PROPORZIONALITÀ

CLASSI DI GRANDEZZE DIRETTAMENTE PROPORZIONALI Una classe di grandezze è un insieme di grandezze omogenee (dello stesso tipo, ad esempio lunghezze, superfici, masse….) per le quali è definito un criterio di confronto e di somma. Due classi di grandezze si dicono direttamente proporzionali alla prima potenza quando: Esiste una corrispondenza biunivoca tra le due classi Il rapporto tra gli elementi corrispondenti rimane costante

Vediamo un esempio. Sia A l’insieme delle lunghezze dei lati dei quadrati e B l’insieme dei perimetri di tali quadrati. Ogni elemento di A è la lunghezza del lato di un certo quadrato, quindi possiamo associare ad ogni lato il perimetro del proprio quadrato e viceversa. Quindi esiste una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di A e di B. A 1 2 3 4 5 6 7 8 B 4 8 12 16 20 24 28 32 La corrispondenza biunivoca ci permette di individuare gli elementi corrispondenti. Analizziamo il rapporto tra gli elementi corrispondenti:

Il rapporto tra gli elementi corrispondenti rimane costante Il rapporto tra gli elementi corrispondenti rimane costante. Quindi possiamo affermare che A e B sono direttamente proporzionali 4 è la costante di proporzionalità. Significa dire che Notiamo che se il rapporto tra due elementi di A è uguale al rapporto tra i rispettivi elementi corrispondenti. Per esempio se prendiamo gli elementi 2 e 3 di A gli elementi corrispondenti in B stanno nello stesso rapporto 2:3=8:12

K è la costante di proporzionalità. Significa dire che L’esempio può essere generalizzato: se A e B sono due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca A x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 B y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 Se il rapporto tra gli elementi corrispondenti rimane costante possiamo affermare che A e B sono direttamente proporzionali K è la costante di proporzionalità. Significa dire che

La relazione di proporzionalità diretta è in realtà una funzione e come tutte le funzioni può essere rappresentata graficamente. Esistono diversi tipi di rappresentazione, noi analizzeremo in particolare la rappresentazione cartesiana. Sull’asse delle ascisse si riportano gli elementi di A, sull’asse delle ordinate si riportano gli elementi di B, ogni coppia di elementi corrispondenti è rappresentata da un punto avente per coordinate la coppia stessa. Nel caso di grandezze direttamente proporzionali i punti sono allineati su una semiretta uscente dall’origine. B=kA Dove k rappresenta la pendenza della retta rispetto all’asse delle ascisse.

Nel caso del nostro esempio la relazione è B=4A

Da un punto di vista matematico è molto semplice stabilire se due classi di grandezze sono direttamente proporzionali e determinare la costante di proporzionalità. Nel caso di classi di grandezze fisiche determinate sperimentalmente è leggermente più complesso: ogni elemento di ciascuna classe di grandezze ha la sua incertezza e così il rapporto k. Vediamolo con un esempio. Riprendiamo l’esempio iniziale: A (cm) B 1.0±0.5 4.0±2.0 1.9±0.5 7.5±2.0 3.1±0.5 12.3±2.0 4.2±0.5 15.8±2.0 4.9±0.5 21.0±2.0 5.8±0.5 24.2±2.0 7.1±0.5 27.0±2.0 8.0±0.5 31.0±2.0

Determiniamo il rapporto tra gli elementi corrispondenti Apparentemente le grandezze non sembrano essere direttamente proporzionali, la costante di proporzionalità oscilla intorno al valore k per ogni coppia di elementi corrispondenti: se esistono valori di k comuni a tutti gli intervalli di confidenza allora è possibile determinare il valore di k. Vediamolo graficamente

Esistono dei valori di K comuni a tutte le coppie di elementi corrispondenti, sono i valori che oscillano tra Kmin= 3,5 e Kmax=4,4

Quindi k=(3,9±0,5). Se rappresentiamo graficamente i dati con un foglio di calcolo troviamo un grafico di tipo

A è direttamente proporzionale alla potenza n-esima di B quando: Possiamo generalizzare la definizione di proporzionalità diretta. Date due classi di grandezze omogenee A e B A è direttamente proporzionale alla potenza n-esima di B quando: Esiste una corrispondenza biunivoca tra le due classi Il rapporto tra gli elementi di B e le potenze n-esime degli elementi corrispondenti in A rimane costante A x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 B y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

K è la costante di proporzionalità. La rappresentazione grafica della relazione esistente tra A e B non è più lineare. Il grafico è un arco di curva che varia al variare di n. Nel caso di n=2 è un arco di parabola con vertice nell’origine. n=2

CLASSI DI GRANDEZZE INVERSAMENTE PROPORZIONALI Date due classi di grandezze omogenee A e B A è inversamente proporzionale alla potenza n-esima di B quando: Esiste una corrispondenza biunivoca tra le due classi Il prodotto tra gli elementi di B e le potenze n-esime degli elementi corrispondenti in A rimane costante Se n=1 A e B si dicono semplicemente inversamente proporzionali.

A x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 B y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 Allora

Il grafico della relazione è un arco di curva, nel caso di n=1 è un arco di iperbole equilatera riferita ai propri asintoti