LA GEOMETRIA LA GEOMETRIA Utilizza il metodo assiomatico deduttivo introdotto da Euclide. È la scienza che studia la forma dei corpi, la loro dimensione e le trasformazioni che possono subire. Tutti i corpi che ci circondano hanno tre dimensioni: lunghezza larghezza altezza o spessore Tutti le figure geometriche i corpi derivano dagli enti fondamentali: punto linea piano

ASSIOMI E POSTULATI ASSIOMI E POSTULATI Per un punto passano infinite rette (fascio di rette) Per due punti distinti passa una ed una sola retta Per tre punti non allineati non passa alcuna retta Per un punto passano infiniti piani (stella di piani) Per due punti distinti passano infinti piani (fascio di piani) Per tre punti non allineati passa un solo piano

GLI ENTI FONDAMENTALI GLI ENTI FONDAMENTALI Il punto è l’ente più semplice e non ha né forma né dimensione, ma indica una posizione nello spazio. La linea è un insieme infinito di punti uno di seguito all’altro. Il piano è un insieme infinito di punti uno di fianco all’altro.

TIPI DI LINEE TIPI DI LINEE LINEA CURVA Infiniti punti uno di seguito all’altro. LINEA RETTA Come la curva, ma i punti sono allineati. LINEA SPEZZATA è formata da infiniti pezzi di retta. LINEA MISTA è formata da parti di linea retta e da parti di linea curva.

POSIZIONI DI DUE RETTE POSIZIONI DI DUE RETTE PARALLELE Due rette si dicono parallele se non hanno nessun punto in comune. INCIDENTI Due rette si dicono incidenti se appartengono allo stesso piano ed hanno un solo punto in comune PERPENDICOLARI Due rette si dicono perpendicolari sono incidenti e dividono il piano in quattro angoli retti. COINCIDENTI Due rette si dicono coincidenti se appartengono allo stesso piano ed hanno tutti i punti in comune

LE PARTI DELLA RETTA LE PARTI DELLA RETTA La semiretta è una parte di retta che un inizio, detto origine, ma non ha una fine. Il segmento è una parte di retta delimitata da due punti detti estremi

IL SEGMENTO IL SEGMENTO Due segmenti si dicono consecutivi che hanno un estremo in comune Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e giacciono sulla stessa retta, da parti opposte dell’estremo comune. Due segmenti si dicono sovrapposti se sono consecutivi e giacciono sulla stessa retta, ma dalla stessa parte rispetto all’estremo comune.

SOMMA E DIFFERENZA DI SEGMENTI SOMMA E DIFFERENZA DI SEGMENTI La somma di due segmenti si ottiene spostando i segmenti fino a farli diventare adiacenti. La somma è il segmento che ha per estremi gli estremi non comuni. AB + CD = AD A B C D La differenza di due segmenti si ottiene spostando i segmenti fino a farli diventare sovrapposti. La differenza è il segmento che ha per estremi gli estremi non comuni. C AB - CD = BD D A B

MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI SEGMENTI Un segmento si dice multiplo di un altro se lo contiene un numero esatto di volte, cioè se è uguale alla somma di n segmenti uguali. Il segmento che è contenuto esattamente nell’altro è detto sottomultiplo. A B D AD = 6 x AB AB sottomultiplo di AD AD multiplo di AB

GLI ANGOLI GLI ANGOLI L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano risulta diviso da due semirette aventi la stessa origine. CONCAVO Contiene i prolungamenti dei lati CONVESSO Non contiene i prolungamenti dei lati PIATTO Quando i lati sono due semirette opposte.

ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE POSIZIONE DEGLI ANGOLI POSIZIONE DEGLI ANGOLI ANGOLI CONSECUTIVI Hanno in comune il vertice un lato e nessun altro punto ANGOLI ADIACENTI Hanno in comune il vertice un lato e nessun altro punto e gli altri due lati sono semirette opposte. ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE Quando i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro. Due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti.

SOMMA DEGLI ANGOLI SOMMA DEGLI ANGOLI ANGOLI COMPLEMENTARI Quando la loro somma è un angolo retto Per sommare due angoli, bisogna spostarli fino a farli diventare consecutivi; la somma sarà l’angolo che ha per lati i lati non comuni. ab + bc = ac ANGOLI SUPPLEMENTARI Quando la loro somma è un angolo piatto ANGOLI ESPLEMENTARI Quando la loro somma è un angolo rgieo

DIFFERENZA TRA DUE ANGOLI DIFFERENZA TRA DUE ANGOLI Per sottrarre tra loro due angoli, bisogna spostarli fino a farli diventare sovrapposti; la differenza sarà l’angolo che ha per lati i lati non comuni.

MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI ANGOLI MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI ANGOLI Un angolo si dice multiplo di un altro se lo contiene un numero esatto di volte. L’angolo contenuto viene detto, invece, sottomultiplo.

