OH NO!! FORMULE!

Nota per l’insegnante: La formula E = mc2 è discussa in dettaglio nel Materiale di Background “Conservazione dell’Energia—Rivisitata”. Qui, trattiamo tre altre formule importanti, una di cui gli studenti dovrebbero avere qualche conoscenza, e due che probabilmente non hanno mai visto prima: #1 E = hf #2 E = gmc2 #3

#1 E = hf

Hello.

Come Amministratore Delegato di una grande ditta, questa formula mi sembra un po’ difficile e mi provoca un leggero mal di testa.

Il fotone può essere considerato come un piccolo pacchetto di ENERGIA. Per esempio, la LUCE è un flusso di fotoni.

E, benchè ciò vada contro il senso comune (e non sia facile da immaginare), il fotone ha entrambe le caratteristiche di … UNA PARTICELLA UN’ONDA &

Infatti, crediamo che ogni cosa mostri questa doppia natura MA che questo si manifesti solo nel mondo microscopico. Questo è conosciuto come “dualismo onda-particella”. OGNI particella ha natura sia di onda sia di particella.

SVILUPPIAMO ORA QUESTO CONCETTO IN MODO DA POTER DESCRIVERE ALCUNE PROPRIETA’ DEL FOTONE USANDO LA TERMINOLOGIA DI SOLITO RISERVATA ALLE ONDE, COME…

(la distanza misurata in metri tra due creste successive) LUNGHEZZA D’ONDA (l) (la distanza misurata in metri tra due creste successive) λ λ

(per esempio, quante volte al secondo un tappo FREQUENZA (f) (per esempio, quante volte al secondo un tappo

FREQUENZA (f) (per esempio, quante volte al secondo un tappo fa un movimento ciclico su e giù e di nuovo su mentre passa l’onda; si misura in cicli al secondo OPPURE hertz Hz)

FREQUENZA (f) (per esempio, quante volte al secondo un tappo fa un movimento ciclico su e giù e di nuovo su mentre passa l’onda; si misura in cicli al secondo OPPURE hertz Hz) 0.00 secondi

FREQUENZA (f) (per esempio, quante volte al secondo un tappo fa un movimento ciclico su e giù e di nuovo su mentre passa l’onda; si misura in cicli al secondo OPPURE hertz Hz) 0.25 secondi

FREQUENZA (f) (per esempio, quante volte al secondo un tappo fa un movimento ciclico su e giù e di nuovo su mentre passa l’onda; si misura in cicli al secondo OPPURE hertz Hz) f = 1 ciclo in 0.50 secondi = 2 cicli al secondo = 2 Hz 0.50 secondi

E = h f L’ENERGIA di un singolo fotone è data dalla seguente semplice piccola formula: E = h f dove “h” è un fattore che ci permette di convertire la frequenza di un fotone nella sua energia. In base a questa formula, più grande è la frequenza (f) del fotone, più grande è la sua energia (E).

E = hf h = 6.63 × 10-34 joule secondo (J s) IL FATTORE DI CONVERSIONE h E’ CHIAMATO COSTANTE DI PLANCK, ED HA UN VALORE ESTREMAMENTE PICCOLO: h = 6.63 × 10-34 joule secondo (J s) POSSIAMO ANCHE ESPRIMERLO IN DIFFERENTI UNITA’: h = 4.14 × 10-15 elettronvolt secondo (eV s)

SE VOGLIAMO TROVARE LA LUNGHEZZA D’ONDA DEL FOTONE, USEREMO UNA VERSIONE LEGGERMENTE DIVERSA DELLA FORMULA: DOVE c E’ LA VELOCITA’ DELLA LUCE: 3.00 × 108 metri al secondo (m/s) QUESTA VERSIONE DELLA FORMULA CI DICE CHE MAGGIORE E’ LA LUNGHEZZA D’ONDA DEL FOTONE, MINORE E’ LA SUA ENERGIA.

ENERGIA CRESCENTE QUESTE FORMULE CI DICONO ANCHE CHE LE ENERGIE NELLO SPETTRO ELETTROMAGNETICO CRESCONO DALLE FREQUENZA PIU’ PICCOLE A QUELLE PIU’ GRANDI, E DECRESCONO DALLE LUNGHEZZE D’ONDA PIU’ CORTE A QUELLE PIU’ LUNGHE.

