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Derivata di una funzione IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi sul quale si basa il calcolo differenziale IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Fondatori di questo metodo, nel secolo XVII, si devono considerare NEWTON e LEIBNIZ IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Problemi che conducono al concetto di derivata
I problemi che in modo particolare diedero origine al concetto di derivata sono quello delle tangenti e quello della velocità IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Problema delle tangenti
Sappiamo dalla geometria che la retta tangente ad una circonferenza in un suo punto P0 è quella retta avente in comune con la circonferenza soltanto il punto P0. P0 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Vogliamo ora estendere il concetto di tangente ad una linea qualunque  in un suo punto P0. In questo caso generale non vale la precedente definizione IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Una retta può essere tangente in un punto P0 pur avendo più punti in comune con la curva IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Una retta può essere tangente in un punto P0 pur attraversando la curva in P0 e avendo più punti in comune con essa IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Le figure precedenti mostrano che la tangente in un punto P0 non può essere definita: né come retta avente in comune con la curve un solo punto né come retta che non attraversa la curve in P0 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Nuova Definizione di retta tangente
Chiamasi retta tangente ad una curva in un suo punto P0 la posizione limite, se esiste, della retta che congiunge il punto P0 con un altro punto P1 della curva, al tendere, muovendosi sempre sulla curva, di P1 a P0. t P1 P1 P1 P1 P0 P1 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Definita in tal modo la tangente ad una curva in un suo punto P0, si tratta ora di vedere quando essa esiste, e nel caso affermativo come si possa calcolare IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

x0 x0+h f(x0) f(x0+h) H P1 P0 r Consideriamo la funzione f(x) e due suoi punti: P0[x0;f(x0)] e P1[x0+h;f(x0+h)]. La retta P0P1 diventa la retta tangente quando P1 tende a P0 cioè quando h→0 Δy Δx Il coefficiente angolare della retta P0P1 diventa quello della retta tangente facendo tendere h a zero IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

x0 x0+h f(x0) f(x0+h) H P1 P0 r Δy Δx Il coefficiente angolare mt della retta tangente è dato dal limite del rapporto incrementale per h→0 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

La tangente ad una curva y = f(x) in un suo punto di ascissa x0, esiste soltanto quando in x0 esiste finito il precedente limite IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

A tale limite NEWTON e LEIBNIZ attribuirono il nome di derivata della funzione f(x) calcolata nel punto x0 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Problema della velocità
Consideriamo un punto mobile di moto rettilineo. Sia y=f(x) la funzione che esprime lo spazio in funzione del tempo. x0 x0+h f(x0) f(x0+h) Ritroviamo sempre lo stesso limite IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

“Pendenza" di una curva qualsiasi
Prendiamo in considerazione due tipi di funzioni: quelle lineari come, ad esempio, f(x) = 5x + 3 e g(x) = -2x + 1 e quelle non lineari come h(x) = x2 e costruiamo la seguente tabella x f(x)=5x+3 g(x)=-2x+1 h(x)=x2 3 1 8 -1 2 13 -3 4 18 -5 9 Notiamo che aumentando il valore della x di 1 la prima funzione lineare aumenta sempre di 5 e la seconda diminuisce sempre di 2. La funzione non lineare, invece, subisce variazioni ogni volta diverse. IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

x f(x)=5x+3 g(x)=-2x+1 h(x)=x2 3 1 8 -1 2 13 -3 4 18 -5 9 Indichiamo con Δx la differenza tra un valore di x e il precedente e con Δf, Δg e Δh le corrispondenti differenze per le funzioni. Per Δx=1 Δf=5 e Δg=-2 costantemente. Per le funzioni lineari il rapporto tra la variazione del valore della funzione e la variazione della variabile x rimane costante e risulta uguale al coefficiente angolare delle rette grafico delle funzioni. Tale valore è chiamato pendenza della curva. La prima curva ha pendenza costante 5 e la seconda -2. IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

