LE PROIEZIONI ORTOGONALI METODI PROIETTIVI LE PROIEZIONI ORTOGONALI

PROIEZIONI CENTRALI

PROIEZIONI PARALLELE

Ogni metodo di proiezione è uno strumento per rappresentare la realtà con oggetti della geometria euclidea, ovvero punti, rette e superfici Per definire un metodo di proiezione è necessario introdurre alcuni elementi che sono: l’oggetto della rappresentazione; un centro di proiezione, che corrisponde al nostro occhio, e da cui partono i raggi proiettanti; il piano di proiezione, che corrisponde al foglio di disegno p p S S  S punto proprio, proiezione conica (o centrale) S punto improprio, proiezione parallela (o cilindrica) che è il caso delle proiezioni ortogonali e assonometriche Differenze dal punto di vista tecnico-operativo dal punto di vista metrico (angoli e lunghezze degli oggetti)

Note storiche: origini L’inventore del metodo delle proiezioni ortogonali fu Gaspard Monge, matematico francese vissuto nel 1700 Conosciuto come un prodigio già da ragazzo, fu ammesso con riserva per le sue umili origini, nella scuola di formazione per militari Mézières La sua invenzione si rivelò ben presto brillante ed eccezionale per quei tempi perché permetteva di definire in poco tempo e con precisione oggetti di grande interesse come le fortificazioni militari Nel 1768 Monge fu nominato professore a condizione che i risultati della sua geometria descrittiva rimanessero un segreto militare limitato agli ufficiali superiori Nel 1780 fu nominato a ricoprire una cattedra di matematica nell'Università a Parigi Monge abbracciò ardentemente le dottrine della rivoluzione e rinnegando l’autorità reale ricevette incarichi di notevole importanza durante la rivoluzione e durante il governo napoleonico A Parigi fu professore alla scuola politecnica, in cui insegnava geometria descrittiva, materia della quale pubblicò un manuale Con la discesa di Napoleone anche la stella di Gaspard Monge si spegne: muore in estrema povertà a Parigi il 28 luglio 1818, bandito dall’accademia e senza mezzi di sussistenza a causa della sua fede napoleonica, viene interrato in un mausoleo del Père Lachaise a Parigi.

Durante le fasi di progettazione e di realizzazione degli oggetti, la rappresentazione grafica riveste un ruolo fondamentale, inizialmente per concretizzare l’idea progettuale e verificarne la fattibilità, in seguito per guidare il processo costruttivo

LE PROIEZIONI ORTOGONALI Nelle Proiezioni Ortogonali il centro di proiezione è posto all'infinito, per cui le linee proiettanti sono tra loro parallele. Inoltre le linee proiettanti raggiungono i piani di proiezione, che sono tre come vedremo, in modo ortogonale, cioè formando angoli retti Lo spazio tridimensionale viene diviso mediante tre piani anch'essi ortogonali fra loro: un primo piano orizzontale (P.O.), un secondo piano verticale (P.V.), un terzo piano laterale (P.L.) P.V. P.L. P.O. I tre piani così definiti individuano 4 triedri ma la parte di spazio di nostro interesse è il triedro delimitato dai tre semipiani evidenziato

IL TRIEDRO FONDAMENTALE I semipiani del triedro possono essere tagliati lungo la linea di separazione tra P.O. e P.L. e ruotando disporsi su un unico piano che sarà il foglio su cui disegneremo P.O. P.V. P.L. P.V. P.L. P.O.

L’oggetto viene disposto in questo triedro e proiettando i punti dell’oggetto con i raggi visuali fuoriuscenti dai centri di proiezione, che per le proiezioni ortogonali sono disposti a distanza infinita dall’oggetto, fino ad incidere perpendicolarmente ai tre piani vengono definite le tre proiezioni o viste dell’oggetto sui tre piani Nella figura è riportata la rappresentazione in proiezioni ortogonali di una barca

Per realizzare le proiezioni ortogonali di corpi solidi, come, ad esempio, pezzi meccanici, occorre scomporre tali oggetti nei loro più semplici elementi che consistono in punti, rette, piani Quindi per prima cosa impareremo a fare la proiezione di un punto nello spazio… P.V. P.L. P’’ P’’’ P’ P.V. P.O. P’’ P P’’’ P.L. P’ P.O.

