Endogenous restricted participation A cosa servono le derivate direzionali? Se la derivata direzionale è diversa da zero, essa consente di studiare il comportamento di f lungo la semiretta di direzione u, uscente da (x0,y0). Se la derivata direzionale è maggiore (minore) di zero, muovendosi dal punto (x0,y0) lungo la semiretta di direzione u, il valore della funzione f aumenta (diminuisce). (x0+tu1,y0 +tu2)

Endogenous restricted participation Direzione di crescita locale Data la restrizione di f sulla semiretta di equazione (x0+tu1, y0+tu2) t0, u=(u1, u2) è una direzione di crescita locale uscente da (x0, y0) per f se esiste  tale che: o equivalentemente

Endogenous restricted participation Direzione di decrescita locale Data la restrizione di f sulla semiretta di equazione (x0+tu1, y0+tu2) t0, u=(u1, u2) è una direzione di decrescita locale uscente da (x0, y0) per f se esiste  tale che: o equivalentemente

Endogenous restricted participation Derivata direzionale e direzioni di crescita Teorema Sia f:A, A un insieme aperto di 2, f di classe C1, (x0,y0) A, u=(u1,u2)  2 e u(t) la restrizione di f su (x0+tu1, y0+tu2) t0. Se ’u(0) >0 allora u è una direzione di crescita locale uscente da (x0,y0) Se ’u(0) < 0 allora u è una direzione di decrescita locale uscente da (x0,y0).

Endogenous restricted participation Derivata direzionale e direzioni di crescita Per la regola della catena si ha: Da cui u è direzione di crescita locale u è direzione di decrescita locale

Endogenous restricted participation I proprietà del gradiente Sia f:A, A un insieme aperto di 2, f di classe C1, (x0,y0) A e La direzione è una direzione di crescita locale per f uscente da (x0,y0). In particolare il gradiente è la direzione di massima crescita locale per f uscente da (x0,y0) è una direzione di decrescita locale per f uscente da (x0,y0). In particolare meno gradiente è la direzione di massima decrescita locale per f uscente da (x0,y0)

Endogenous restricted participation Riepilogando Consideriamo f(x,y)=x3-y2+80 ed il punto (x0,y0)=(1,2) La direzione gradiente (3,-4) è la massima direzione di crescita locale uscente da (x0,y0)=(1,2) per f. (x0,y0)

Endogenous restricted participation Consideriamo f(x,y)=x3-y2+80 ed il punto (x0,y0)=(1,2) Endogenous restricted participation La direzione -gradiente (-3,4) è la massima direzione di decrescita locale uscente da (x0,y0)=(1,2) per f. (x0,y0)

Endogenous restricted participation Consideriamo f(x,y)=x3-y2+80 ed il punto (x0,y0)=(1,2) Endogenous restricted participation Ogni direzione che forma con un angolo acuto (ottuso) è una direzioni di crescita (decrescita) locale uscente da (1,2) per f. Crescita Decrescita Direzioni ortogonali al gradiente (x0,y0)

Endogenous restricted participation La direzione (4,1) è una direzione di crescita locale uscente da (1,2) per f.

Endogenous restricted participation La direzione (1,10) è una direzione di decrescita locale uscente da (1,2) per f. Endogenous restricted participation

Endogenous restricted participation Le direzioni ortogonali al gradiente possono essere sia di crescita, sia di decrescita locale, sia direzioni in cui f è costante. Crescita Decrescita Direzioni ortogonali al gradiente (x0,y0)

Endogenous restricted participation Derivata direzionale e direzioni di crescita Se , per stabilire se u è una direzione di crescita o di decrescita, devo studiare il segno di u’ (t) in un intorno destro di t=0. Esempio: f(x,y)=x3-y2+80 , (x0,y0)=(1,2), u=(4,3) Studio il segno di u’ (t)

Endogenous restricted participation Derivata direzionale e direzioni di crescita -13/32 Di conseguenza: u=(3,4) è una direzione di crescita locale uscente da (1,2) In generale, le direzioni ortogonali al gradiente possono essere sia direzioni di crescita, sia di decrescita, sia direzioni rispetto alle quali f è costante