Elementi di teoria delle probabilità Spazio campionario ed eventi La teoria delle probabilità tratta di esperimenti (es. lancio di un dado) e dei relativi risultati. L’insieme di tutti i possibili risultati di un predefinito esperimento si chiama spazio campionario. Questo spazio consiste di un insieme S di punti chiamati punti campionari, ciascuno dei quali è associato ad un solo e ben definito risultato. Lo spazio campionario può essere continuo o discreto. Un evento A è un sottoinsieme dello spazio campionario. Si parla di evento semplice quando tale sottoinsieme è costituito da un solo punto. Si parla di evento composto quando tale sottoinsieme è costituito da più punti campionari. 1 2 3 4 5 6

Elementi di teoria delle probabilità Relazione tra eventi Se due eventi A e B non contengono punti campionari in comune si dicono mutuamente esclusivi o disgiunti Se due eventi A e B non sono mutuamente esclusivi i punti campionari in comune costituiscono la loro intersezione: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 L’unione di due eventi A e B è un evento costituito da tutti i punti di A e di B:

Elementi di teoria delle probabilità Spazio campionario a due dimensioni Si consideri l’esperimento “misura simultanea della velocità e della direzione del vento”. Lo spazio campionario (continuo) è costituito da punti le cui coordinate sono la velocità e la direzione del vento. Questo spazio campionario ha quindi due dimensioni Direzione 360 Velocità (m/s)

Elementi di teoria delle probabilità Spazio campionario condizionato Se anziché considerare tutti i possibili risultati consideriamo solo quelli caratterizzati da un velocità maggiore o uguale a un prefissato valore (es 1 m/s) lo spazio campionario risulterà ridotto rispetto al precedente Direzione 360 1 Velocità (m/s)

Elementi di teoria delle probabilità La probabilità A ciascun punto dello spazio campionario relativo ad un prefissato esperimento può essere associato un numero chiamato misura di probabilità o più semplicemente probabilità Def.: Se un evento casuale può manifestarsi in n modi ugualmente probabili e mutuamente esclusivi e se na di questi modi sono caratterizzati dall’attributo A, allora la probabilità che si manifesti un evento con attributo A è: Se un evento casuale si manifesta un gran numero di volte (n volte) ed un evento di attributo A si manifesta na volte, allora la probabilità che un evento con attributo A si manifesti è:

Elementi di teoria delle probabilità Assiomi della teoria delle probabilità Assioma 1: La probabilità di un evento A è un numero compreso tra 0 e 1: Assioma 2: La probabilità dell’evento certo S è l’unità: Assioma 3: La probabilità di un evento che è l’unione di due eventi mutuamente esclusivi è la somma delle probabilità dei due eventi:

Elementi di teoria delle probabilità Probabilità dell’unione Dati due eventi, disgiunti o meno, la probabilità dell’evento unione è: Probabilità condizionata La probabilità condizionata di un evento A dato B, cioè la probabilità dell’evento A condizionata al fatto che l’elemento B si sia manifestato è: Rinormalizzazione sullo spazio campionario condizionato

Elementi di teoria delle probabilità Indipendenza Si dice che due eventi sono indipendenti quando: La probabilità che l’evento B si sia manifestato non altera la probabilità del manifestarsi dell’evento A

La variabile casuale La variabile casuale è una variabile numerica il cui valore non può essere previsto con certezza prima di un esperimento. Di fatto è la quantificazione numerica del concetto di spazio campionario: è dunque possibile associare ad ogni punto dello spazio campionario un valore della variabile casuale. Il comportamento della variabile casuale sull’intero spazio campionario viene descritto dalle leggi di probabilità. Variabili casuali discrete Variabili casuali continue

Variabile discreta Funzione di probabilità di massa La funzione di probabilità di massa della variabile discreta X è: pX(x) esprime la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore x.

Variabile discreta Funzione di probabilità cumulata La funzione di probabilità cumulata rappresenta la probabilità dell’evento che la variabile casuale assuma un valore minore o uguale a quello assegnato: Per variabili casuali discrete questa funzione equivale alla somma della funzione di probabilità di massa relativamente all’intervallo dei valori minori o uguali ad x che la variabile casuale X può assumere:

Variabile continua Funzione di densità di probabilità Supponiamo che l’asse x sia suddiviso in un numero sufficientemente ampio di piccoli intervalli di lunghezza infinitesimale dx; è allora plausibile definire una funzione fX(x) tale che la probabilità che X ricada nell’intervallo di estremi x e x+dx risulti pari a fX(x)dx: tale funzione è detta funzione di densità di probabilità. Poiché gli intervalli sono mutuamente esclusivi ne segue che: La probabilità che X assuma un singolo valore x è zero in quanto la lunghezza dx risulta zero: in effetti fX(x) non rappresenta una probabilità come pX(x), bensì una densità di probabilità. Pertanto fX(x) può anche essere maggiore di uno, ma mai negativa.

Variabile continua Funzione di probabilità cumulata La definizione di funzione di probabilità cumulata per una variabile casuale continua è del tutto equivalente a quella fornita per una variabile casuale discreta:

Variabile continua Funzione di probabilità cumulata

Funzione di probabilità congiunta Quando si considerano due o più variabili simultaneamente il loro comportamento probabilistico viene descritto dalla funzione congiunta di probabilità e dalla funzione congiunta di probabilità cumulata. Variabili discrete Funzione congiunta di probabilità di massa. Funzione congiunta di probabilità di massa cumulata.

Funzione di probabilità congiunta Variabili continue Funzione congiunta di probabilità di densità di probabilità. Funzione congiunta di probabilità cumulata.

Funzione marginale di probabilità Il comportamento di una variabile indipendentemente dall’altra viene descritto dalla funzione marginale di probabilità. Variabili discrete Funzione marginale di probabilità di massa. Variabili continue Funzione marginale di densità di probabilità.

Funzione condizionata di probabilità Variabili discrete Funzione condizionata di probabilità di massa. Variabili continue Funzione condizionata di densità di probabilità.

Distribuzioni di probabilità per Y=g(X) X e Y variabili casuali legate dalla relazione Y=g(X): X variabile indipendente; Y variabile dipendente; Siano note Sia il legame Y=g(X) biunivoco e monotono crescente: Y è minore o uguale di y0 se e sole se X è minore o uguale ad un valore x0 t.c. y0=g(x0), ovvero:

Distribuzioni di probabilità per Y=g(X) Sotto queste condizioni la funzione di probabilità cumulata della variabile Y può essere derivata dalla funzione di probabilità cumulata della variabile X: Se il legame Y=g(X) è anche continuo e derivabile si può derivare anche la funzione di densità di probabilità di Y:

Distribuzioni di probabilità per Y=g(X) quindi: La probabilità che Y ricada nell’intervallo di ampiezza dy centrato in y è uguale alla probabilità che X ricada nel corrispondente intervallo centrato in x=g-1(y)