Proiezioni ortogonali I piani di proiezione Proiezione ortogonale di un punto

Proiezioni ortogonali I piani di proiezione Proiezione ortogonale di un segmento

Analizziamo ora il caso della retta e supponiamo che essa sia parallela ad una asse P.V. P.L. B’’ B’’’ C’’’ C’’ A’’ B’ A’’’ A’ C’ P.V. B = B’’ B’’’ P.O. P.L. C’’ C = C’’’ A’’ B’ C’ A = A’ A’’’ P.O.

Vediamo ora il caso della retta in una posizione generica rispetto ai piani di proiezione Una retta comunque disposta nello spazio è rappresentata dal segmento i cui estremi sono le proiezioni dei suoi punti di intersezione con i piani di proiezione, chiamati tracce della retta P.V. P.L. A = A’’ A’’’ B’’’ A’ B’’ B = B’ P.V. P.O. A = A’’ A’’’ P.L. La retta ha dimensione infinita ma la parte di cui ci interessiamo è quella contenuta nel triedro fondamentale B’’ A’ B = B’ B’’’ P.O.

P.V. P.L. A’’=E’’ B’’=F’’ E’’’=F’’’ A’’’=B’’’ D’’=H’’ C’’=G’’ H’’’=G’’’ D’’’=C’’’ E’=H’ F’=G’ P.V. P.L. F E G B H A P.O. A’=D’ B’=C’ C La proiezione di un qualsiasi oggetto su una terza vista, quando siano già conosciute le altre due, viene risolta con semplici costruzioni geometriche D P.O.

P.V. P.L. H’’’ H’’ E’’ D’’ B’’ C’’ D’’’ A’’’=B’’’ A’’ E’’’=C’’’ D’ P.O. A’’’=B’’’ D’’ C = C’ Un oggetto viene rappresentato su un piano con uguali forma e dimensioni solo nel caso in cui sia parallelo al piano. Se non è soddisfatta questa condizione, la vista che si ottiene è detta di scorcio A’’ D = D’ E’’ H’ B = B’ P.O. E = E’ A = A’

P.V. H’’ H’’’ P.L. D’’ A’’=C’’ B’’ C’’’ D’’’=B’’’ A’’’ H’’’ C’ H’’ H P.O. A’’=C’’ A’’’ B = B’ Il contorno di un oggetto a superficie curva come quella conica è visibile secondo le generatrici limite ovvero le generatrici che passano per gli estremi della base C = C’ D’’ H’ P.O. A = A’ D = D’

Scegliamo la vista principale dell’oggetto, normalmente quella che contiene le maggiori informazioni sull’oggetto o che lo rappresenta

Riportiamo nel piano il parallelepipedo aprendolo lungo i bordi in neretto:

Sia la vista dall’alto che quella dal basso mostrano la base dell’oggetto, ma la vista dall’alto è da preferire perché ha meno linee nascoste La vista da destra e quella da sinistra sono speculari. È quindi ininfluente quale delle due venga scelta. È consuetudine preferire la vista da sinistra (analogamente è consuetudine scegliere la vista dall’alto rispetto a quella dal basso) Sia la vista anteriore che quella posteriore mostrano il foro e la parte superiore dell’oggetto arrotondata, ma la vista anteriore è da preferire perché ha meno linee nascoste

A2 A0 A1 A4 A3 A4 La normativa Linee e spessori Formato dei fogli metodi di rappresentazione norma UNI 3969 proiezioni ortogonali e viste norma UNI 3970 convenzioni particolari di rappresentazione norma UNI 3977 Linee e spessori continua grossa per spigoli in vista a tratti grossa (usata soprattutto nel disegno meccanico) per contorni e spigoli nascosti assi di simmetria, tracce di piani di simmetria, parti situate anteriormente al piano di sezione Formato dei fogli La norma di riferimento è UNI 936 Il formato base è A0 che ha una superficie di 1m2 e un rapporto tra i lati pari alla radice di 2 A2 A0 A1 A4 A3 A4