Il concetto di derivata Si dice rapporto incrementale della funzione y = f(x) relativo al punto x0 e all’incremento h il rapporto fra l’incremento Δy della funzione f e l’incremento Δx della variabile indipendente: Il rapporto incrementale Dal punto di vista geometrico, il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta AB; esso ci dà quindi indicazioni sulla pendenza media del grafico della funzione f nel passaggio da x0 a x0+h .

Il concetto di derivata ESEMPIO Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione di equazione relativo al punto zero e all’incremento h. Per esempio, per si ha che , quindi la pendenza media del diagramma f(x) nell’intervallo è

Il concetto di derivata Data una funzione f(x) definita in un intervallo I, si chiama derivata di f(x) nel punto x0 interno ad I, e la indichiamo con f’(x0), il limite per h 0, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale f relativo a x0 : Di una funzione per la quale esiste la derivata in un punto x0 diciamo che è derivabile in x0.

Il concetto di derivata La derivata di una funzione y = f(x) nel punto x0 si indica con: Dal punto di vista geometrico essa rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico f(x) nel punto x0.

Il concetto di derivata ESEMPIO Calcoliamo, se esiste, la derivata della funzione nel punto . Troviamo dapprima il rapporto incrementale relativo a e all’incremento : Calcoliamo ora il limite per di tale rapporto: La funzione è quindi derivabile nel punto – 1 e la sua derivata vale – 4.

Il concetto di derivata La derivata sinistra e la derivata destra Chiamiamo derivata sinistra della funzione nel punto , e la indichiamo con , il limite: Chiamiamo derivata destra della funzione nel punto , e la indichiamo con , il limite: Se tali limiti esistono finiti diciamo che la funzione è derivabile dalla sinistra e dalla destra. Se poi è derivabile dalla sinistra e dalla destra e le due derivate sono uguali, allora è derivabile in .

Il concetto di derivata ESEMPIO y x 1 Calcoliamo la derivata della funzione in In un intorno sinistro di 1 la funzione vale ; in un intorno destro vale . La funzione non è quindi derivabile in 1. Calcoliamo la derivata sinistra: (-1 è il coefficiente angolare della tangente che coincide con la retta di equazione Calcoliamo la derivata destra: (1 è il coefficiente angolare della tangente che coincide con la retta di equazione La funzione è derivabile dalla sinistra e la sua derivata vale –1; è derivabile dalla destra e la sua derivata vale 1.

Il concetto di derivata La funzione derivata Se una funzione è derivabile in tutti i punti dell’intervallo ed è derivabile dalla destra in a e dalla sinistra in b , diciamo che è derivabile in . In ogni punto di tale intervallo la derivata assume, in generale, un valore diverso che è funzione del punto x0 scelto. A tale funzione diamo il nome di funzione derivata. ESEMPIO Calcoliamo la derivata della funzione in ogni punto del suo dominio. La funzione è ovunque definita in ; calcoliamo quindi il limite del rapporto incrementale nel punto : Calcoliamo la derivata: Poiché il limite trovato ha valore finito per ogni , la funzione è derivabile in ogni punto del suo dominio e la sua derivata è .

Il concetto di derivata Continuità e derivabilità y x x0 Teorema. Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x0, allora essa è continua in x0. In modo del tutto analogo: se una funzione è derivabile dalla sinistra in , allora è continua dalla sinistra. se una funzione è derivabile dalla destra in , allora è continua dalla destra. Non è vero invece che una funzione continua in un punto è anche derivabile in .

Il calcolo delle derivate La derivata delle funzioni elementari La funzione costante è derivabile in e la sua derivata è zero: La funzione è derivabile per ogni ed è La funzione è derivabile per ogni e reale ed è

Il calcolo delle derivate ESEMPI

Il calcolo delle derivate La funzione è derivabile e la sua derivata, se è espresso in radianti, è Analogamente, la derivata di y = cosx è y’ = −sinx La funzione è derivabile ed è in particolare: La funzione è derivabile se ed è in particolare:

Il calcolo delle derivate La tabella delle derivate delle funzioni fondamentali

Il calcolo delle derivate LE REGOLE DI DERIVAZIONE La derivata della somma Teorema. La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate. In simboli: ESEMPI

Il calcolo delle derivate La derivata del prodotto Teorema. La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale alla derivata della prima funzione per la seconda non derivata, aumentata del prodotto della prima funzione non derivata per la derivata della seconda: In particolare: se k è un numero reale, allora ESEMPI