#2 E = mc2

Come Amministratore Delegato di una grande ditta, questa formula mi sembra un po’ difficile e mi provoca un forte mal di testa.

E = mc2 AVETE GIA’ VISTO QUESTA FORMULA: ESSA CI PERMETTE DI CONVERTIRE LA MASSA (m) IN ENERGIA (E). LA FORMA LEGGERMENTE MODIFICATA: PUO’ ESSERE USATA PER CONVERTIRE ENERGIA IN MASSA.

E = mc2 NON SI STA MUOVENDO. DA’ QUELLA CHE E’ DETTA “ENERGIA A RIPOSO”. CIO’ SIGNIFICA ESATTAMENTE QUEL CHE DICE: E’ L’ENERGIA TOTALE DI UNA MASSA CHE NON SI STA MUOVENDO. SE ABBIAMO UNA MASSA IN MOVIMENTO DOBBIAMO CAMBIARE UN POCO QUESTA FORMULA…

SI HA E = mc2 QUESTA FORMULA DA’ L’ENERGIA TOTALE DI UNA MASSA IN MOVIMENTO. SEMBRA IDENTICA A E = mc2 MA CON QUALCOSA DI EXTRA COSA E’  ? (OLTRE A ESSERE UNA LETTERA GRECA)

QUESTA ESPRESSIONE E’ CONOSCIUTA COME FATTORE GAMMA AAAAHHHHHH! QUESTA ESPRESSIONE E’ CONOSCIUTA COME FATTORE GAMMA

E’ SOLO UNA FRAZIONE — PAZZA! Numeratore Denominatore Radice quadrata del denominatore Un’altra frazione, con il numeratore e il denominatore al quadrato

è la velocità a cui si muove la massa è la velocità della luce (come già sapete) è la velocità della luce Notate anche che si può scrivere come

Sotto la radice quadrata (al denominatore), abbiamo Quando dividiamo un numero per un numero molto più grande, il risultato è molto piccolo. Dal momento che la velocità della luce è enorme, se prendiamo una velocità “usuale” e la dividiamo per c, otteniamo un valore molto piccolo. Se lo eleviamo al quadrato, il risultato è ancora più piccolo. Se lo sottraiamo da uno? Bene, quello che otteniamo è estremamente vicino a UNO.

1 Per provare che è vero, considera una velocità v = 80 km/h (≈ 22 m/s) e dividila per c (= 3.0 ×108 m/s) [Risposta: 0.000000073] Se elevi al quadrato la risposta, hai: 0.0000000000000054 Infine, 1 - 0.0000000000000054 = 0.999999999999946 che, per la maggior parte degli scopi, può essere scritto semplicemente come: 1

Così, per “velocità usuali”, ≈ 1 e = 1 ≈

se v diventa più grande, così fa Quindi, diventerà più piccolo, ORA, se v diventa più grande, così fa Quindi, diventerà più piccolo, e diventerà più grande.

considera una velocità v di 99.5% la velocità della luce (0.995c): Per provare che è vero, considera una velocità v di 99.5% la velocità della luce (0.995c): Allora, = (0.995)2 ≈ 0.99 e ≈ 0.01 Così, ≈ = 10

CHE NON E’ PERMESSO IN MATEMATICA. E COSA ACCADE SE V = C ? Allora = 0 E = CHE NON E’ PERMESSO IN MATEMATICA.

MASSA E NON E’ PERMESSO NEANCHE IN NATURA. NULLA CHE ABBIA PUO’ MUOVERSI ALLA VELOCITA’ DELLA LUCE! Come esercizio, guarda cosa accade al fattore gamma se usiamo una velocità PIU’ GRANDE della velocità della luce.

QUESTO GRAFICO MOSTRA COME IL FATTORE GAMMA VARIA CON LA VELOCITA’: fattore  vs. velocità  0.1c 0.2c 0.5c 0.3c 0.6c 0.4c 1.0c 0.7c 0.9c 0.8c v Il fattore gamma rimane molto vicino a 1, anche per velocità (v) pari a metà della velocità della luce. A velocità più grandi di 0.95c, il fattore gamma comincia a diventare molto grande e molto velocemente.

