L’integrale indefinito Le primitive di una funzione Diciamo che una funzione è una primitiva di un’altra funzione in un dato intervallo se in ogni punto di Per esempio: se allora perché

L’integrale indefinito Ogni funzione ha infinite primitive che differiscono tra loro per una costante; relativamente ai precedenti esempi: se tutte le primitive sono con c costante reale. L’insieme di tutte le primitive di una funzione si dice integrale indefinito di e si indica con il simbolo:

L’integrale indefinito ESEMPI L’insieme delle primitive della funzione è: perché L’insieme delle primitive della funzione è: perché

L’integrale indefinito Per trovare l’integrale indefinito delle funzioni elementari dobbiamo in un certo senso invertire le regole di derivazione. Ricordiamo le primitive di alcune tra le principali funzioni.

L’integrale indefinito ESEMPI 1) 2) 3) 4)

I metodi di integrazione Le prime proprietà dell’integrale indefinito e il metodo di scomposizione.  L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione. In simboli  L’integrale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni. In simboli Queste due proprietà ci dicono che l’integrale indefinito è un operatore lineare, cioè:

I metodi di integrazione Il metodo di integrazione che sfrutta le precedenti proprietà prende il nome di metodo di scomposizione. ESEMPI 1. 2. 3.

I metodi di integrazione L’integrazione delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta Dalla regola di derivazione delle funzioni composte: Ricaviamo, leggendo in senso inverso: Per integrare una funzione composta dobbiamo quindi avere come fattore moltiplicativo la derivata del suo argomento.

I metodi di integrazione ESEMPIO è la funzione potenza il cui argomento è , la derivata di è . Possiamo quindi applicare la regola: Infatti: cioè

I metodi di integrazione ALTRI ESEMPI 1. Utilizziamo la regola di integrazione della potenza: dove e

I metodi di integrazione 2. Dobbiamo riferirci alla regola di integrazione di dove e Per avere dobbiamo moltiplicare, e quindi dividere per 2:

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte Vogliamo occuparci dell’integrazione delle funzioni che si presentano nella forma 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) , dove 𝐴(𝑥) è un polinomio di grado 𝑚 e 𝐵(𝑥) è un polinomio di grado 𝑛. Il caso 𝐦<𝐧 Poiché il grado del numeratore è minore di quello del denominatore diciamo che la frazione è propria. Le procedure di integrazione sono diverse a seconda della forma che assume la frazione.

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte Integrale in cui il numeratore è la derivata del denominatore Qualunque sia il grado del denominatore, si ha: 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ln 𝑓 𝑥 +𝑐 ESEMPIO 1 3𝑥−4 𝑑𝑥= 1 3 3 3𝑥−4 𝑑𝑥= 1 3 ln 3𝑥−4 +𝑐

Integrali della forma 𝟏 (𝒂𝒙+𝒃) 𝒌 con 𝒌>𝟏 L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte Integrali della forma 𝟏 (𝒂𝒙+𝒃) 𝒌 con 𝒌>𝟏 Applichiamo la regola della potenza: 1 (𝑎𝑥+𝑏) 𝑘 = (𝑎𝑥+𝑏) −𝑘 𝑑𝑥= 1 𝑎 𝑎 (𝑎𝑥+𝑏) −𝑘 𝑑𝑥= 1 𝑎(−𝑘+1) (𝑎𝑥+𝑏) −𝑘+1 +𝑐 ESEMPIO 1 (2𝑥+7) 4 𝑑𝑥= 1 2 2 (2𝑥+7) −4 𝑑𝑥= 1 2 ∙ − 1 3 2𝑥+7 −3 +𝑐=− 1 6 2𝑥+7 3 +𝑐

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte Integrali della forma 𝒎𝒙+𝒏 𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 con 𝒂≠𝟎 Il metodo di integrazione è diverso a seconda del segno del discriminante del polinomio al denominatore. I CASO: il discriminante è positivo Il denominatore si può scomporre nel prodotto di due o più fattori: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=𝑎 𝑥− 𝑥 1 𝑥− 𝑥 2 . In tal caso: scriviamo la frazione come somma di altre frazioni che hanno come denominatori i fattori della scomposizione; integriamo ciascuna frazione ottenuta.

