La funzione seno è una corrispondenza biunivoca nell’intervallo Le funzioni goniometriche inverse La funzione seno è una corrispondenza biunivoca nell’intervallo L’inversa della funzione è la funzione , con −1 ≤ x ≤ 1 e Il grafico della funzione arcoseno si ottiene da quello della funzione seno per simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. y è l’arcoseno di x se x è il seno di

La funzione coseno è una corrispondenza biunivoca nell’intervallo Le funzioni goniometriche inverse La funzione coseno è una corrispondenza biunivoca nell’intervallo L’inversa della funzione è la funzione , con −1 ≤ x ≤ 1 e Il grafico della funzione arcocoseno si ottiene da quello della funzione coseno per simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. y è l’arcocoseno di x se x è il coseno di

La funzione tangente è una corrispondenza biunivoca nell’intervallo Le funzioni goniometriche inverse La funzione tangente è una corrispondenza biunivoca nell’intervallo L’inversa della funzione è la funzione Il grafico della funzione arcotangente si ottiene da quello della funzione tangente per simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. y è l’arcotangente di x se x è la tangente di

Come si misurano gli angoli ESEMPI

Le equazioni elementari Chiamiamo goniometrica un’equazione in cui l’incognita compare nell’argomento di una o più funzioni goniometriche. Sono esempi di equazioni goniometriche Un’equazione goniometrica si dice elementare se si può scrivere in uno dei seguenti modi: Sono impossibili le equazioni Mentre hanno soluzioni equazioni del tipo

La procedura di risoluzione Per risolvere un’equazione goniometrica elementare, si procede in modo diverso a seconda della funzione goniometrica che in essa compare. A P’ P Si determina il punto di ascissa a sull’asse delle y e da esso si traccia la retta parallela all’asse x che interseca la circonferenza goniometrica in P e P’ a Indicato con α l’angolo , si ha che con α = arcsin a. Poiché il seno è una funzione periodica di periodo 2π, le soluzioni dell’equazione data sono i valori di x tali che

La procedura di risoluzione Si determina il punto di ascissa b sull’asse delle x e da esso si traccia la retta parallela all’asse y che interseca la circonferenza goniometrica in P e P’ P’ P b Indicato con α l’angolo , si ha che con α = arccos b. Poiché il coseno è una funzione periodica di periodo 2π, le soluzioni dell’equazione data sono i valori di x tali che

La procedura di risoluzione Si traccia la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A. Si determina il punto di ordinata c e da esso si traccia la retta per l’origine che interseca la circonferenza goniometrica in P e P’. Indicato con α l’angolo , si ha che con α = arctan c. Poiché la tangente è una funzione periodica di periodo π, le soluzioni dell’equazione data sono i valori di x tali che

La procedura di risoluzione ESEMPIO Poiché le soluzioni dell’equazione sono in gradi in radianti

La procedura di risoluzione ESEMPIO P’ P O Poiché le soluzioni dell’equazione sono in gradi in radianti

La procedura di risoluzione ESEMPIO A P’ P c Poiché le soluzioni dell’equazione sono in gradi in radianti

I due angoli sono uguali I due angoli sono supplementari Il confronto tra funzioni goniometriche 1° caso: Se due angoli hanno lo stesso seno, o sono uguali o sono supplementari a meno del periodo. Potremo allora scrivere ESEMPIO I due angoli sono uguali I due angoli sono supplementari

per le formule degli archi associati. Il confronto tra funzioni goniometriche 2° caso: Poiché due angoli hanno lo stesso coseno se sono uguali oppure se sono opposti, a meno del periodo, possiamo scrivere ESEMPIO Osserviamo che per le formule degli archi associati. Quindi l’equazione può essere così riscritta

I due angoli sono uguali I due angoli sono opposti Il confronto tra funzioni goniometriche I due angoli sono uguali I due angoli sono opposti

Il confronto tra funzioni goniometriche 3° caso: Affinché due angoli abbiano la stessa tangente, occorre che essi siano uguali, a meno del periodo e quindi abbiamo ESEMPIO

