=1 𝑁 1 𝑟 𝑖 2 𝑢 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑖 𝑑𝑆 𝑖 =−γ 𝑚 1 4π Φ=−γ 𝑚 1 4π Su una superficie qualsiasi ci si riconduce alla sfera interna e il flusso è lo stesso. P3 Forze Conservative

𝐺 ⋅ 𝑛 𝑑𝑆=𝐺cos θ 𝑑𝑠=𝐺𝑑𝑆′ 𝐺 𝑛 θ 𝑑𝑆 θ 𝑑𝑆′ P3 Forze Conservative

Un pianeta ha una massa tripla rispetto a quella della Terrra e un raggio 4 volte maggiore. Qual'e' la forza gravitazionale che agisce su un corpo di massa 80 kg rispetto a cui sarebbe sottoposto sulla Terra? 𝐹 𝑝 = 𝐺𝑚 𝑀 𝑝 𝑅 𝑝 2 = 𝐺𝑚3 𝑀 𝑇 4 𝑅 𝑇 2 𝐹 𝑇 = 𝐺𝑚 𝑀 𝑇 𝑅 𝑇 2 𝐹 𝑝 = 3 16 𝐹 𝑇 P3 Forze Conservative