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte ESEMPIO 1 3 𝑥 2 −4𝑥+1 𝑑𝑥 Scomponiamo il denominatore: 3 𝑥 2 −4𝑥+1=3 𝑥− 1 3 𝑥−1 = 3𝑥−1 𝑥−1 Cerchiamo due numeri 𝐴 e 𝐵 tali che sia: 1 3 𝑥 2 −4𝑥+1 = 𝐴 3𝑥−1 + 𝐵 𝑥−1

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte Poiché 𝐴 3𝑥−1 + 𝐵 𝑥−1 = 𝐴 𝑥−1 +𝐵(3𝑥−1) (3𝑥−1)(𝑥−1) = 𝐴𝑥−𝐴+3𝐵𝑥−𝐵 (3𝑥−1)(𝑥−1) = 𝑥 𝐴+3𝐵 −𝐴−𝐵 (3𝑥−1)(𝑥−1) affinché sussista l’uguaglianza 1 3 𝑥 2 −4𝑥+1 = 𝑥 𝐴+3𝐵 −𝐴−𝐵 (3𝑥−1)(𝑥−1) per il principio di identità dei polinomi dovrà essere: 𝐴+3𝐵=0 manca il termine in x −𝐴−𝐵=1 il termine noto vale 1

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte Risolvendo il sistema otteniamo: 𝐴=− 3 2 ∧𝐵= 1 2 Possiamo perciò scrivere: 1 3 𝑥 2 −4𝑥+1 𝑑𝑥= −3/2 3𝑥−1 𝑑𝑥+ 1/2 𝑥−1 𝑑𝑥 = =− 1 2 3 3𝑥−1 𝑑𝑥+ 1 2 1 𝑥−1 𝑑𝑥 =− 1 2 ln 3𝑥−1 + 1 2 ln 𝑥−1 +𝑐 e applicando la proprietà dei logaritmi: 1 2 ln 𝑥−1 3𝑥−1 +𝑐

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte II CASO: il discriminante è nullo Il denominatore è il quadrato di un binomio. Se il numeratore è costante rientriamo nel caso di integrazione di una potenza. Se il numeratore è un polinomio di primo grado, allora: scriviamo la frazione come somma di altre due, la prima delle quali ha al denominatore il binomio e l’altra il quadrato del binomio; integriamo ciascuna frazione ottenuta.

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte ESEMPIO 2𝑥+1 4𝑥 2 −4𝑥+1 𝑑𝑥= 2𝑥+1 (2𝑥−1) 2 𝑑𝑥 Cerchiamo due numeri 𝐴 e 𝐵 tali che sia: 2𝑥+1 (2𝑥−1) 2 = 𝐴 2𝑥−1 + 𝐵 (2𝑥−1) 2

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte Perciò: eseguendo la somma delle due frazioni: 𝐴 2𝑥−1 + 𝐵 (2𝑥−1) 2 = 𝐴 2𝑥−1 +𝐵 (2𝑥−1) 2 = 2𝐴𝑥−𝐴+𝐵 (2𝑥−1) 2 allora dovrà essere: 2𝐴=2 −𝐴+𝐵=1 → 𝐴=1 𝐵=2 Possiamo quindi scrivere: 2𝑥+1 (2𝑥−1) 2 𝑑𝑥= 1 2𝑥−1 𝑑𝑥+ 2 (2𝑥−1) 2 = 1 2 2 2𝑥−1 𝑑𝑥+ 2 (2𝑥−1) −2 𝑑𝑥 Integrando otteniamo: 1 2 ln 2𝑥−1 − 1 2𝑥−1 +𝑐

