La procedura da applicare è la seguente: La rappresentazione grafica di particolari curve Lo studio delle coniche ci permette di costruire in modo semplice il grafico di alcune funzioni irrazionali. La procedura da applicare è la seguente: individuazione del dominio della funzione condizione di concordanza di segno tra il primo e il secondo membro elevamento a potenza e individuazione del tipo curva associata all’equazione ottenuta costruzione del grafico nel dominio individuato

1° ESEMPIO: Arco di parabola La rappresentazione grafica di particolari curve 1° ESEMPIO: Arco di parabola Tracciamo il grafico della curva di equazione 1. 2. La zona che contiene il grafico è individuata dal sistema 3. Eleviamo a quadrato i due membri dell’equazione: Otteniamo l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse x con vertice in v (-2, 0) e concavità verso destra. 4. Possiamo ora costruire il grafico dell’arco di parabola appartenente alla regione di piano che non abbiamo eliminato.

2° ESEMPIO: Arco di circonferenza La rappresentazione grafica di particolari curve 2° ESEMPIO: Arco di circonferenza Tracciamo il grafico della funzione 1. 2. La zona che contiene il grafico è individuata dal sistema 3. Eleviamo a quadrato i due membri dell’equazione: Otteniamo l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio 3. 4. Possiamo ora costruire il grafico dell’arco di circonferenza appartenente alla regione di piano che non abbiamo eliminato.

3° ESEMPIO: Arco di ellisse La rappresentazione grafica di particolari curve 3° ESEMPIO: Arco di ellisse Tracciamo il grafico della funzione 1. 2. La zona che contiene il grafico è individuata dal sistema 3. Elevando al quadrato otteniamo che rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse delle x e di semiassi 4 e 1. 4. Costruiamo il grafico dell’arco di ellisse appartenente alla regione di piano che non abbiamo eliminato.

4° ESEMPIO: Arco di iperbole La rappresentazione grafica di particolari curve 4° ESEMPIO: Arco di iperbole Tracciamo il grafico della funzione 1. 2. La zona che contiene il grafico è il semipiano positivo delle ordinate 3. ovvero l’equazione dell’iperbole avente i fuochi sull’asse y, semiasse reale uguale a 1 e semiasse immaginario uguale a 3. Elevando al quadrato otteniamo: Possiamo quindi rappresentarla nel piano cartesiano. equivale a 4.

5° ESEMPIO: Arco di circonferenza traslata La rappresentazione grafica di particolari curve 4 -4 -2 2 8 6 y x 5° ESEMPIO: Arco di circonferenza traslata Tracciamo il grafico della funzione 1. 2. La zona che contiene il grafico è rappresentata dal sistema 3. Eleviamo a quadrato i due membri dell’equazione e otteniamo ovvero l’equazione di una circonferenza con centro in C (0, 2) e raggio uguale a 4. 4. Possiamo quindi rappresentarla nel piano cartesiano.

Le curve con i moduli Le curve di secondo grado che contengono dei moduli si possono rappresentare facilmente utilizzando le conoscenze sulle coniche e tenendo presente le seguenti considerazioni sui moduli: Il grafico G della funzione si può costruire a partire da quello G’ di mediante una simmetria rispetto all’asse delle ascisse delle sole parti negative. Quindi, quando è positiva o nulla G coincide con G’, quando è negativa G coincide con −G ESEMPI y = x y = |x|

Le curve con i moduli Il grafico della funzione si ottiene effettuando sul grafico di una traslazione di vettore ESEMPI y = |x| y = |x| − 2 −2

Le curve con i moduli Per costruire Il grafico della funzione si deve: analizzare il segno di ; riscrivere l’equazione della funzione distinguendo i vari casi; costruire il grafico delle funzioni ottenute nei vari intervalli.

Le curve con i moduli ESEMPIO Consideriamo al funzione Analizziamo il segno di x : il segno dell’espressione è positivo per x > 0, negativo per x < 0. Riscriviamo l’equazione della funzione distinguendo i due casi: Rappresentiamo le due parabole nei rispettivi intervalli.

Un’equazione della forma è equivalente al sistema La risoluzione di equazioni Un’equazione della forma è equivalente al sistema Per determinarne graficamente le soluzioni si disegnano i grafici di f e di g e si individuano gli eventuali punti di intersezione. Le ascisse di tali punti sono le soluzioni dell’equazione. Risolviamo l’equazione Isoliamo dapprima il radicale: e scriviamo il sistema equivalente Equazione di un arco di parabola Equazione della bisettrice del 1° e 3° quadrante 1 Dal grafico si deduce che le due curve si intersecano in Verifichiamolo: X = 1 è quindi la soluzione dell’equazione.

