Funzioni di due variabili

Funzioni a due variabili MAPPA DEL MODULO Funzioni a due variabili Definizione Dominio (punto di prova) Coniche Derivate parziali PROBLEMI DI SCELTA Linee di livello Rappresentazione grafica

Definizione Una funzione reale di due variabili reali è una funzione che a ogni punto di un sottoinsieme D di R2 associa uno, e uno solo, elemento di R. Si indica con il simbolo z=f(x,y) Le variabili x e y si dicono indipendenti, la z si dice variabile dipendente. L'insieme piano D si dice insieme di esistenza o dominio o insieme di definizione l'insieme dei valori assunti dalla funzione si dice codominio.

Dominio Il dominio di una funzione in due variabili è il sottoinsieme di R2 formato dalle coppie ordinate (x,y) che hanno una e una sola z. Il dominio esiste: - sempre per un polinomio (R^2) -per una frazione se il denominatore è diverso da zero -per un radicale di indice pari (es. radice quadrata) se il radicando è >=0 -sempre per radicale di indice dispari -per i logaritmi se l'argomento è >0 -sempre per le esponenziali.

Retta TEOREMA A ogni retta del piano cartesiano corrisponde un’equazione lineare in due variabili e, viceversa, a ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta del piano cartesiano. Due casi particolari dell’equazione di una retta /20

Circonferenza x y C(a,b) P(x,y) O Circonferenza

Parabola m F r V H d direttrice

Proff. Cornacchia - De Fino Iperbole l’iperbole incontra l’asse x nei punti A1(-a,0), A2(a,0). Tali punti sono detti vertici dell’iperbole. y F1 F2 x B2 B1 A1 A2 Proff. Cornacchia - De Fino Mappa

Ellisse y x A1 A2 B2 B1 F1 F2 Ponendo x = 0, otteniamo y =  b; ponendo y=0, invece x =  a, dunque l’ellisse incontra l’asse x nei punti A1(-a,0), A2(a,0) e l’asse y nei punti B1(0,-b) e B2(0,b). Tali punti sono detti vertici dell’ellisse.

Esempio Determiniamo il dominio della funzione: . Condizione di esistenza: . Prima disequazione Seconda disequazione Intersezione LE FUNZIONI DI DUE VARIABILI

In generale, le funzioni di 2 variabili nello spazio vengono rappresentate come superfici

z = x + y - 5 un’ equazione lineare, ad es. rappresenta un piano. Un’ equazione non lineare rappresenta una superficie curva.

z = x2 + y2 - 1

z = x2 - y2

La curva di livello o isoipsa è la linea ideale che unisce tutti i punti di ugual quota rispetto al livello medio del mare. Una carta disegnata con le curve di livello fornisce un’indicazione chiara delle elevazioni della zona interessata con la possibilità di ricavare la quota in ogni punto della carta.

Questo argomento matematico viene applicato alla meteorologia in quanto, nella costruzione di mappe meteorologiche, le linee/curve di livello vengono disegnate per collegare, per esempio, i vari punti di uguale pressione (isobare) o di uguale temperatura (isoterme). In generale le curve di livello vengono utilizzate per rappresentare le funzioni di due o più variabili. Prima di soffermarci sull'argomento principale, è meglio definire il significato di "funzione a due o più variabili".

Topografia Curve di livello e pendenze 20 m 20 m 4071 + 4000 Altri esempi da usare per far capire il concetto di curve di livello: cono immerso in secchio di acqua, pandoro tagliato orizzontalmente, invasi dei laghi artificiali Importante capire al volo se si stanno chiarendo o confondendo le idee. Le carte rappresentano la superficie del territorio vista dall’alto in due dimensioni (piatta), attraverso le curve di livello si cerca di individuare la terza dimensione (altezza o profondità)