Applichiamo la prima relazione fondamentale Equazioni in una sola funzione goniometrica Ci sono equazioni che, dopo opportuni calcoli, possono essere ricondotte alla risoluzione di equazioni elementari in quanto contengono una sola funzione goniometrica. ESEMPIO Applichiamo la prima relazione fondamentale Svolgiamo i calcoli Otteniamo un’equazione di secondo grado in sinx Siamo così ricondotti alla risoluzione di due equazioni elementari: Dalla prima ricaviamo Dalla seconda ricaviamo

Le equazioni lineari Un’equazione goniometrica si dice lineare se assume la forma Se a = 0 ∨ b = 0 ritroviamo un’equazione elementare Se a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 possiamo distinguere due casi: Caso c = 0 L’equazione assume la forma Si dividono entrambi i membri per si ottiene come equazione a = 0, cosa che è impossibile visto che abbiamo posto a ≠ 0. Si risolve l’equazione in tangente

Si dividono entrambi i membri per Le equazioni lineari ESEMPIO Si dividono entrambi i membri per Otteniamo Da cui Cioè

Le equazioni lineari Caso c ≠ 0 L’equazione assume la forma completa 1° Metodo: metodo algebrico con le formule parametriche Applichiamo le formule parametriche Operando queste sostituzioni nell’equazione lineare completa otteniamo un’equazione, in genere di secondo grado nella variabile t che, una volta risolta, ci riporta ad equazioni elementari. Ricordiamo che per il dominio della tangente sono escluse le soluzioni del tipo che andranno verificate prima di utilizzare le formule.

Le equazioni lineari ESEMPIO Risolviamo l’equazione lineare Sostituiamo alla x il valore π e otteniamo Quindi è soluzione dell’equazione. Applichiamo le formule parametriche ponendo Poiché scriviamo l’equazione in forma intera: Cioè

Le equazioni lineari 2° Metodo: il metodo del sistema L’equazione è equivalente al sistema Identità Il sistema ottenuto è di secondo grado nelle incognite sin x e cos x dalle quali è possibile ricavare i valori di x.

Le equazioni lineari ESEMPIO Risolviamo l’equazione lineare con il metodo del sistema Applichiamo il metodo di sostituzione Dalla seconda equazione ricaviamo che

Le equazioni lineari Il sistema è dunque equivalente ai seguenti

Le equazioni lineari Interpretazione grafica del metodo del sistema Il sistema che risulta dall’applicazione del metodo precedente può essere risolto graficamente ponendo Otteniamo così Rappresentiamo graficamente le due equazioni. Le coordinate dei punti di intersezione A e B rappresentano anche rispettivamente il coseno e il seno degli angoli con vertice nell’origine e che hanno per lati il semiasse positivo delle ascisse e le semirette OA ed OB. Tali angoli sono le soluzione dell’equazione lineare data.

Rappresentiamo graficamente Le equazioni lineari ESEMPIO Risolviamo con questo metodo la stessa equazione dell’esempio precedente. Il coefficiente angolare della retta è , quindi la retta è inclinata di 120°rispetto alla direzione positiva dell’asse x e passa per il punto (-1,0). A B 60° 120° Rappresentiamo graficamente Le soluzioni dell’equazione sono allora

Le equazioni omogenee 3° metodo: il metodo dell’angolo aggiunto Lo scopo di questo metodo è quello di trasformare l’espressione in una della forma al fine di ricondurre un’equazione lineare di forma elementare. Per risolvere l’equazione basta dividere entrambi i membri per : poniamo e . Poichè Utilizzando le formule di addizione l’equazione di partenza diventa l’equazione elementare: che sappiamo risolvere.

Le equazioni omogenee ESEMPIO e quindi Dividendo entrambi i membri per 2 otteniamo: Abbiamo perciò cioè L’equazione è quindi equivalente all’equazione elementare: Che ha soluzioni e

Le equazioni omogenee Un’equazione omogenea di secondo grado assume la forma Se a = 0 l’equazione diventa cioè Risolvibile con la legge di annullamento del prodotto Se c = 0 l’equazione diventa cioè Risolvibile con la legge di annullamento del prodotto Se a ≠ 0 ∧ c ≠ 0 (quindi potrebbe anche essere b = 0) dividiamo l’equazione per , ottenendo un’equazione di secondo grado in tan x:

Le equazioni omogenee ESEMPIO Raccogliamo:

Le equazioni omogenee ESEMPIO Poiché a ≠ 0 ∧ c ≠ 0, dividiamo entrambi i membri dell’equazione per e otteniamo Applichiamo la formula risolutiva Dunque che fornisce le soluzioni e che fornisce le soluzioni