Per risolvere graficamente una disequazione della forma La risoluzione di disequazioni Per risolvere graficamente una disequazione della forma si disegnano i grafici delle due funzioni f e g e si individuano le eventuali intersezioni. Gli intervalli sull’asse x per i quali il grafico di assume valori maggiori, oppure minori, del grafico di sono le soluzioni della disequazione. 1 ESEMPIO Risolviamo la disequazione Costruiamo i grafici delle funzioni Dal grafico si deduce che le due curve si intersecano nei punti di ascissa x = 1 e x = 2, come possiamo verificare algebricamente. La funzione f assume dei valori maggiori della funzione g negli intervalli x < −1 ∨ x > 2

La risoluzione approssimata delle equazioni Si dicono zeri di una funzione f (x) le ascisse dei punti d’intersezione della curva di equazione y = f (x) con l’asse delle x ; essi si determinano risolvendo l’equazione f (x) = 0 Gli zeri della funzione sono i numeri che rappresentano le ascisse dei punti di intersezione tra la parabola e l’asse delle ascisse. ESEMPIO Per determinarli algebricamente basta trovare le soluzioni dell’equazione

Il teorema non garantisce che lo zero sia unico. La risoluzione approssimata delle equazioni L’esistenza degli zeri di una funzione polinomiale è garantita dal seguente teorema: Teorema (di esistenza degli zeri). Sia f (x) una funzione polinomiale e (a, b) un intervallo di numeri reali. Se la funzione f assume valori di segno opposto in a e in b, cioè se f (a)  f (b) < 0, allora f possiede almeno uno zero in tale intervallo. Il teorema non garantisce che lo zero sia unico. La condizione che f (a) e f (b) siano discordi è sufficiente ma non necessaria per l’esistenza degli zeri.

Rappresentare graficamente la funzione Gli algoritmi per l’approssimazione Per trovare in modo approssimato le soluzioni di una equazione polinomiale si deve: Rappresentare graficamente la funzione e stabilire se esistono degli zeri Individuare un intervallo che contiene lo zero Trovare un suo valore approssimato applicando un metodo di approssimazione. Noi esamineremo il metodo delle sostituzioni successive e il metodo di bisezione.

valore approssimato con due cifre decimali esatte. La risoluzione approssimativa delle equazioni ESEMPIO Vogliamo determinare il numero delle soluzioni dell’equazione ed un loro valore approssimato con due cifre decimali esatte. Per sapere quante soluzioni ammette l’equazione costruiamo il grafico della funzione polinomiale Dal grafico risulta che vi è una soluzione reale compresa tra −2 e −1

Il metodo delle sostituzioni successive La risoluzione approssimativa delle equazioni Il metodo delle sostituzioni successive Poiché lo zero della funzione appartiene all’intervallo un valore approssimato con una cifra decimale deve essere compreso tra questi valori. Troviamo i valori di al variare di x in questo insieme e, per il teorema di esistenza degli zeri, ci fermiamo quando troviamo due valori di segno opposto: x -2,0 -1,9 -1,8 f(x) -1 -0,059 0,768 Quindi un valore approssimato ad una cifra decimale esatta è -1,8 perché è compreso fra -1,9 e -1,8. Per determinare la seconda cifra decimale esatta basta procedere in modo analogo: x -1,90 -1,89 -1,88 f(x) -0,059 0,028731 Lo zero è compreso tra -1,90 e -1,89, quindi il valore approssimato con due cifre decimali esatte è 1,89.

Dimezziamo l’intervallo La risoluzione approssimativa delle equazioni Il metodo di bisezione Un altro metodo che sfrutta il teorema degli zeri sta nel ripetere la procedura di calcolo di dimezzando ogni volta l’intervallo di partenza fino a che non si raggiunge la precisione desiderata. Il punto medio è Dimezziamo l’intervallo Lo zero potrebbe essere compreso tra −2 e −1,5 oppure tra −1,5 e −1. Calcoliamo: Quindi lo zero appartiene all’intervallo

Il punto medio dell’intervallo è La risoluzione approssimativa delle equazioni Il metodo di bisezione Il punto medio dell’intervallo è Determiniamo l’intervallo di appartenenza: Quindi lo zero appartiene all’intervallo

La risoluzione approssimativa delle equazioni Proseguendo in questo modo si determina una successione di intervalli contenuti uno nell’altro che approssima sempre meglio il valore dello zero. Nel nostro esempio: Dall’ultimo intervallo trovato, i cui estremi hanno le prime due cifre decimali coincidenti, possiamo dire che un valore approssimato con due cifre decimali esatte dello zero è −1,89.