5 pendenza costante 5 5 Ad ogni aumento della x di una unità la y aumenta di 5. 5 3 3 1 2 3 4 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

pendenza costante -2 1 1 3 Ad ogni aumento della x di una unità la y diminuisce di -2. -2 -2 -2 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Occupiamoci ora della funzione non lineare h(x)=x2 Abbiamo già notato che le sue variazioni sono ogni volta diverse. Nella seguente tabella vengono calcolati i rapporti tra la variazione della funzione e la variazione della x quando questa aumenta ogni volta di 1 x→x+1 0→1 1 1→2 3 2→3 5 3→4 7 Notiamo che i rapporti aumentano all’aumentare della x come si può notare dal seguente grafico IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

E' evidente che la "pendenza" varia da punto a punto. Dovremo perciò parlare della pendenza in un punto della curva. 7 5 3 1 1 2 3 4 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Questa sequenza riguarda la parabola y=x2, ingrandita di volta in volta nel suo punto (2,4): Dopo alcuni ingrandimenti, si osserva che il grafico della curva si confonde con il grafico di una retta, quella particolare retta che si chiama retta tangente. IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

La pendenza di una curva in un punto è in realtà la pendenza della retta tangente in quel punto e si calcola, come detto in precedenza, con il seguente limite IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Da questi problemi, e da molti altri che si potrebbero trattare, notiamo che nelle applicazioni pratiche si presentano dei problemi la cui soluzione dipende dal calcolo del limite: IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Il limite si presenta sotto forma indeterminata 0/0. È naturale, quindi, vedere se è possibile escogitare delle regole fisse per calcolarlo IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Definizione di derivata
Chiamasi derivata di una funzione f(x) nel punto x0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento h IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Affinché una funzione sia derivabile in un punto x0 è necessario che si verifichino le seguenti condizioni: La funzione sia definita in un intorno del punto x0 Esista il limite del rapporto incrementale Tale limite sia finito IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Se per h0 esiste ed è finito il limite a sinistra o il limite a destra, o entrambi ma diversi tra loro, allora chiameremo rispettivamente derivata sinistra e derivata a destra di f(x) in x0 e si rappresentano con i simboli IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Quando in seguito diremo che la funzione f(x) è derivabile in x0 intenderemo che in questo punto esiste ed è finita sia la derivata destra che la derivata sinistra e sono tra loro uguali IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Derivabilità in un intervallo
Se la funzione f(x) è definita nell’intervallo [a;b], essa si dirà derivabile nell’estremo a se esiste ed è finito: IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Se la funzione f(x) è definita nell’intervallo [a;b], essa si dirà derivabile nell’estremo b se esiste ed è finito: IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

La funzione f(x) si dirà derivabile nell’intervallo I se lo è in ogni punto di I IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esercizio Scrivere l’equazione della tangente alla parabola di equazione y=x2+1 nel punto di ascissa x0=1 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

y=x2+1 2 P x0=1; f(x0)=2 1 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Rapporto incrementale in un punto x
Anziché calcolare il rapporto incrementale in un punto particolare si può calcolare tale rapporto in un punto generico x. In tal modo, il risultato del limite non è più un numero ma una funzione dipendente da x e chiamata funzione derivata prima. Tale funzione dà tutti i coefficienti angolari delle tangenti una volta nota l’ascissa della tangente. IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Rapporto incrementale in un punto x della funzione y=x2+1
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La funzione derivata y’=2x ci consente di calcolare il coefficiente angolare di tutte le rette tangenti alla curva y=x2+1 Ad esempio i coefficienti angolari delle rette tangenti alla curva nel suoi punti di ascisse -2 e 3 sono: y’(-2)=-4 e y’(3)=6 per cui le rette tangenti hanno equazioni: IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Teorema Se una funzione f(x) è derivabile in x0, ivi è anche continua( non vale il viceversa) Essendo la funzione derivabile il limite è uguale a f’(x)·0, cioè zero Definizione di funzione continua IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esempi di funzioni continue in un punto e ivi non derivabili

