LE CONICHE

Le sezioni coniche Nello spazio c’è una retta r che interseca in V un’altra retta a, si chiama SUPERFICIE CONICA A DUE FALDE, la superfice generata in una rotazione completa di r attorno alla retta a. a r

La parte di piano racchiusa dalla superficie è detta CONO A DUE FALDE. La retta ‘r’ è detta generatrice, la retta ‘a’ è l’asse di rotazione e V è il vertice. L’angolo che si forma tra r ed a è detta SEMIAPERTURA.

Che si intende per sezione conica? La PARABOLA, la CIRCONFERENZA, l’ ELLISSE e l’IPERBOLE sono anche dette SEZIONI CONICHE. Che si intende per sezione conica? Sezione conica significa far passare un piano attraverso una superficie conica a due falde.

Le sezioni coniche Al variare dell’inclinazione del piano possiamo ottenere Un’ ellisse se α>θ Una circonferenza se α= п/2 Un’ iperbole se α<θ Una parabola se α=θ

E se al posto di un cono a due falde avessimo un cilindro ? In effetti noi possiamo considerare un cilindro un cono con il vertice all’infinito, quindi se lo intersechiamo con un piano possiamo ottenere una conica ….

L’ equazione generale di una conica Ogni conica come abbiamo già studiato ha una propria equazione che la distingue dalle altre , ma c’è un’equazione che le racchiude tutte ? Si l’equazione generale delle coniche è la seguente 𝐴 𝑥 2 +𝐵𝑥𝑦+𝐶 𝑦 2 +𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0

MA DA QUESTA EQUAZIONE COME DISTINGUIAMO DI QUALE CONICA SI TRATTA ? In realtà la soluzione è molto semplice, iniziamo con il prendere in riferimento il parametro B ovvero il coefficiente del termine misto. B≠0 Se B≠0 il termine misto esiste pertanto gli assi di simmetria della conica non sono paralleli agli assi cartesiani. Quindi si tratterà o dell’iperbole equilatera o dell’iperbole rappresentata da una funzione omografica B=0 Se B=0 andiamo a studiare gli altri coefficienti per capire di che conica si tratta.

Passiamo ora allo studio del prodotto tra i coefficienti dei termini di secondo grado Se il prodotto è uguale a 0 allora la conica sarà una parabola Se il prodotto è diverso da 0 ma i coefficienti sono uguali avremo una circonferenza Se il prodotto è diverso da 0 e i coefficienti non sono tra loro uguali otterremo o un’ellisse o un’iperbole con gli assi di simmetria paralleli o coincidenti agli assi cartesiani .

IPERBOLE O ELLISSE ? Le ultime due coniche ci restano da definire sono appunto l’ellisse e l’iperbole per trovarle applichiamo il metodo del completamento del quadrato di binomio fino ad ottenere questa formula A 𝑥 2 +𝐶 𝑦 2 =s Se A, C ed s sono tra loro concordi si tratta di un’ellisse Se A, C sono tra loro discordi ed s>0 si ha un’iperbole.

Coniche come luogo geometrico Si dice conica il luogo dei punti P di un piano per i quali è costante il rapporto tra la distanza di P da un punto detto FUOCO e una retta detta DIRETTRICE 𝑃𝐹 𝑃𝐻 =𝑒 Per e si intende l’eccentricità della conica. Si dimostra che: Se e=0 la conica è una circonferenza Se 0<e<1 la conica è un’ ellisse Se e=1 la conica è una parabola Se e >1 la conica è un’iperbole