CONCETTI FONDAMENTALI Presentazione a cura della Prof. ssa GEOMETRIA EUCLIDEA CONCETTI FONDAMENTALI Presentazione a cura della Prof. ssa Annunziata Di Biase Novembre 2014

Notizie Storiche La parola GEOMETRIA deriva dal greco e significa “MISURA DELLA TERRA” Furono TALETE di Mileto e PITAGORA di Samo ad introdurre in Grecia le conoscenze geometriche di egiziani e babilonesi. Ma nel III secolo a. C. fu il matematico EUCLIDE di Alessandria in Egitto, a dare una struttura razionale alle conoscenze geometriche note sino ad allora scrivendo una delle più grandi opere della cultura occidentale, gli “Elementi” . Questa grande opera è organizzata in 13 libri. Essa prese il posto di tutti i libri precedenti sulla geometria e viene chiamata “GEOMETRIA EUCLIDEA”.

DALLA GEOMETRIA INTUITIVA (degli antichi Egizi studiata nelle scuole elementari e medie) ALLA GEOMETRIA RAZIONALE (degli antichi Greci studiata nelle scuole superiori)

Geometria intuitiva: studia le proprietà delle “figure reali” basandosi sull’intuito, osservazione e sulle esperienze che ce ne danno i nostri sensi e non sul ragionamento. INTUITIVA si basa su OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI ESPERIENZE

Geometria razionale: si studiano le proprietà di “figure ideali” basandosi sull’intuito, ma principalmente sul ragionamento. RAZIONALE parte da ENTI e CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI o POSTULATI Non definibili, ma descritti mediante

Concetti fondamentali Concetti e enti primitivi: In geometria i concetti primitivi non si possono definire esplicitamente, ma possono essere definiti implicitamente attraverso degli assiomi. Ente: ciò che esiste. Grandezza: ciò che si può misurare. Definizione: una frase nella quale si assegna un nome a un ente e se ne elencano le proprietà o caratteristiche. Assiomi o postulati: Affermazioni che esprimono delle proprietà evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza. Sono proprietà che “supponiamo” essere vere a priori e che pertanto non dimostriamo. Teorema: è una proposizione dimostrabile, cioè a differenza dell’assioma non è vera a priori, ma occorre dimostrare la sua veridicità attraverso un ragionamento logico. Corollario: è un teorema importante che segue alcuni teoremi ed è una proposizione che risulta essere una conseguenza immediata di un altro teorema o di un postulato

Concetti ed enti primitivi Non si possono definire con idee più elementari e sono espressi da parole il cui significato è noto a tutti. Non abbiamo bisogno di definirli. Sono CONCETTI PRIMITIVI: MOVIMENTO RIGIDO, APPARTENENZA SONO ENTI PRIMITIVI: 1. PUNTO, 2. RETTA, 3. PIANO, 4. SPAZIO

Enti geometrici primitivi Gli enti primitivi della geometria sono: PUNTO RETTA PIANO SPAZIO

Punto Il punto è un ente geometrico fondamentale privo di dimensioni. Un punto nella geometria euclidea poiché non ha dimensione (adimensionale) non è una grandezza, rappresenta solo una posizione nello spazio. Esso si indica con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino. A B Retta Infiniti punti allineati determinano una retta. La retta è una grandezza ed è caratterizzata da una sola dimensione: la lunghezza (L). Le rette si indicano con le lettere minuscole dell’alfabeto latino. Per modello di retta possiamo prendere in considerazione un filo teso fra due punti. Un modello migliore può essere preso un raggio luminoso che rispetto al precedente ha il pregio di avere dimensioni decisamente più ridotte.