I POLIGONI I POLIGONI Il poligono è una parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa. 3 lati = triangolo 4 lati = quadrilatero 5 lati = pentagono 6 lati = esagono 7 lati = ettagono 8 lati = ottagono 10 lati = decagono 12 lati = dodecagono 20 lati = icosagono Prende il nome dal numero dei lati

IL TRIANGOLO IL TRIANGOLO La somma degli angoli esterni misura 360°, mentre quella degli angoli interni misura 180°. È un poligono di tre lati e tre angoli. Si classificano in base agli angoli ed in base ai lati. LATI Equilatero = tre lati uguali Isoscele = due uguali ed uno diverso Scaleno = tre lati diversi ANGOLI Acutangolo = tre angoli acuti Rettangolo = due acuti ed uno retto Ottusangolo = due acuti ed uno ottuso

ALTEZZE DEL TRIANGOLO ALTEZZE DEL TRIANGOLO In un triangolo, l’altezza relativa ad un lato è il segmento di perpendicolare alla retta cui appartiene il lato e condotto dal vertice opposto. In un triangolo vi sono tre altezze, una relativa ad ogni lato, che si incontrano sempre in uno stesso punto detto ORTOCENTRO. ORTOCENTRO

BISETTRICI DEL TRIANGOLO BISETTRICI DEL TRIANGOLO La bisettrice di un angolo è la semiretta che ha l’origine nel vertice dell’angolo e che lo divide in due parti congruenti. In un triangolo vi sono tre bisettrici che si incontrano sempre in uno stesso punto detto INCENTRO. INCENTRO

MEDIANE DEL TRIANGOLO MEDIANE DEL TRIANGOLO In un triangolo, la mediana è il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto. In un triangolo vi sono tre mediane, una relativa ad ogni lato, che si incontrano sempre in uno stesso punto detto BARICENTRO. BARICENTRO

ASSI DEL TRIANGOLO ASSI DEL TRIANGOLO In un triangolo, l’asse di un lato è la perpendicolare al lato stesso, condotta per il suo punto medio. In un triangolo vi sono tre assi, uno per ogni lato, che si incontrano sempre in uno stesso punto detto CIRCOCENTRO. CIRCOCENTRO

Vertice dell’angolo retto Punto medio dell’ipotenusa PUNTI NOTEVOLI DEL TRIANGOLO PUNTI NOTEVOLI DEL TRIANGOLO Acutangolo Rettangolo Ottusangolo Vertice dell’angolo retto Ortocentro Interno Esterno Incentro Interno Interno Interno Baricentro Interno Interno Interno Punto medio dell’ipotenusa Circocentro Interno Esterno

Sono poligoni di 4 lati e 4 angoli. I QUADRILATERI I QUADRILATERI Sono poligoni di 4 lati e 4 angoli. La somma dei suoi angoli esterni misura 360°, così come quella dei suoi angoli interni. Da ogni suo vertice parte una sola diagonale, per cui in tutto avrà 2 diagonali. Si dividono in DELTOIDI TRAPEZI PARALLELOGRAMMI

I QUADRILATERI I QUADRILATERI 4 lati generici Quadrilateri scaleni 2 coppie di lati consecutivi congruenti Deltoidi I QUADRILATERI I QUADRILATERI 1 coppia di lati opposti paralleli Trapezi 2 coppie di lati opposti paralleli Parallelogrammi

Sono quadrilateri aventi due lati opposti paralleli. I TRAPEZI I TRAPEZI Sono quadrilateri aventi due lati opposti paralleli. Possono essere: ISOSCELI Se hanno i due lati obliqui congruenti SCALENI Se hanno tutti i lati disuguali Se hanno un lato obliquo perpendicolare alle basi RETTANGOLI

I PARALLELOGRAMMI I PARALLELOGRAMMI Quadrilatero che hanno entrambe le coppie di lati opposti paralleli e congruenti. 4 angoli congruenti (retti) RETTANGOLO 4 lati congruenti ROMBO 4 angoli e 4 lati congruenti QUADRATO

Quadrilateri aventi i lati opposti a due a due paralleli. I PARALLELOGRAMMI I PARALLELOGRAMMI Quadrilateri aventi i lati opposti a due a due paralleli. Proprietà Lati opposti congruenti Angoli opposti congruenti Gli angoli adiacenti ad uno stesso lato sono supplementari Le due diagonali si incontrano nel loro punto medio, cioè si bisecano

Quadrilatero avente due coppie di lati consecutivi congruenti. IL DELTOIDE IL DELTOIDE Quadrilatero avente due coppie di lati consecutivi congruenti. Proprietà Le diagonali sono tra loro perpendicolari La diagonale che unisce il vertice comune a due lati congruenti divide l’altra in due parti congruenti.

LA CONGRUENZA LA CONGRUENZA Due figure si dicono congruenti se hanno la stessa forma e la stessa dimensione. Due figure congruenti hanno le stesse misure: due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza. Due figure piane congruenti hanno la stessa superficie E’ una particolare trasformazione geometrica in cui NON cambia né la forma né la dimensione. Variante La posizione Invarianti Forma e dimensione

LA TRASLAZIONE LA TRASLAZIONE È un movimento diretto individuato da un vettore che ne stabilisce modulo e direzione. Modulo Quantità dello spostamento Direzione Retta lungo la quale si verifica il movimento In seguito ad una traslazione, tra i punti del piano si viene a stabilire un corrispondenza biunivoca. CORRISPONDENZA BIUNIVOCA: Ad ogni punto della prima figura corrisponde sempre e solo un punto della seconda figura.

LA ROTAZIONE LA ROTAZIONE È un movimento diretto individuato da un punto fisso, detto Origine, e da un arco di circonferenza che ne stabilisce modulo e direzione. Modulo Quantità dello spostamento Direzione Retta lungo la quale si verifica il movimento

LA SIMMETRIA ASSIALE LA SIMMETRIA ASSIALE È un movimento inverso individuato da una retta detta asse di simmetria. Due figure ottenute per simmetria assiale sono inversamente congruenti.