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte III CASO: il discriminante è negativo Caso del numeratore costante Il metodo di integrazione consiste nel ricondursi alla forma nota: 𝑓′(𝑥) [𝑓 𝑥 ] 2 +𝑘 𝑑𝑥= 1 𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑓(𝑥) 𝑘 +𝑐 (𝑐𝑜𝑛 𝑘>0)

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte ESEMPIO 5 3 𝑥 2 −2𝑥+1 𝑑𝑥 Per trasformare il denominatore seguiamo il seguente procedimento: raccogliamo il coefficiente del termine di grado massimo: 3 𝑥 2 − 2 3 𝑥+ 1 3 aggiungiamo e togliamo all’interno della parentesi un termine opportuno in modo da ricondurci al quadrato di un binomio: 3 𝑥 2 − 2 3 𝑥+ 1 3 =3 𝑥 2 − 2 3 𝑥+ 1 9 − 1 9 + 1 3 =3 𝑥− 1 3 2 + 2 9

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte L’integrale diventa: 5 3 1 𝑥− 1 3 2 + 2 9 𝑑𝑥 con 𝑓 𝑥 =𝑥− 1 3 , 𝑓 ′ 𝑥 =1, 𝑘= 2 9 . Applicando la regola di integrazione troviamo: 5 3 𝑥 2 −2𝑥+1 𝑑𝑥= 5 3 1 2 9 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥− 1 3 2 9 +𝑐= 5 2 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2 (3𝑥−1) 2 +𝑐

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte Caso in cui il numeratore è un polinomio di primo grado In questo caso dobbiamo prima trasformare il numeratore in modo che compaia la derivata del numeratore e poi riscrivere la frazione come somma di due componenti: una in cui il numeratore è la derivata del denominatore e l’altra in cui il numeratore è costante.

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte ESEMPIO 𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥 𝐷 𝑥 2 +𝑥+1 =2𝑥+1. Moltiplichiamo e dividiamo la frazione per 2 in modo da ottenere 2𝑥: 1 2 2𝑥+2 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥 Abbiamo così: 1 2 2𝑥+1+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥= 1 2 2𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥+ 1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥 = = 1 2 2𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥+ 1 2 1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte Calcoliamo separatamente i due integrali omettendo per il momento la costante additiva: 1 2 2𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥= 1 2 ln⁡( 𝑥 2 +𝑥+1 ) 1 2 1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥= 1 2 1 𝑥 2 +𝑥+ 1 4 − 1 4 +1 𝑑𝑥= 1 2 1 𝑥+ 1 2 2 + 3 4 𝑑𝑥= = 1 2 ∙ 1 3 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥+ 1 2 3 4 = 3 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3 (2𝑥+1) 3 In definitiva: 𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥= 1 2 ln 𝑥 2 +𝑥+1 + 3 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3 (2𝑥+1) 3 +𝑐

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte Riassumiamo in una tabella la procedura di calcolo nei tre casi visti:

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte Il caso 𝐦≥𝐧 Se la frazione 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) ha il numeratore di grado maggiore o uguale di quello del denominatore, si esegue la divisione tra polinomi: 𝑄 𝑥 : quoziente 𝑅 𝑥 : resto 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) =𝑄 𝑥 + 𝑅(𝑥) 𝐵(𝑥) Il calcolo dell’integrale si riconduce alla determinazione della primitiva del polinomio 𝑄(𝑥) e della frazione 𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥) con le regole viste nei casi precedenti.

