1 L’equazione dell’iperbole Si chiama iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. 1

2 L’equazione dell’iperbole L’iperbole con i fuochi sull’asse x L'iperbole avente centro nell'origine e i fuochi sull'asse delle ascisse ha equazione: a rappresenta il semiasse traverso b rappresenta il semiasse non traverso i vertici reali sono i punti di coordinate i vertici immaginari sono i punti di coordinate i fuochi sono punti di coordinate dove gli asintoti hanno equazione 2

3 L’equazione dell’iperbole Per tracciare il grafico di un’iperbole data l’equazione dobbiamo: individuare i semiassi trasverso e non trasverso e quindi i suoi vertici disegnare il rettangolo con centro nell’origine che ha per dimensioni l’asse trasverso e quello non trasverso (figura a) tracciare gli asintoti, cioè le rette delle diagonali del rettangolo costruito (figura b) disegnare l’iperbole nella coppia di angoli opposti al vertice individuata dalle diagonali e che contiene i fuochi (figura c) 3

4 L’equazione dell’iperbole ESEMPIO Determiniamo le caratteristiche dell’iperbole di equazione Essendo e quindi: I vertici reali sono I punti e I vertici immaginari sono I punti e Gli asintoti sono le rette di equazione I fuochi hanno coordinate e 4

5 Diversi tipi di equazioni L’iperbole con i fuochi sull’asse y L’iperbole con centro nell’origine e fuochi sull’asse delle ordinate ha equazione Caratteristiche: i vertici reali sono i punti B1(0,−b) e B2(0, b), l’asse trasverso è il segmento B1B2 e vale 2b, il semiasse trasverso è il segmento OB1 (oppure OB2) e vale b i vertici immaginari sono I punti e , l’asse non trasverso è il segmento e vale , il semiasse non trasverso è il segmento (oppure ) e vale gli asintoti sono le rette di equazione fra i parametri , , vale ancora la relazione 5

6 L’equazione dell’iperbole ESEMPIO Individuiamo le caratteristiche dell’iperbole di equazione Essendo e Quindi: I vertici reali della curva sono i punti e I vertici immaginari sono i punti e I fuochi hanno coordinate e Gli asintoti hanno equazione 6

7 L’equazione dell’iperbole Riassumiamo in una tabella le caratteristiche algebriche dell'equazione di una iperbole a seconda della posizione dei fuochi. 7

8 L’equazione dell’iperbole ECCENTRICITÀ DELL’IPERBOLE L’eccentricità di un’iperbole è la misura della sua ampiezza 8

9 Problemi sull’iperbole PROBLEMI SULL’IPERBOLE L’equazione dell’iperbole, come quella dell’ellisse, è individuata se si conoscono i valori dei parametri a e b, quindi, per poterla determinare, sono necessarie, ma anche sufficienti, due informazioni indipendenti. Se non è noto a priori a quale degli assi coordinati appartengono I fuochi e se non è possibile dedurlo facilmente, dobbiamo considerare entrambe le forme dell’equazione: oppure 9

10 Problemi sull’iperbole ESEMPIO Determiniamo l’equazione dell’iperbole che passa per due punti assegnati: I° caso: se consideriamo l’equazione del tipo , imponendo il passaggio per i due punti P e Q e otteniamo il sistema che ha soluzione L’iperbole ha quindi equazione 10

11 Problemi sull’iperbole ESEMPIO II° caso: considerando ora l’eqiazione e scriviamo il sistema associato: tale sistema ammette la soluzione , algebricamente non accettabile. 11

12 Problemi sull’iperbole LE RETTE TANGENTI ALL’IPERBOLE Per trovare l’equazione della retta tangente ad un’iperbole si deve: scrivere l’equazione generale della retta impostare il sistema tra l’equazione dell’iperbole e l’equazione della retta trovare l’equazione risolvente del sistema calcolare il discriminante di questa equazione e imporre che sia uguale a zero In particolare, se la retta tangente passa per un punto che appartiene all’iperbole, oltre al metodo illustrato si possono usare le formule di sdoppiamento ponendo nell’equazione dell’iperbole: al posto di al posto di al posto di 12

13 Problemi sull’iperbole ESEMPIO Troviamo le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equazione condotte dal punto Il fascio di centro ha equazione Scriviamo il sistema delle equazioni del fascio e dell’iperbole L’eqauazione risolvente è Imponiamo la condizione di tangenza che ha soluzioni e Le equazioni delle tangenti sono, dunque: e 13

14 L’iperbole equilatera L’IPERBOLE EQUILATERA Un’iperbole si dice equilatera se ha i semiassi uguali, cioè se Equazione riferita al centro e agli assi: se i fuochi sono sull’asse x e si ha che: i vertici hanno coordinate i fuochi hanno coordinate se i fuochi sono sull’asse y e si ha che: i vertici hanno coordinate i fuochi hanno coordinate Gli asintoti, in entrambi i casi, hanno equazioni 14

15 Iperbole equilatera EQAUZIONE RIFERITA AGLI ASINTOTI Se gli asintoti dell’iperbole equilatera coincidono con gli assi cartesiani la sua equazione diventa se il grafico appartiene al primo e terzo quadrante i vertici e i fuochi hanno coordinate: se il grafico appartiene al secondo e quarto quadrante i vertici e i fuochi hanno coordinate: L’eccentricità di un’iperbole equilatera è sempre uguale a La curva rappresenta il grafico della proporzionalità inversa. 15

16 Iperbole equilatera ESEMPIO Descriviamo le caratteristiche delle iperboli equilatere che hanno le seguenti equazioni: a) L’iperbole è riferita al centro degli assi ed ha quindi come asintoti le rette di equazioni . Essendo i suoi vertici hanno coordinate e e I fuochi e il suo grafico è: -4 4 16

17 Iperbole equilatera ESEMPIO b) L’iperbole appartiene al secondo e quarto quadrante. Vertici: Fuochi: Il suo grafico è: 17

18 Iperbole equilatera LA FUNZIONE OMOGRAFICA Operando con una traslazione su un’iperbole equilatera riferita agli asintoti si ottiene una funzione particolare detta funzione omografica. y=3 La sua equazione ha la forma con e rappresenta un’iperbole equilatera avente per asintoti le rette 18

19 Iperbole equilatera ESEMPIO Costruiamo il grafico della funzione omografica di equazione Gli asintoti della funzione hanno equazione La curva interseca l’asse y nel punto Il suo grafico è: P 19