L'area delle figure piane

Figure piane Equivalenza di figure piane poligoni cerchi figure a contorno curvilineo figure a contorno mistilineo I due poligoni sono congruenti I due cerchi non sono congruenti Due figure sono congruenti se sovrapposte coincidono perfettamente

Equivalenza di figure piane B C A A B B C F B C C F’’ F’ A Le figure F, F’ ed F’’ non hanno la stessa forma, non sono quindi congruenti, ma sono formate dallo stesso numero di parti congruenti; diciamo che sono equicomposte (composte dallo stesso numero di parti congruenti). Essendo equicomposte, hanno tutte la stessa estensione, in quanto occupano la stessa parte di superficie; le chiamiamo allora equivalenti e indichiamo ciò nel seguente modo: F F’ F’’ (leggi: “F equivalente a F’ equivalente a F’’ ”)

La formula è quindi: Calcoliamo le aree Area del rettangolo h b Consideriamo un rettangolo avente la base lunga 5 cm e l’altezza lunga 3 cm. Per calcolare la sua area basterà vedere quante volte un’unità di misura è contenuta in esso. Se scegliamo come unità di misura il centimetro quadrato e lo riportiamo in esso, osserviamo che ci sono 15 quadratini, cioè l’area è di 15 cm². A tale risultato arriviamo moltiplicando fra loro i numeri 5 e 3 che esprimono, in centimetri, la lunghezza della base b e dell’altezza h. h b L’area del rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza. La formula è quindi:

l Calcoliamo le aree Area del quadrato Il quadrato è un particolare rettangolo avente la base congruente all’altezza. Per calcolare la sua area possiamo applicare la stessa formula del rettangolo: L’area del quadrato si ottiene moltiplicando la misura del lato per se stessa. La formula è:

Area del parallelogramma Calcoliamo le aree h A B H b C D Area del parallelogramma Osserva il parallelogramma ABCD; se da esso ritagliamo il triangolo ABH e lo spostiamo dalla parte opposta, otteniamo un rettangolo equivalente al parallelogramma. B h A H b C D ≡B Possiamo quindi affermare che: Un parallelogramma è equivalente a un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza. L’area del parallelogramma si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza. La formula è:

Calcoliamo le aree B A C b h Area del triangolo Un triangolo è equivalente alla metà di un parallelogramma avente la stessa base e la stessa altezza. D b B A C h L’area del triangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza a essa relativa e dividendo tale prodotto per due. La formula è:

Calcoliamo le aree D B A C d2 d1 O E H F G Area del rombo Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha per base e per altezza rispettivamente le due diagonali del rombo. L’area del rombo si ottiene moltiplicando le misure delle due diagonali e dividendo tale prodotto per due. La formula è:

Calcoliamo le aree C A B H D b1 b2 h h b1 b2 b1 b2 Area del trapezio Un trapezio è equivalente alla metà di un parallelogramma che ha come base la somma delle basi del trapezio e come altezza la stessa altezza. L’area di un trapezio si ottiene moltiplicando la somma delle basi per la misura dell’altezza e dividendo tale prodotto per due. Disegniamo il trapezio ABCD Disegniamone due congruenti e sistemiamoli in modo da far coincidere un lato obliquo. Otteniamo un parallelogramma che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza. La formula sarà:

Area dei poligoni regolari Calcoliamo le aree Area dei poligoni regolari A D C F E G B H l a Consideriamo un poligono regolare, per esempio l’ottagono ABCDEFGH. Come vedi si può dividere in 8 triangoli congruenti. In ognuno di questi triangoli la base coincide con un lato dell’ottagono e l’altezza è l’apotema del poligono. Per calcolare l’area dell’ottagono basterà calcolare l’area di uno dei triangoli e moltiplicare il risultato per otto:

Calcoliamo le aree Area dei poligoni regolari A D C F E G B H l a Diremo quindi che: L’area di un poligono regolare si ottiene moltiplicando la misura del perimetro per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due. La formula è: Calcolare la misura dell’apotema f e φ sono due costanti, detti impropriamente numeri fissi, il loro valore dipende dal tipo di poligono.

Fine