La funzione non è derivabile nel punto 3 perché non esiste il limite poiché il limite sinistro è diverso dal limite destro . IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

L’operazione di derivazione, quindi, non è sempre possibile. Una funzione può essere continua in un punto senza che in quel punto sia derivabile La derivabilità è una condizione più restrittiva della continuità Funzioni derivabili Funzioni continue IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Punti angolosi e cuspidi
Quando in x0 esistono due derivate, sinistra e destra, diverse tra loro e una delle due è finita allora la curva ammette in P0 due rette tangenti diverse. Questi punti sono detti angolosi Se i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono entrambi infiniti ma di segno opposto il punto è detto cuspide IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Punto angoloso x0 P0 t1 t2 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Cuspide Il limite sinistro e destro tendono rispettivamente a +∞ e -∞ x0 P0 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Cuspide Il limite sinistro e destro tendono rispettivamente a -∞ e +∞ x0 P0 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Flesso a tangente verticale discendente
Si ha quando il limite sinistro e destro tendono rispettivamente a +∞ P0 x0 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Flesso a tangente verticale ascendente Si ha quando il limite sinistro e destro tendono rispettivamente a -∞ P0 x0 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Derivate Fondamentali IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Calcoliamo ora la derivata delle principali funzioni

Derivata di una costante

c La retta y=c è parallela all’asse x ed ha pendenza zero. La retta tangente in ogni suo punto coincide con la retta stessa. Pertanto tutte le rette tangenti hanno coefficiente angolare 0 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Derivata della funzione identica

Derivata della funzione seno
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Derivata della funzione coseno

Derivata della funzione logaritmo

Derivata della funzione logaritmo in base e

Derivata della funzione esponenziale

Derivata della funzione esponenziale con a = e

Teoremi sul calcolo delle derivate

Teorema La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle funzioni stesse, cioè: IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Osservazione Il teorema precedente vale per un numero qualsiasi n finito di funzioni derivabili IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esempio IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Teorema La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è derivabile e si ha: IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Applicando il precedente teorema alla funzione y=c·f(x) si ottiene La derivata di una costante per una funzione è uguale alla costante per la derivata della funzione IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Il teorema precedente vale per un numero qualsiasi n finito di funzioni derivabili IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Teorema La derivata del quoziente di due funzioni derivabili è derivabile e si ha: IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Nel caso in cui f(x)=1 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Applicazioni IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Derivazione delle funzioni di funzioni
Sia y=f(z) e z=g(x), sia cioè y=f(g(x)). Se f(z) e g(x) sono due funzioni derivabili, allora la funzione y=f(g(x)) è derivabile e la sua derivata vale IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Regola pratica Per derivare una funzione composta si inizia a derivare la funzione più esterna e poi via via fino a quella più interna. Ad esempio se dobbiamo derivare la seguente funzione deriveremo prima il logaritmo, poi la potenza e infine il polinomio IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Osservazione Tale formula si applica per derivare particolari tipi di funzioni IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Derivata di f(x)g(x) IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Resta così dimostrato che la regola di derivazione della potenza ennesima di x, già dimostrata nel caso di n numero intero positivo, è valida qualsiasi sia l’esponente IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Derivata della radice n-esima

Derivata della radice quadrata

Derivata di una funzione inversa
Consideriamo la funzione derivabile y=f(x) che nell’intervallo [a;b] ammette la funzione inversa x=F(y). Nei punti in cui la f ’(x) 0, anche F(y) è derivabile e precisamente IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

β α x0 y0 = f(x0) P0 x=f-1(y) β α x0 y0 = f(x0) y=f(x) P0 anche la curva x = f-1(y) è dotato di retta tangente nel punto P0 e risulta: IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Derivata della funzione arcsenx

