GEOMETRIA EUCLIDEA o RAZIONALE

Presentazione sul tema: "GEOMETRIA EUCLIDEA o RAZIONALE"— Transcript della presentazione:

1 GEOMETRIA EUCLIDEA o RAZIONALE
CONCETTI FONDAMENTALI

2 GEOMETRIA Può essere Può essere INTUITIVA RAZIONALE
Quella sviluppata dagli antichi Egizi Quella sviluppata dagli antichi Greci (organizzata da Euclide)

3 INTUITIVA Si basa su OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI ESPERIENZE

4 ENTI e CONCETTIPRIMITIVI Non definibili, ma descritti mediante
RAZIONALE Parte da ENTI e CONCETTIPRIMITIVI Non definibili, ma descritti mediante ASSIOMI o POSTULATI

5 Concetti e enti primitivi
Concetti e enti che non si possono definire con idee più elementari Assiomi o postulati Affermazioni che esprimono delle proprietà evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza. Sono proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo.

6 PROPRIETA’ dei NUOVI ENTI GEOMETRICI (=TEOREMI)
ENTI e CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI o POSTULATI Da cui si deducono Mediante dimostrazioni Mediante definizioni ENTI GEOMETRICI NON PRIMITIVI PROPRIETA’ dei NUOVI ENTI GEOMETRICI (=TEOREMI)

7 DALLA GEOMETRIA INTUITIVA (degli antichi Egizi studiata nelle scuole elementari e medie)
ALLA GEOMETRIA RAZIONALE (degli antichi Greci studiata nelle scuole superiori)

8 Enti geometrici primitivi
Gli enti primitivi della geometria sono: PUNTI RETTE PIANI SPAZIO

9 Concetti primitivi Tra i concetti primitivi della geometria vi sono ad esempio quelli di MOVIMENTO RIGIDO: una figura può muoversi nel piano e nello spazio senza deformarsi; APPARTENENZA: un ente geometrico fa parte di un altro

10 Assiomi o Postulati Gli assiomi scelti devono soddisfare le seguenti condizioni: COMPATIBILITA’: non devono contraddirsi l’uno con l’altro INDIPENDENZA: dalle proprietà affermate dell’uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dell’altro

11 Assiomi fondamentali - Una retta contiene infiniti punti
- Un piano contiene infiniti punti e infinite rette - Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani

12 Assiomi di appartenenza
Per due punti distinti passa una ed una sola retta (= due punti distinti appartengono a una sola retta) Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano (= tre punti non allineati appartengono a un solo piano) La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano

13 Assioma di ordinamento
La retta è un insieme di punti totalmente ordinato, tale che: Dati due punti A e B, o A precede B o B precede A. A B Se A precede B e B precede C, allora A precede C. A B C

14 Postulato di partizione del piano
Una retta r di un piano divide il piano in due parti non vuote tali che: r A B Se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte C r D Se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il segmento CD ha in comune con r un punto

15 Enti geometrici non primitivi: definizioni
SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto. Il punto è detto: ORIGINE delle semirette Due semirette si dicono OPPOSTE se: hanno solo l’origine in comune appartengono alla stessa retta

16 SEGMENTO: la parte di retta compresa tra due suoi punti
B I punti A e B vengono detti gli estremi del segmento In una retta ci sono infiniti punti (lo dice l’assioma). E in un segmento?

17 SEGMENTI PARTICOLARI Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che hanno in comune un estremo e nessun altro punto Segmenti ADIACENTI: due segmenti che oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta

18 SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano Due semipiani si dicono OPPOSTI se: hanno solo l’origine in comune appartengono allo stesso piano

19 Rette INCIDENTI: rette complanari che hanno un punto in comune
Rette PARALLELE: rette complanari che non hanno nessun punto in comune Rette SGHEMBE: rette non complanari che non hanno nessun punto in comune

20 Postulato di Euclide Per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data

21 Fascio PROPRIO di rette: rette complanari passanti per uno stesso punto detto centro del fascio
Fascio IMPROPRIO di rette: rette complanari parallele ad una stessa retta

22 ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette aventi l’origine in comune Angolo convesso Angolo concavo Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati

23 ANGOLI PARTICOLARI 1 Angolo PIATTO: un lato è il prolungamento dell’altro ( 180° = π); non è né concavo né convesso equivale ad un semipiano Angolo RETTO: è la metà di un angolo piatto (90° = π/2); è convesso

24 ANGOLI PARTICOLARI 2 Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360° = 2π); è concavo. equivale ad un piano Angolo NULLO: i due lati sono sovrapposti (0°); è convesso. equivale ad una semiretta

25 Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in comune il vertice, un lato e nessun altro punto

26 Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad essere consecutivi hanno i due lati non comuni l’uno sul prolungamento dell’altro (o che appartengono alla stessa retta)

27 Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro

28 SOMMA DI SEGMENTI Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro b a a + b

29 CONFRONTO DI SEGMENTI a a < b b
Dati due segmenti se, sovrapponendo il primo segmento al secondo facendo coincidere un estremo, l’altro estremo è interno al secondo segmento allora il primo è minore del secondo; se è esterno è maggiore.

30 SOMMA DI ANGOLI CONVESSI
Dati due angoli convessi la loro somma è l’angolo che si ottiene disponendoli uno consecutivo all’altro

31 Angolo ottuso Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto ed è convesso (quindi è sempre minore di un angolo…. …piatto)

32 Angolo acuto Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto (quindi è sempre…. …convesso)

33 Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI

34 Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI

35 Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI

36 Poligonale o spezzata aperta (non intrecciata)
Insieme di più segmenti consecutivi lato vertici estremi

37 Poligonale o spezzata chiusa (non intrecciata)
Poligonale aperta a cui si aggiunge un segmento che ne congiunge gli estremi

38 POLIGONO Parte di piano delimitata da una poligonale chiusa non intrecciata Poligono convesso: i prolungamenti di TUTTI i suoi lati sono esterni al poligono Poligono concavo: il prolungamento di ALMENO UN lato lo divide in due parti

39 Angoli interni e esterni
Angoli esterni Angoli interni L’angolo interno e l’angolo esterno di ciascun vertice di un poligono sono supplementari

40 Figure convesse B A Una figura si dice CONVESSA, se per ogni coppia di punti A e B appartenenti alla figura, il segmento AB è interamente contenuto nella figura

41 Figure concave A B Una figura si dice CONCAVA, se esiste almeno una coppia di punti A e B appartenenti alla figura, tali che il segmento AB non sia interamente contenuto nella figura

42 CONGRUENZA Due figure F1 e F2 si dicono congruenti quando è possibile sovrapporle con un movimento rigido in modo che coincidano punto per punto F1 F2

43 Proprietà della congruenza
RIFLESSIVA: una figura è congruente a se stessa, cioè F1F1 SIMMETRICA: se F1 è congruente a F2, allora anche F2 è congruente a F1, cioè se F1 F2, allora F2 F1 TRANSITIVA: se F1 è congruente a F2, e F2 è congruente a F3 allora anche F1 è congruente a F3, cioè se F1 F2 e F2 F3, allora F1 F3

44 Bisettrice di un angolo
  Semiretta che divide un angolo in 2 angoli congruenti

45 Punto medio di un segmento
AMMB A B M Punto che divide il segmento in due segmenti congruenti

46 Asse di un segmento 90° M AMMB A B
Retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio

47 Distanza di un punto da una retta
90° H Segmento di perpendicolare che unisce il punto alla retta, cioè il segmento PH