Velocità (v)  (con 3 cifre decimali) 0.00000009259c (= 100 km/h) 1.000 0.1c 1.005 0.2c 1.021 0.3c 1.048 0.4c 1.091 0.5c 1.155 0.6c 1.250 0.7c 1.400 0.8c 1.667 0.9c 2.294 0.95c 3.203 0.99c 7.089 0.995c 10.013 0.999c 22.366 0.9999c 70.712 0.99999c 233.607 OLTRE AL GRAFICO, SI PUO’ USARE QUESTA TABELLA PER TROVARE IL FATTORE GAMMA PER DIVERSE VELOCITA’

QUESTO PER IL FATTORE GAMMA, MA COSA CI DICE EFFETTIVAMENTE LA FORMULA E = mc2 ? Quando una massa si muove, essa ha due distinti tipi di energia: l’energia dovuta alla massa (l’energia a riposo mc2) l’energia dovuta al movimento (l’energia cinetica Ek) L’energia totale data da E = mc2, è in effetti la somma di queste due: Energia totale = energia a riposo + energia cinetica mc2 = mc2 + Ek

Ek = mc2 − mc2 OPPURE Ek = ( − 1)mc2 Nota anche che, se vogliamo sapere solo l’energia cinetica, possiamo riscrivere mc2 = mc2 + Ek come Ek = mc2 − mc2 OPPURE Ek = ( − 1)mc2 Nota che per una velocità di 0.995c, Ek ≈ (10 − 1)mc2 = 9mc2. Questo può essere utile talvolta per approssimazioni di calcolo.

#3

NO!!!!

NO!!!!

NO!!!!

NO!!!!

NO!!!!

NO!!!!

NO!!!!

Questo non mi impedirà in alcun modo di fare il mio lavoro. Non preoccupatevi. Questo non mi impedirà in alcun modo di fare il mio lavoro.

Non ci aspettiamo che siate capaci di capire questa formula a questo livello! Per questo dovrete aspettare finchè non avrete una base molto più solida di matematica.* Ve l’abbiamo mostrata qui a causa del suo profondo significato nella storia della comprensione umana sull’esistenza dell’antimateria. * Se gli studenti sono interessati, c’è una spiegazione semplificata di questa formula nel libro Antimateria di Frank Close (2010, edizioni Einaudi) che può essere adatto studenti di scuola superiore con qualche conoscenza sulle matrici.

La formulò nel 1928, all’età di 26 anni. Questa formula è l’Equazione di Dirac, dal nome del fisico che la ha formulata, Paul A. M. Dirac. La formulò nel 1928, all’età di 26 anni.

l’equazione x2=16 ammette due soluzioni +4 oppure −4 Senza entrare in dettaglio (che sarebbe oltre lo scopo di questo modulo), viene fuori che quando si risolve questa equazione, vi sono due soluzioni possibili… Sapete già che quando si risolve una equazione, vi è talvolta più di una soluzione. Per esempio, quando facciamo la radice quadrata di un numero, sappiamo che ci sono esattamente due soluzioni. Per esempio, l’equazione x2=16 ammette due soluzioni +4 oppure −4 Questa è una realtà matematica e non possiamo sfuggire da essa. Applicando la matematica allo studio della natura, otteniamo anche qui talvolta due (o più) soluzioni possibili per le nostre formule. Molto spesso solo una di queste soluzioni avrà senso in natura, e possiamo scegliere di scartare le altre.

Così l’esistenza dell’antimateria fu prevista (usando la matematica) La genialità di Paul Dirac fu che egli ritenne che entrambe le soluzioni della sua equazione avessero un significato nella realtà: una che aveva senso per la materia, e un’altra che aveva senso solo se fosse esistito un altro tipo di materiale — l’antimateria. Così l’esistenza dell’antimateria fu prevista (usando la matematica) prima che nessuno avesse mai sognato una tale cosa. Questa piastrella fu posata nell’Abbazia di Westminster nel 1995 per commemorare Paul Dirac . Questa è la prima equazione apparsa nell’Abbazia e celebra il riconoscimento di Dirac come uno dei padri fondatori della fisica quantistica. Per saperne di più su Paul Dirac, clicca qui sotto: http://cerncourier.com/cws/article/cern/28693