Il calcolo delle derivate Teorema. Se è una funzione derivabile, la funzione è derivabile per ogni tale che sia ed è: La derivata del quoziente Dai due teoremi precedenti possiamo dedurre l’algoritmo per derivare un quoziente. Teorema. Se e sono funzioni entrambe derivabili, per tutti i punti in cui si ha che:

Il calcolo delle derivate ESEMPI g’ g2 g’ g2 f’ f g

La derivata di funzioni composte Teorema (di derivazione delle funzioni composte). Sia una funzione derivabile in un punto e sia una funzione derivabile nel punto . Allora la funzione è derivabili in ed è: ESEMPIO Deriviamo la funzione e derivata della funzione logaritmo derivata dell’argomento del logaritmo

La derivata di funzioni composte In particolare, dalla regola di derivazione della funzione composta, abbiamo: ESEMPIO Calcoliamo la derivata della funzione: Applicando la regola precedente, otteniamo:

La derivata della funzione inversa Teorema (di derivazione della funzione inversa). Se è invertibile in un intervallo e derivabile in un punto con derivata non nulla, allora anche è derivabile nel punto ed è: ESEMPIO La funzione è invertibile in ; calcoliamo la derivata della funzione inversa nel punto . Calcoliamo il valore di al quale corrisponde : Calcoliamo la derivata della funzione e valutiamola in : Applicando il teorema:

La derivata della funzione inversa Dal teorema precedente possiamo dedurre le derivate delle funzioni inverse di quelle goniometriche.

La derivata della funzione inversa ESEMPIO Calcoliamo la derivata della funzione . Si tratta della funzione composta con Applichiamo la regola di derivazione: derivata della funzione arctan derivata dell’argomento dell’arctan

Le rette tangenti e le rette normali Se una funzione è derivabile in un punto x0 : il coefficiente angolare della retta tangente è f’(x0) il coefficiente angolare della retta normale è se f’(x0) ≠ 0 La retta tangente ha quindi equazione: La retta normale ha equazione:

Le rette tangenti e le rette normali ESEMPIO Se f(x) = x4 – x + 2 e x0 = 1 , allora: f(1) = 2 f’(x) = 4x3 – 1 f’(1) = 3 Quindi la retta tangente in P(1,2) ha equazione: La retta normale ha coefficiente angolare ed ha equazione:

Le rette tangenti e le rette normali Le rette tangenti nei punti di non derivabilità Se una funzione f(x) non è derivabile in x0 , si possono presentare i seguenti casi: In questi punti la curva ha due rette tangenti diverse: una tangente sinistra e una destra con coefficienti angolari finiti ma diversi; una tangente con coefficiente angolari finito e l’altra verticale. Questi si dicono punti angolosi.

Le rette tangenti e le rette normali Cuspide verso il basso Cuspide verso l’alto In questi punti la tangente è sempre verticale; punti di questo tipo si chiamano cuspidi.

Le rette tangenti e le rette normali In questi punti la tangente esiste, è una sola, ed è verticale. Punti di questo tipo rappresentano flessi a tangente verticale.

f’ f’’ f’’’ f(4) f(5) …...... f(n) Derivate di ordine superiore La derivata n-esima di una funzione f(x) si ottiene calcolando n derivate, ciascuna relativa alla derivata di ordine n-1. In simboli: f’ f’’ f’’’ f(4) f(5) …...... f(n) ESEMPIO Calcoliamo le prime tre derivate della funzione y = x2 + 3x – ln x

Il differenziale di una funzione Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo [a,b] e sia x un punto di tale intervallo. Si dice differenziale della funzione y = f(x) nel punto x, e si indica con il simbolo df(x), il prodotto della derivata della funzione, calcolata in x, per l’incremento Δx : Dal punto di vista geometrico, il differenziale della funzione rappresenta l’incremento della variabile dipendente calcolato sulla retta tangente anziché sulla funzione.

Il differenziale di una funzione ESEMPIO Calcoliamo il differenziale della funzione in x = 9 relativamente all’incremento Δx = 0,15 . quindi In x = 9 e per Δx = 0,15  y 9 Δy ≈ 0,025 3 9,15 x P t Poiché sappiamo che Δy ≈ dy , abbiamo che:

df(x) = 1 · Δx  dx = Δx Il differenziale di una funzione Il differenziale e la derivata Calcoliamo il differenziale della funzione f(x) = x : df(x) = 1 · Δx  dx = Δx Possiamo allora riscrivere il differenziale di una funzione f qualsiasi nella forma: df(x) = f’(x)dx da cui ricaviamo Quindi: la derivata di una funzione f(x) è il rapporto tra il differenziale della funzione f e il differenziale della variabile indipendente x.