Piano Infiniti punti e infinite rette determinano un piano. Il piano è caratterizzato da due dimensioni: lunghezza (L) e larghezza (L) L x L = S Si indica con una lettera dell’alfabeto greco minuscola. Come modello di piano possiamo prendere un foglio di carta. Per rappresentarlo possiamo utilizzare un parallelogramma e per convenzione si utilizza, per indicarlo, una lettera dell’alfabeto greco minuscola. Spazio larghezza lunghezza Infiniti punti, infinite rette e infiniti piani determinano lo spazio. Gli enti geometrici sono tutti situati nello spazio. Lo spazio è caratterizzato da tre dimensioni: lunghezza (L), larghezza (L) e altezza (L). L x L x L = V

Per indicare che due punti coincidono si usa il simbolo ≡ Punti coincidenti Due punti si dicono coincidenti se occupano la stessa posizione B A ≡ Per indicare che due punti coincidono si usa il simbolo ≡ Punto A coincide con B A ≡ B

La linea retta Si definisce retta un’insieme infinito di punti allineati

Rette COMPLANARI: se esiste un piano che le contiene entrambe. Rette INCIDENTI: rette complanari che hanno un punto in comune Rette PARALLELE: rette complanari che non hanno nessun punto in comune o che hanno tutti i punti in comune Rette SGHEMBE: se non sono complanari, e di conseguenza non hanno punti in comune né sono parallele. 

Assiomi fondamentali - Una retta contiene infiniti punti - Un piano contiene infiniti punti e infinite rette - Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette e infiniti piani

Assiomi di appartenenza Per due punti distinti passa una ed una sola retta Per tre punti non allineati passa uno e un solo La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano

Assioma di ordinamento La retta è un insieme di punti totalmente ordinato, tale che: Dati due punti A e B, o A precede B o B precede A. A B Se A precede B e B precede C, allora A precede C. A B C

Retta e punto Consideriamo una retta r e un punto P su di essa Se la retta è formata da un numero infinito ed illimitato di punti allora un suo generico punto P la divide in due parti Si viene a formare un nuovo ente che si chiama semiretta. SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto. Il punto è detto: ORIGINE delle semirette. Due semirette si dicono OPPOSTE o adiacenti se: hanno solo l’origine in comune appartengono alla stessa retta

Caratteristiche della semiretta La semiretta ha un punto di inizio che ne rappresenta l’origine e un verso che rappresenta la direzione verso la quale si estende la semiretta. Due o più semirette che hanno un’origine in comune condividono la stessa origine. Il modello di semiretta è rappresentato da un laser. semiretta r verso P s t k H r Semirette con origine in comune

Retta e punto Per un punto passano infinite rette Le infinite rette che passano per un punto costituiscono un fascio proprio di rette Il punto per cui passano le rette è detto centro del fascio

Fascio PROPRIO di rette: rette complanari passanti per uno stesso punto detto centro del fascio Fascio IMPROPRIO di rette: rette complanari parallele ad una stessa retta che rappresenta la direzione del fascio

Retta Per due punti Per due punti passa una ed una sola retta

Si definisce segmento la parte di retta compresa Retta e due punti Consideriamo una retta r e due punti A e B su di essa. La parte di retta compresa tra i due punti considerati da origine ad un nuovo ente che si chiama segmento. I due punti considerati A e B si chiamano estremi. Si definisce segmento la parte di retta compresa tra due estremi

In una retta ci sono infiniti punti (lo dice l’assioma). E in un segmento? Anche il segmento contiene infiniti punti (compresi tra due estremi), come la retta e la semiretta, perché sono insiemi DENSI. Un insieme si dice denso se presi due punti qualsiasi su di essi esiste almeno un altro punto interno ad essi.

Segmenti particolari Segmenti CONSECUTIVI: segmenti che hanno in comune un estremo e nessun altro punto (i segmenti giacciono su rette origine non coincidenti tra loro) Segmenti ADIACENTI: due segmenti che oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta cioè hanno un estremo in comune e le rette origini sono coincidenti tra loro.

Punto medio di un segmento Punto che divide il segmento in due segmenti uguali, tale punto si può indicare con una qualsiasi lettera dell’alfabeto. AP = PB = 1/2 AB oppure AB=2AP A B P Simmetria Centrale Due punti A e B si dicono simmetrici rispetto ad un punto centrale es. M se A e B sono equidistanti da esso. Il punto M si chiama centro di simmetria. A B M

Retta per tre punti Passano 3 rette Passa una retta Rette per tre I tre punti non sono allineati I tre punti sono allineati Passano 3 rette Passa una retta

Per tre punti allineati passa una ed una sola retta Per tre punti non allineati passano 3 rette

Piano e retta Piano e retta possono essere: r a complanari r a incidenti r a paralleli

Riguardiamo le seguenti figure complanari incidenti paralleli Cosa succede se una retta ha 2 punti di contatto col piano?