L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte ESEMPIO 𝑥 2 +1 𝑥+1 𝑑𝑥 Eseguiamo la divisione: 𝑥 2 +1 𝑥+1 −𝑥 2 −𝑥 𝑥−1 −𝑥+1 +𝑥+1 2 Quindi: 𝑥 2 +1 𝑥+1 𝑑𝑥= 𝑥−1 𝑑𝑥+ 2 𝑥+1 𝑑𝑥= 𝑥 2 2 −𝑥+2 ln 𝑥+1 +𝑐

L’integrale indefinito Integrazione per parti Integrazione per parti Date due funzioni 𝑓 𝑥 e 𝑔(𝑥) continue con derivata continua in un intervallo [𝑎, 𝑏], si ha: 𝑓 ′ 𝑥 ∙𝑔 𝑥 𝑑𝑥=𝑓 𝑥 ∙𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥)∙ 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥 Questa formula si applica quando la funzione integranda può essere vista come prodotto di due funzioni, una delle quali è la derivata di una funzione nota. La funzione 𝑔(𝑥) prende il nome di fattore finito. La funzione 𝑓(𝑥) prende il nome di fattore differenziale.

L’integrale indefinito Integrazione per parti ESEMPIO 𝑥∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 ∙𝑥− 𝑒 𝑥 ∙1 𝑑𝑥=𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 +𝑐 𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑔′(𝑥)

L’integrale indefinito Integrazione per sostituzione Integrazione per sostituzione Questo metodo si usa quando, operando un cambio di variabile, si riesce ad ottenere un integrale immediato o facilmente calcolabile. Posto 𝑥=𝑔(𝑡) si sfrutta l’uguaglianza: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑓[𝑔 𝑡 ]∙ 𝑔 ′ 𝑡 𝑑𝑡

L’integrale indefinito Integrazione per sostituzione ESEMPIO Calcoliamo 𝑥 1+𝑥 𝑑𝑥. I passo: poniamo 𝑥 =𝑡 cioè 𝑥= 𝑡 2 , con 𝑡≥0. La funzione da integrare diventa: 𝑡 1+ 𝑡 2 . II passo: dobbiamo calcolare 𝑑𝑥. Differenziamo entrambi i membri dell’uguaglianza 𝑥=𝑡 2 : 𝑑𝑥=2𝑡 𝑑𝑡.

L’integrale indefinito Integrazione per sostituzione III passo: operiamo le sostituzioni. 𝑥 1+𝑥 𝑑𝑥= 𝑡 1+ 𝑡 2 ∙2𝑡 𝑑𝑡= 2 𝑡 2 1+ 𝑡 2 𝑑𝑡 Calcoliamo l’integrale: 2 𝑡 2 1+ 𝑡 2 𝑑𝑡=2 𝑡 2 1+ 𝑡 2 𝑑𝑡=2 𝑡 2 +1−1 1+ 𝑡 2 𝑑𝑡 = =2 𝑡 2 +1 𝑡 2 +1 𝑑𝑡− 1 1+𝑡 2 𝑑𝑡 =2 𝑑𝑡− arctan 𝑡 +𝑐= =2 𝑡− arctan 𝑡 +𝑐 IV passo: operiamo la sostituzione inversa; otteniamo: 𝑥 1+𝑥 𝑑𝑥=2 𝑥 −2 arctan 𝑥 +𝑐

L’integrale indefinito Integrazione per sostituziome Sintetizziamo la procedura: si opera una opportuna sostituzione 𝑥=𝑔 𝑡 si differenziano entrambi i membri della relazione ottenendo 𝑑𝑥= 𝑔 ′ 𝑡 𝑑𝑡 si sostituisce a 𝑑𝑥 la sua espressione in funzione di 𝑡 si integra la nuova funzione in 𝑡 ottenuta si opera infine la sostituzione inversa.

L’integrale indefinito Integrazione per sostituzione Segnaliamo alcune sostituzioni particolari, dove 𝑘 rappresenta un numero reale: 𝑘 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 si pone 𝑥=𝑘 sin 𝑡 𝑥 2 ± 𝑘 2 𝑑𝑥 e 1 𝑥 2 ± 𝑘 2 𝑑𝑥 si pone 𝑥 2 ± 𝑘 2 =𝑡−𝑥