Il cilindro

Solidi di rotazione Fra tutti i solidi a superficie curva, alcuni si possono considerare ottenuti dalla rotazione di una figura piana attorno a un suo elemento o attorno a una retta in generale. Questi si chiamano solidi di rotazione. Fra essi consideriamo il cilindro e il cono. Ci occuperemo per ogni singolo solido di trovare dei procedimenti e delle formule che ci consentano di calcolare la loro superficie laterale, totale e il loro volume.

Il cilindro Consideriamo il rettangolo ABDC e facciamolo ruotare di 360° (rotazione completa) attorno a un suo lato, per esempio attorno al lato AD. La parte di spazio che esso occupa nelle varie posizioni costituisce un solido di rotazione chiamato cilindro circolare retto o semplicemente cilindro. A B A B Diciamo che: Il cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo attorno a un suo lato. C r D C D Il lato attorno a cui ruota il rettangolo è l’asse di rotazione e rappresenta l’altezza del cilindro, il lato parallelo a questo è la generatrice e gli altri due lati del rettangolo sono i raggi dei due cerchi che formano le basi del cilindro. raggio Asse di rotazione generatrice

Le formule precedenti diventano: Il cilindro Circonferenza di base Per calcolare l’area della superficie laterale consideriamo un cilindro e il suo sviluppo. L’area della superficie laterale di un cilindro si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza per la misura dell’altezza. In formule avremo: Ricordando che: Le formule precedenti diventano:

Il cilindro Circonferenza di base base Per l’area della superficie totale, ovviamente, sommeremo all’area della superficie laterale quella delle due basi. In formule avremo:

Il cilindro Per il calcolo del volume di un cilindro consideriamo un prisma avente le basi equivalenti alle basi del cilindro e l’altezza congruente all’altezza del cilindro. Per il principio di Cavalieri i due solidi sono equivalenti e quindi il volume del cilindro si potrà calcolare con una formula analoga a quella del prisma. Esattamente diremo che: Il volume di un cilindro si ottiene moltiplicando l’area della base per la misura dell’altezza. In formula, ricordando che avremo:

Il cilindro equilatero Se l’altezza del cilindro è congruente al diametro di base, il cilindro si dice equilatero e in esso, quindi h = d = 2r. Le formule per il calcolo della superficie laterale, totale e del volume diventano quindi:

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