Se una retta ha due punti di contatto col piano è ad esso complanare

Postulato di partizione del piano Una retta r di un piano divide il piano in due parti non vuote tali che: r A B Se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte C r D Se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il segmento CD ha in comune con r un punto

Si definisce semipiano ciascuna delle parti in cui Una retta r complanare ad un piano a ha tutti i suoi punti in comune col piano. In questo caso si dice che la retta r giace sul piano a. Essendo la lunghezza della retta infinita abbiamo che una retta che giace sul piano a lo divide in due parti uguali o non uguali dette semipiani. Si definisce semipiano ciascuna delle parti in cui un piano risulta diviso da una retta complanare La retta è detta origine del semipiano. Due semipiani si dicono OPPOSTI se: hanno solo la retta origine in comune appartengono allo stesso piano

Per quanti punti passa uno ed un solo piano? Per tre punti non allineati

Grandezze omogenee e non omogenee Due grandezze si dicono omogenee se sono dello stesso tipo e quindi si possono: Confrontare Sommare Esempi di grandezze omogenee: segmenti con segmenti e angoli con angoli. Due grandezze si dicono non omogenee o eterogenee se non sono dello stesso tipo e quindi non si possono né confrontare e né sommare. Esempi di grandezze non omogenee: segmenti con angoli.

Movimento rigido Il movimento rigido non si può definire, perché è un concetto primitivo. L’assioma che lo caratterizza dice che: il movimento rigido conserva le distanze. Il movimento rigido è una trasformazione che altera la posizione ma non la forma della figura considerata. F1 F2

Congruenza Due figure F1 e F2 si dicono congruenti quando è possibile sovrapporle con un movimento rigido in modo che coincidano punto per punto. I punti che coincidono si dicono corrispondenti o omologhi. F1 F2

Congruenza Diretta Se il movimento che porta a sovrapporre la figura F2 su F1 è di trascinamento o di scivolamento (non si esce dal piano) allora la congruenza tra F1 e F2 si dice DIRETTA. F1 F2

Congruenza inversa Se il movimento che porta a sovrapporre la figura F2 su F1 è di ribaltamento (si esce dal piano) allora la congruenza tra F1 e F2 si dice INVERSA. F1 F2

Figure uguali e disuguali Due figure F1 e F2 si dicono uguali se rappresentano la stessa figura cioè se sono già sovrapposte inizialmente e coincidono punto per punto. Due figure sono disuguali se non sono né uguali e né congruenti F1 = F2 F1 ≠ F2

Proprietà della congruenza RIFLESSIVA: una figura è congruente a se stessa, cioè se F1  F1 SIMMETRICA: se F1 è congruente a F2, allora anche F2 è congruente a F1, cioè se F1  F2, allora F2  F1 TRANSITIVA: se F1 è congruente a F2, e F2 è congruente a F3 allora anche F1 è congruente a F3, cioè se F1  F2 e F2  F3, allora F1  F3 Proposizioni dedotte Tutte le rette sono congruenti fra loro Tutte le semirette sono congruenti fra loro Tutti i piani sono congruenti fra loro

Confronto tra grandezze Per confrontare l’altezza di due persone e vedere chi è più alto, facciamo mettere affiancate le due persone in modo che i piedi stiano allo stesso livello, dopo di che confrontiamo l’estremità della testa: è più alto chi ha l’estremità della testa più in alto. Un procedimento analogo si fa per confrontare due segmenti. Confrontare due segmenti significa stabilire se sono congruenti o non lo sono. Nel caso in cui non siano congruenti significa stabilire quale tra i due sia il maggiore. Per confrontare due segmenti AB e CD, facciamo in modo che con un movimento rigido gli estremi A e C coincidano, che coincidano anche le rette AB e CD e che gli estremi B e D stiano dalla stessa parte rispetto ad A e C.

