x : variabile indipendente Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazione Considerato un insieme A di elementi x e un insieme B di elementi y , una funzione da A in B è ogni relazione f che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo elemento y di B. Se x è l’elemento associato a x nella f si dice che y è l’immagine di x : y = f (x) Viceversa, x è la controimmagine di y. x : variabile indipendente y : variabile dipendente Dominio della funzione: A (viene indicato con D) Codominio della funzione: insieme delle immagini (viene indicato con C )

Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni suriettive, iniettive, biiettive suriettiva se il codominio coincide con B, cioè non ci sono elementi y in B che non hanno controimmagini in A. La funzione in fig.a è suriettiva se consideriamo come insieme B quello degli y che sono maggiori o uguali a -2: ogni retta parallela all’asse x la incontra in almeno un punto. Una funzione si dice: iniettiva se a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. La funzione in fig.b è iniettiva: ogni retta parallela all’asse x la incontra al massimo in un punto; biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva. La funzione in fig.c è biiettiva; ogni retta parallela all’asse x la incontra in uno e un solo punto. Delle funzioni biiettive si dice che sono delle corrispondenze biunivoche tra gli elementi dell’insieme e quelli dell’insieme , vale a dire che ad ogni elemento di viene associato un solo elemento di e viceversa.

Le funzioni: definizioni e classificazioni La funzione inversa Una funzione è invertibile se la relazione che si ottiene scambiando gli insiemi e , cioè e , è ancora una funzione; la funzione inversa si indica con il simbolo ed è: Le funzioni suriettive e quelle iniettive non sono di norma invertibili, quelle biiettive lo sono sempre. Per trovare l’equazione dell’inversa di una funzione invertibile basta scambiare le variabili e e risolvere l’equazione ottenuta rispetto a . Il grafico della funzione inversa si ottiene per simmetria rispetto alla bisettrice .

definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazioni ESEMPIO Troviamo l’inversa della funzione La funzione è invertibile perché è biettiva; infatti, a valori diversi di x corrispondono valori diversi di y. se e solo se ed è 6 Troviamo l’equazione dell’inversa scambiando i ruoli di e Il grafico della funzione è quello in colore blu; quello dell’inversa (in rosso) è il suo simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Le funzioni: definizioni e classificazioni La funzione composta Date due funzioni e , si dice funzione composta di e la funzione che si ottiene applicando la agli elementi ottenuti dalla . Per indicare che è il prodotto di e scriviamo: ed è ESEMPIO Date le funzioni: e , calcoliamo: quindi quindi

Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni reali di variabile reale La classificazione Possiamo classificare le funzioni in base alla forma dell’espressione analitica che le definisce in: Funzioni algebriche: funzioni la cui espressione algebrica contiene solo operazione di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, elevamenti a potenza ed estrazioni di radice nella variabile . In tutti gli altri casi si dice che la funzione è trascendente.

Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni Algebriche Trascendenti Razionali Irrazionali Intere Fratte

Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni definite per casi Una funzione si dice definita per casi se è definita da espressioni diverse a seconda del valore assunto da . ESEMPIO

definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazioni Tra le funzioni definite per casi possiamo annoverare anche quelle che contengono moduli. ESEMPIO -1 1

Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni crescenti e decrescenti Consideriamo una funzione definita in un insieme e nell’intervallo ; siano e due punti di . Diciamo che: è crescente in se quando anche è decrescente in se quando allora

definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni pari e dispari Sia una funzione di dominio ; diciamo che: è pari se per ogni è dispari se per ogni Grafico simmetrico rispetto all’asse y ESEMPIO La funzione è una funzione pari:

definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazioni Grafico simmetrico rispetto all’origine La funzione è una funzione dispari: Grafico non simmetrico rispetto all’asse y e all’origine La funzione è una funzione né pari, né dispari:

Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni periodiche Una funzione si dice periodica di periodo , con , se si verifica che: Con numero intero qualsiasi.

Le funzioni: definizioni e classificazioni La funzione e la funzione sono periodiche di periodo . La funzione è periodica di periodo . La funzione e la funzione sono periodiche di periodo . Esempio: La funzione , essendo , è periodica di periodo La funzione è periodica di periodo . Esempio: La funzione , essendo , è periodica di periodo

Il dominio naturale di una funzione Il dominio naturale di una funzione , detto anche insieme di definizione o campo di esistenza, è sempre un sottoinsieme, proprio o improprio, dell’insieme dei numeri reali che dipende dalle operazioni che compaiono nell’espressione di .. Per esempio: La funzione ha dominio La funzione ha dominio l’insieme esclusi i punti che annullano il denominatore:

Il dominio naturale di una funzione ESEMPIO Determiniamo il dominio della funzione La funzione esiste per i valori di che soddisfano il seguente sistema: per l’esistenza del radicale (indice pari) per l’esistenza della frazione per l’esistenza del logaritmo Risolvendo otteniamo: La cui soluzione è Quindi:

Il segno di una funzione Una volta determinato il dominio, si possono ricavare altre informazioni sul grafico della funzione . Intersezioni con gli assi cartesiani I punti di intersezione con l’asse si determinano risolvendo il sistema: Le soluzioni dell’equazione , se esistono, vengono detti zeri della funzione. Una funzione può avere al massimo un punto di intersezione con l’asse che, se esiste, si determina risolvendo il sistema: Cioè valutando Studio del segno Studiare il segno di una funzione significa individuare gli intervalli del dominio in cui la funzione assume valori positivi e quelli in cui assume valori negativi. Cioè equivale a risolvere la disequazione .

Le successioni Un caso particolare di funzioni: le successioni Una successione è una funzione definita nell’insieme dei numeri naturali. ESEMPIO La successione costituita dai cubi dei numeri naturali è una funzione che associa ad ogni numero naturale il suo cubo. .

Le successioni La rappresentazione di una successione Una successione può essere rappresentata Tramite il termine generale espresso in funzione di . Tramite regola ricorsiva così definita: : valore del primo termine della successione : regola che esprime in funzione di

La successione 0, 2, 4, 6, 8, 10, … può essere rappresentata Le successioni ESEMPIO La successione 0, 2, 4, 6, 8, 10, … può essere rappresentata tramite termine generale tramite regola ricorsiva