Derivata della funzione arccosx

Derivata della funzione arctgx

Derivata della funzione arcctgx

Esercizio 1: calcolare la derivata

Esercizio 2 Determinare l’equazione della tangente alla curva y2-x=4 nel punto P, del primo quadrante, di ascissa 5. -4 -2 2 5 3 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esercizio 3 Determinare l’equazione delle tangenti al cerchio di equazione x2+y2-6y-16=0 nei punti di ascissa x=3. -4 4 A(3;7) B(3;-1) IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Derivate di ordine superiore
Sia y=f(x) una funzione derivabile in un intervallo. Se la sua derivata prima f ’(x) è derivabile, la sua derivata si chiama derivata seconda e si denota con y’’ , f ’’(x). Così procedendo si possono definire le derivate terze, quarte ….. IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Derivate di funzioni pari

Derivate di funzioni dispari

Concetto di differenziale e suo significato geometrico

In precedenza, quando abbiamo parlato della pendenza, abbiamo osservato che dopo alcuni ingrandimenti il grafico della curva in un punto si confonde con il grafico della retta tangente. IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

E’ possibile, quindi, in un intervallo molto piccolo, sostituire il grafico della curva con quello della tangente e calcolare la variazione che subisce la curva nell’intervallo (x0 ; x0+x) con la variazione che subisce la retta tangente nello stesso intervallo. L’errore che si commette è tanto più piccolo quanto più piccolo è x x0 x0+ x f(x0) f(x0+x) M Q T P IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Significato geometrico del differenziale
Il differenziale di una funzione, in un punto P[x0;f(x0)], rappresenta l’incremento (MT) che subisce l’ordinata della retta tangente quando la variabile indipendente passa da x0 a x0+x x0 x0+ x f(x0) f(x0+x) M Q T P IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Sostituire il differenziale all’incremento di una funzione equivale a sostituire, nell’intervallo (x0; x0+x), il diagramma della funzione con la tangente. x0 x0+ x f(x0) f(x0+x) M Q T P IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

MT rappresenta il differenziale
x0 x0+ x f(x0) f(x0+x) M Q T P MT rappresenta il differenziale MQ rappresenta la variazione della f(x) QT rappresenta l’errore commesso IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

x0 x0+ x f(x0) f(x0+x) M Q T P IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

x0 x0+ x f(x0) f(x0+x) M Q T P Approssimazione per difetto IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

x0 x0+ x f(x0) f(x0+x) M Q T P MT approssima-zione per eccesso IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

L’errore TQ è in infinitesimo di ordine superiore rispetto a Δx per Δx→0. Infatti si ha: Questa proprietà può essere espressa nel seguente modo: Dove con o(Δx) (leggi “o piccolo di Δx”) si usa indicare una quantità infinitesimale di ordine superiore rispetto alla variabile indicata tra parentesi IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Osservazione IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Approssimazione lineare di una funzione
Quest’ultima fornisce, per valori di x vicini a x0, un’approssimazione lineare della f. IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esercizio 1 Scrivi il differenziale delle funzione y=sinx, y=ln(1+x2), y=xe-x Soluzione a) dy = cosx dx. b) dy = 2x/(1+x2)dx c) dy = (1-x)e-x dx IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esercizio 2 Determina il differenziale della funzione y=x2 con punto iniziale x0=3 e ricava l’approssimazione lineare di tale funzione nell’intorno di x0=3. Il differenziale di y=x2 è dy = 2xdx L’approssimazione lineare richiesta non è altro che la retta tangente nel punto di ascissa 3: y-9=6(x-3) IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esempio 3 Determina mediante approssimazione lineare il valore di della funzione nell’intorno di x=4 IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Con la calcolatrice si ha: L'errore di approssimazione è perciò uguale a: 2,236-2,25= -0,014 In percentuale è circa lo 0,6%. IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esempio 4 Calcolare in modo approssimato il valore IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esempio 5 Calcolare in modo approssimato il valore log 0,9992. IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Fine presentazione IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

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