Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 LUOGO DELLE RADICI Cristian Secchi

Proprietà dei sistemi in retroazione Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Proprietà dei sistemi in retroazione k G(s) r y e u + - L’equazione caratteristica del sistema chiuso in retroazione è: Le radici sono i poli del sistema in retroazione Cristian Secchi Cristian Secchi

Esempio: Sistemi del primo ordine Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Esempio: Sistemi del primo ordine r + e u y k - Cristian Secchi Cristian Secchi

Esempio: Sistemi del secondo ordine Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Esempio: Sistemi del secondo ordine r + e u y k - =1.25 Radici reali distinte n=2 p1=-1 p2=-4 Cristian Secchi Cristian Secchi

Proprietà dei sistemi in retroazione Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Proprietà dei sistemi in retroazione k G(s) r y e u + - I poli del sistema in retroazione sono le radici dell’equazione caratteristica: I poli del sistema in retroazione variano al variare del guadagno k da 0 a 1 Cristian Secchi Cristian Secchi

Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Luogo delle radici Al variare del parametro k i poli del sistema chiuso in retroazione descrivono un luogo di punti. Tale luogo è detto Luogo delle radici. Il luogo delle radici descrive il luogo delle radici di un sistema chiuso in retroazione unitaria al variare del guadagno. Il luogo delle radici gode di svariate proprietà che ne consentono il tracciamento senza la necessità di un approfondito studio analitico dell’equazione caratteristica. Cristian Secchi Cristian Secchi

Luogo delle radici: proprietà Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Luogo delle radici: proprietà Ha tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta Ciascun polo, spostandosi, traccia un ramo Ogni ramo: Parte (k=0)dalla posizione di un polo in catena aperta Termina (k=1)nella posizione di uno zero del sistema o va all’infinito Il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale Un punto dell’asse reale appartiene al luogo se lascia a destra un numero dispari di singolarità (poli e zeri) Ha un numero di asintoti pari alla differenza tra il numero di poli e il numero di zeri (grado relativo) del sistema in catena aperta. Cristian Secchi Cristian Secchi

Luogo delle radici: proprietà Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Luogo delle radici: proprietà Gli asintoti formano una stella con centro nel punto dell’asse reale: Gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli Dove n e m rappresentano rispettivamente il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta. Cristian Secchi Cristian Secchi

Luogo delle radici: tracciamento Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Luogo delle radici: tracciamento Utilizzando le proprietà enunciate è possibile tracciare rapidamente il luogo delle radici. I passi da seguire sono: Tracciare sul piano di Gauss zeri e poli del sistema in catena aperta, contrassegnando i poli con una X e gli zeri con un O. Ricavare il numero di asintoti facendo la differenza tra il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta. Trovare il punto di incrocio degli asintoti e gli angoli che formano con l'asse reale. Trovare i punti dell'asse reale che stanno sul luogo delle radici Tracciare il luogo delle radici tenendo conto che esso deve essere simmetrico rispetto all'asse reale. Cristian Secchi Cristian Secchi

Esempio: sistema del primo ordine Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Esempio: sistema del primo ordine Cristian Secchi Cristian Secchi

Matlab e il luogo delle radici Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Matlab e il luogo delle radici Matlab può essere utilizzato per tracciare il luogo delle radici. Il comando principale è rlocus. Sintassi: >> rlocus(num,den) Plotta il luogo delle radici del sistema: k r y e u + - Cristian Secchi Cristian Secchi

Matlab e il luogo delle radici Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Matlab e il luogo delle radici Il comando può essere usato in diversi modi. Ad esempio: Plotta la posizione dei poli corrispondenti ad un guadagno statico k1. >> rlocus(num,den,k1) Ritorna nella matrice r i valori dei poli del sistema e nel vettore g i rispettivi valori del guadagno k. >>[r,g]=rlocus(num,den) Cristian Secchi Cristian Secchi

Matlab e il luogo delle radici Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Matlab e il luogo delle radici Per l’utilizzo del luogo delle radici nel progetto del controllore è molto utile il comando rlocfind Sintassi: >> [k,poles]=rlocfind(num,den) Dopo aver fatto una rlocus(num,den), la chiamata di questo comando ci consente di selezionare un polo sul luogo delle radici e ritorna in k il valore del guadagno statico corrispondente al polo selezionato e in poles il valore dei poli del sistema corispondenti al guadagno k. E' molto utile per sapere quale guadagno dobbiamo mettere nel loop di controllo per avere i poli in una certa posizione. Cristian Secchi Cristian Secchi

Progetto di un controllore in retroazione Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Progetto di un controllore in retroazione L(s)=C(s)G(s), Guadagno d’anello r(t) + e(t) u(t) y(t) C(s) G(s) - Dato un plant G(s) costruire un controllore C(s) in modo che l’uscita y(t) del sistema chiuso in retroazione: soddisfi le specifiche di controllo Cristian Secchi Cristian Secchi

Specifiche di controllo Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Specifiche di controllo Specifiche statiche: specifiche relative al massimo errore a regime tollerato. Si risolvono facendo in modo che il guadagno d’anello abbia un numero opportuno di poli nell’origine oppure un guadagno a regime minore di un certo valore dipendente dalla specifica. Sono indipendenti dal comportamento dinamico del sistema. Specifiche dinamiche: specifiche relative al comportamento dinamico della risposta, cioè il suo andamento prima di raggiungere il valore a regime. Tipicamente queste specifiche vengono date in termini di massima sovraelongazione percentuale e di tempo di assestamento. Cristian Secchi Cristian Secchi

Utilizzo del luogo delle radici Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Utilizzo del luogo delle radici Per i sistemi elementari oppure approssimabili come sistemi elementari (cioè in presenza di poli dominanti) risulta semplice identificare regioni del piano in cui devono stare i poli del sistema in retroazione per soddisfare le specifiche. Il luogo delle radici può essere usato per studiare il comportamento dei poli del sistema chiuso in retroazione e per disegnare un controllore in modo da fare in modo che , per certi guadagni, il sistema chiuso in retroazione abbia tutti i poli all’interno della regione desiderata. Cristian Secchi Cristian Secchi

Passi per la costruzione del controllore Controlli Automatici - A.A. 2003/2004 Passi per la costruzione del controllore Esaminare la G(s) per determinare l’ordine (eventualmente trascurando poli recessivi) del sistema Tracciare sul piano di Gauss le regioni relative alle specifiche di controllo Vedere se con una semplice azione proporzionale (C(s)=k) è possibile soddisfare le specifiche dinamiche, cioè far entrare i poli del sistema chiuso in retroazione nella regione desiderata. Se non è possibile soddisfare le specifiche con un semplice controllore proporzionale, costruire, per tentativi, un controllore tale che esista un k per cui i poli del sistema controllato stiano nelle regioni desiderata. Nel disegno di C(s) tenere conto anche delle specifiche statiche ed, eventualmente, aggiungere poli nell’origine. Fare una verifica simulativa del controllore ottenuto Cristian Secchi Cristian Secchi

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