A B C D A==C D B A B C D A=C B=D A questo punto possono verificarsi tre situazioni possibili: 1. L’estremo B è esterno al segmento CD, allora diciamo che AB è maggiore di CD, scriviamo AB > CD; A B C D A==C D B 2. L’estremo B coincide con D, (C  A, D  B), allora diciamo che i due segmenti sono congruenti, scriviamo AB  CD ; A B C D A=C B=D

Legge di tricotomia A B C D A=C B D 3. L’estremo B è un punto interno al segmento CD, allora diciamo che AB è minore di CD, scriviamo AB < CD. A B C D A=C B D Per il confronto tra grandezze omogenee vale la legge di esclusione che dice: il verificarsi di uno dei tre casi esclude gli altri due. Legge di tricotomia Dati sue segmenti AB e CD si avrà: 1. AB  CD 2. AB < CD 3. AB > CD

Somma e differenza di segmenti Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro Si dice differenza di due segmenti a e b, di cui il primo è maggiore o congruente al secondo, il segmento c che addizionato al secondo da per somma il primo. a b b a c c = a + b b c c = a – b; a = b + c a

Multipli e sottomultipli di un segmento Si definisce multiplo di un segmento a secondo il numero naturale n maggiore o uguale a 2, la somma di n segmenti congruenti ad a. a b = 4a a è detto sottomultiplo di b secondo n.

Angolo Angolo convesso Angolo concavo Un angolo è formato da ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette aventi l’origine in comune Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati Angolo convesso Angolo concavo I punti di un angolo che non appartengono ai lati si dicono interni. Gli altri punti, sempre esclusi i lati, si dicono esterni. Un angolo contiene al suo interno infinite semirette.

O O Angolo piatto b a Angolo giro e nullo Angolo PIATTO: un lato è il prolungamento dell’altro ( 180° = π); é un angolo convesso. Esso equivale ad un semipiano. b a O Angolo giro e nullo Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360° = 2π); è concavo. Esso è dato dall’unione di due angoli piatti e coincide con tutto il piano. Angolo NULLO: i due lati sono sovrapposti (0°) si riduce ad una semiretta; è convesso. O

Angoli particolari L’ angolo RETTO è uguale a 90° L’ angolo ACUTO è minore di 90° L’ angolo OTTUSO: è maggiore di 90° Due angoli si dicono OPPOSTI AL VERTICE se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro

Angoli consecutivi ed adiacenti Due angoli si dicono CONSECUTIVI se hanno in comune il vertice, un lato e nessun altro punto e i restanti lati giacciono su rette origine non coincidenti tra loro. AôB + BôC = AôC somma dei due angoli dati (angolo somma) B C O A Due angoli si dicono ADIACENTI se oltre ad essere consecutivi hanno i due lati non comuni l’uno sul prolungamento dell’altro. La somma di due angoli adiacenti è un angolo piatto. AôB e BôC = angoli adiacenti = angolo piatto

Confrontare due angoli Significa stabilire se sono congruenti o non lo sono. Per confrontare due angoli  di lati a e b e  di lati c e d, bisogna operare un movimento rigido che faccia sovrapporre o coincidere i due vertici e un lato (uno dei due lati dell’angolo). A seconda della posizione del secondo lato b del secondo angolo si hanno i seguenti tre casi:

 colore verde;  colore rosso 1° CASO :    a coincide con c b coincide con d 2° CASO:  <  a coincide con c b interno angolo  3° CASO:  >  a coincide con c b esterno angolo 

Legge di tricotomia Dati due angoli  e , si avrà: 1.   , 1.   , 2.  < , 3.  > , si può verificare solo uno dei seguenti casi (legge di esclusione)

Somma e differenza di angoli convessi Dati due angoli convessi la loro somma è l’angolo che si ottiene disponendoli uno consecutivo all’altro.  ç =  +  ç    Si dice differenza di due angoli, di cui il primo è maggiore o congruente al secondo, l’angolo che addizionato al secondo da per somma il primo. ç ç =  -   

Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI Due angoli complementari o supplementari ad uno stesso angolo sono CONGRUENTI fra loro. Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI

Bisettrice di un angolo La bisettrice di un angolo è una semiretta che divide un angolo in 2 angoli congruenti ed è unica.  

