Il calcolo della probabilità

Eventi casuali e probabilità Lanciando un dado, il tuo compagno esclama: “uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6” oppure: “uscirà il numero 4” o ancora: “uscirà il numero 9” No Si Forse Possiamo dire che le previsione del tuo compagno sono la prima certa, la seconda probabile, l’ultima impossibile. Consideriamo quindi gli eventi il cui verificarsi dipende esclusivamente dal caso e poniamoci il problema di stabilire in modo universale con quale probabilità potranno verificarsi o meno. Un evento si dice casuale, o aleatorio, se il suo verificarsi dipende esclusivamente dal caso.

Quanto probabile? Considerato un evento casuale, possiamo chiederci: “quanto è probabile?”. Consideriamo un evento casuale come quello del lancio di una moneta, i cui casi possibili, come sai, sono 2: o viene “testa” o viene “croce”. Qual è la probabilità che venga “testa”? Su 2 casi possibili, 1 è il caso favorevole, quindi la probabilità è 1/2. Consideriamo il lancio di un dado, i cui casi possibili sono 6. Qual è la probabilità che esca il numero 4? Su 6 casi possibili, 1 è il caso favorevole, la probabilità è 1/6. 3. Consideriamo ancora il lancio di un dado: qual è la probabilità che esca un numero pari? Su 6 casi possibili, 3 è il numero dei casi favorevoli,la probabilità è 3/6. La probabilità matematica p di un evento casuale è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f e il numero di tutti i casi ugualmente possibili n:

Considerazioni sulla probabilità Se l’evento è certo o impossibile, quale sarà la sua probabilità? Consideriamo una scatola contenente 9 palline rosse e chiediamoci: qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa? Abbiamo a che fare con un evento certo, la cui probabilità sarà ovviamente 9/9, cioè 1. La probabilità matematica di un evento certo è 1. Qual è la probabilità di estrarre una pallina nera dalla stessa scatola? Abbiamo a che fare con un evento impossibile, la cui probabilità sarà 0/9, cioè 0. La probabilità matematica di un evento impossibile è 0. In definitiva possiamo affermare che: La probabilità matematica p(E) di un evento E qualsiasi è sempre un numero compreso fra 0 e 1:

Considerazioni sulla probabilità Valore della probabilità Evento impossibile Evento improbabile Evento incerto Evento probabile Evento certo

La legge empirica del caso Consideriamo ancora il lancio di una moneta e i due eventi: E1: “esce testa (T)” E2: “esce croce (C)” Sappiamo che In realtà se proviamo a eseguire effettivamente 10 lanci e ad annotare il numero di volte che esce “testa” (T), ci accorgiamo che otteniamo risultati diversi e non secondo la probabilità. Il rapporto fra il numero di volte che l’evento si è verificato e il numero di prove effettuate si chiama frequenza relativa F dell’evento.

La legge empirica del caso Proviamo a costruire una tabella dove riportiamo il numero dei lanci di una moneta e il numero di volte in cui è uscito T. Numero lanci Numero di uscite T Frequenza relativa 10 3 20 7 50 100 46 200 98 Se osserviamo i valori della frequenza calcolati a ogni serie di prove, constatiamo che più aumenta il numero delle prove, più il valore della frequenza F(E1) si avvicina al valore della probabilità p(E1); su 200 prove abbiamo infatti una frequenza relativa F= 0,49 molto vicina alla probabilità p=0,5. Quanto constatato vale per qualsiasi evento casuale ed è espresso dalla legge empirica del caso o legge dei grandi numeri. Se sottoponiamo un evento casuale E a un gran numero di prove, sempre nelle stesse condizioni, otterremo una frequenza relativa F(E) approssimativamente uguale alla probabilità p(E); tale approssimazione, generalmente, si avvicina alla probabilità p(E) con l’aumentare del numero delle prove.

Eventi incompatibili Lanciamo un dado e consideriamo due eventi possibili: E1: “esce il numero 4” E2: “esce il numero 6” È ovvio che si potrà verificare uno solo dei due eventi, in quanto non possono uscire contemporaneamente in un lancio il 4 e il 6; quindi il verificarsi di E1 esclude il verificarsi di E2. Due eventi simili si dicono incompatibili. Due eventi casuali E1 ed E2 si dicono: incompatibili quando il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro, ovvero se è impossibile che si verifichino entrambi contemporaneamente; può anche accadere che nessuno dei due si verifichi.

Eventi compatibili Lanciamo ancora un dado e consideriamo due eventi: E1: “esce un numero maggiore di 4” E2: “ esce un numero dispari” Osserviamo che i due eventi possono verificarsi contemporaneamente in quanto, se esce il numero 5, si verifica sia l’evento E1 (5 > 4) sia l’evento E2 (5 è un numero dispari). Due eventi simili si dicono compatibili. Due eventi casuali E1 ed E2 si dicono: compatibili quando il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro, ovvero se è possibile che si verifichino entrambi contemporaneamente.

Eventi complementari Lanciamo ancora un dado e consideriamo due eventi possibili: E1: “esce un numero pari” E2: “esce un numero dispari” I due eventi sono, incompatibili: il verificarsi di E1, esclude il verificarsi di E2, però uno dei due si verificherà certamente. Due eventi simili si dicono complementari: Due eventi casuali E1 ed E2 si dicono: complementari se sono tali che il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro, ma uno dei due si verificherà certamente. Due eventi complementari sono sempre incompatibili, ma due eventi incompatibili non sono necessariamente complementari. La somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale a 1.

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