Le equazioni omogenee L’equazione si trasforma in una omogenea moltiplicando d per 1, cioè per (prima identità goniometrica fondamentale) ESEMPIO Moltiplichiamo il secondo membro per l’espressione Svolgendo i calcoli otteniamo Raccogliamo Dall’equazione ricaviamo e da ricaviamo

Le equazioni intere Disequazioni elementari Una disequazione elementare assume la forma oppure Per la loro risoluzione si ricorre alla circonferenza goniometrica e si individuano gli archi per i quali la funzione al primo membro soddisfa la disequazione.

La procedura di risoluzione ESEMPIO Ricaviamo la disequazione O Tracciamo la circonferenza goniometrica, rappresentiamo sull’asse delle y il punto P di ordinata e individuiamo gli angoli corrispondenti a tale valore del seno. P I punti dell’asse y di ordinata minore di sono quelli appartenenti al segmento in colore verde; allora gli angoli il cui seno è minore di sono quelli che appartengono al corrispondente arco evidenziato in rosso. Tenendo conto del periodo avremo:

La procedura di risoluzione ESEMPIO O P Ripetiamo le stesse operazioni individuate nell’esercizio prevedente e otteniamo la seguente rappresentazione grafica. Le soluzioni della disequazione corrispondono all’intervallo

La procedura di risoluzione ESEMPIO O Ripetiamo ancora le stesse operazioni e otteniamo la seguente rappresentazione grafica. P La disequazione è verificata nel seguente intervallo:

Le equazioni intere Disequazioni riconducibili a quelle elementari Per risolvere una disequazione goniometrica di tipo più generale, siamo spesso ricondotti a risolvere una o più disequazioni elementari, come accade per le equazioni. ESEMPIO Scriviamo l’equazione di secondo grado in sin x associata alla disequazione. che ammette soluzioni La disequazione è verificata se Dobbiamo a questo punto risolvere due disequazioni elementari.

Le equazioni intere verificata se verificata se La disequazione è quindi verificata se

Le equazioni intere Disequazioni lineari Per risolvere una disequazione lineare si possono usare gli stessi metodi utilizzati per la risoluzione delle analoghe equazioni. In particolare il metodo grafico risulta spesso il più rapido e immediato. ESEMPIO Risolviamo la disequazione Il sistema è equivalente a Operiamo le sostituzioni e otteniamo

Le equazioni intere Nel piano cartesiano la seconda relazione rappresenta una circonferenza con centro nell’origine e raggio unitario; la prima rappresenta invece un semipiano la cui frontiera è la retta di equazione A B O L’intersezione tra tale semipiano e la circonferenza è rappresentata dall’arco maggiore AB; gli angoli con vertice O che insistono su tale arco sono tutti, a meno del periodo, soluzioni della disequazione data:

Le equazioni intere Disequazioni frazionarie e scomponibili Per risolvere una disequazione goniometrica frazionaria o scomponibile nel prodotto di due o più fattori si usano gli stessi metodi applicati per le analoghe disequazioni algebriche. Per rappresentare graficamente il segno dei fattori è conveniente però usare tabelle circolari, anziché lineari. ESEMPIO Studiamo il segno di ogni termine della frazione riportando su due circonferenze concentriche i risultati ottenuti. Il numero delle circonferenze è pari al numero dei fattori. a meno del periodo

Le equazioni intere a meno del periodo Dominio: dominatore ≠ 0 Calcoliamo, al variare di x, il segno della frazione con la regola dei segni (indicato in figura in rosso) e diamo la soluzione: + −

Le equazioni intere ESEMPIO Risolviamo la disequazione Scomponiamo l’espressione a primo membro e studiamo, nel primo angolo giro, il segno di ogni fattore così ottenuto: − + Tenendo conto del periodo della tangente avremo per soluzione: +

Le equazioni intere I sistemi di disequazioni Anche per risolvere un sistema di disequazioni utilizziamo lo stesso metodo e riportiamo le soluzioni di tutte le disequazione su una serie di circonferenze concentriche (una per ciascuna disequazione). ESEMPIO Nell’intervallo Il sistema è equivalente a Dalla sua osservazione possiamo dedurre che il sistema è verificato se