Figure convesse e concave Una figura si dice CONVESSA, se per ogni coppia di punti A e B appartenenti alla figura, il segmento AB è interamente contenuto nella figura B A Una figura si dice CONCAVA, se esiste almeno una coppia di punti A e B appartenenti alla figura, tali che il segmento AB non sia interamente contenuto nella figura A B

Rette perpendicolari Due rette si dicono perpendicolari se, intersecandosi, formano quattro angoli retti.

Asse di un segmento e simmetria assiale Retta perpendicolare al segmento AB passante per il suo punto medio S Due punti A e B si dicono simmetrici rispetto ad un asse se A e B sono equidistanti da esso. L’asse si chiama asse di simmetria. 90° S A B

Teorema: Proiezione di un punto su una retta Da un punto appartenente ad una retta o esterno ad essa si può condurre una ed una sola retta perpendicolare a quella data. P r 90° H H = Piede della perpendicolare ad r, condotta dal punto P H = Proiezione ortogonale di P sulla retta r Il segmento P H si chiama Distanza di P dalla retta r.

Quinto Postulato di Euclide Per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data A

Per ogni punto interno alla retta passano infinite rette, ma una e una sola è la perpendicolare alla retta data. 90° H Per ogni punto esterno alla retta passano infinite rette, ma una e una sola è la parallela e una e una sola è la perpendicolare alla retta data. 90° H A

Distanza di un punto da una retta 90° H Segmento di perpendicolare che unisce il punto alla retta, cioè il segmento PH

Proiezione di un segmento Si dice proiezione di un segmento sopra una retta il segmento che ha per estremi le proiezioni sulla retta degli estremi del segmento dato.

Rette parallele Due rette si dicono parallele o se hanno tutti i punti in comune e in questo caso si dicono parallele e coincidenti oppure nessun punto in comune in questo caso sono parallele e non coincidenti.

La parte di piano compresa tra due rette parallele viene chiamata striscia; le rette parallele sono i lati della striscia, e la distanza di tali rette viene definita altezza della striscia. striscia striscia

SI INTERSECANO SI OTTENGONO .. SE LE STRISCE SI INTERSECANO SI OTTENGONO ..

I POLIGONI

Poligono Il poligono è la parte di piano delimitata da una poligonale chiusa non intrecciata lato vertici estremi Poligono convesso: i prolungamenti di TUTTI i suoi lati sono esterni al poligono Poligono concavo: il prolungamento di ALMENO UN lato lo divide in due parti Poligonale: insieme di segmenti consecutivi

Angoli interni e esterni Angoli esterni Angoli interni L’angolo interno e l’angolo esterno di ciascun vertice di un poligono sono supplementari

Se le strisce hanno la stessa forma e altezze diverse… Parallelogramma Rettangolo

RETTANGOLO PARALLELOGRAMMA PARALLELOGRAMMA

ANALIZZIAMO:

RETTANGOLO PARALLELOGRAMMA lati opposti uguali paralleli angoli opposti uguali una diagonale divide il parallelogrammo in due triangoli congruenti 4) le diagonali si bisecano scambievolmente 5) gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari Parallelogrammo equiangolo 1) lati opposti uguali e paralleli 2) 4 angoli retti 3) 2 diagonali uguali 4) le diagonali NON coincidono con le bisettrici

Se le strisce hanno la stessa forma e la stessa altezza… h h Quadrato Rombo

ROMBO ROMBO QUADRATO

ANALIZZIAMO:

ROMBO QUADRATO Parallelogrammo equilatero 1) 4 lati uguali 2) angoli opposti uguali 3) diagonali diverse, perpendicolari e bisettrici degli angoli ai vertici. Parallelogrammo regolare (equiangolo ed equilatero) 1) 4 lati e 4 angoli uguali 2) diagonali uguali, perpendicolari e bisettrici degli angoli ai vertici.

Triangolo Ha sei elementi: tre lati e tre angoli. Ad ogni lato si oppone un angolo e viceversa, cioè ad ogni angolo si oppone un lato. Il triangolo non ha diagonali, ma ha infinite corde.

Se le strisce hanno forme diverse… TRAPEZIO

TRAPEZIO SCALENO TRAPEZIO RETTANGOLO TRAPEZIO ISOSCELE

ANALIZZIAMO:

I TRAPEZI

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