Lavoro svolto da Lizzi Fabrizia ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE Lavoro svolto da Lizzi Fabrizia Anno scolastico 2008/2009

INDICE Introduzione Definizione di limite, definizione topologica e grafico Definizione limite destro e limite sinistro e grafico

CALCOLO DEI LIMITI Per limite di una funzione Y = f(x) per X tendente ad un certo valore che indichiamo con X0, si intende il valore che la funzione tende a raggiungere quando alla variabile indipendente X attribuiamo i valori che si avvicinano sempre più a X0.

Una funzione ammette limite L per x→xo quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. Lim f(x)= L x→xo Y a l ∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL a X0 b X

Una funzione ammette limite L per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. Lim f(x)= L x→ + Y Il l ∀ILƎI+:f(I+)CIL X +

Una funzione ammette limite L per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. Lim f(x)= L x→ - Y l Il ∀ILƎI-:f(I-)CIL X -

Lim f(x)= L x→  Una funzione ammette limite L per x→  quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. Y ∀ILƎI  :f(I )CIL X I - I +

Lim f(x)= + x→xo Una funzione ammette limite + per x→ xo quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. Y I + ∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+ X I xo

Lim f(x)= + x→ + Una funzione ammette limite + per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. Y I + ∀I+ƎI+:f(I+)CI+ X I +

Lim f(x)= + x→ - Una funzione ammette limite + per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. Y I + ∀I+ƎI-:f(I-)CI+ X I -

Una funzione ammette limite + per x→  quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. Lim f(x)= + x→  Y I + ∀I+ƎI:f(I)CI+ X I - I +

Una funzione ammette limite - per x→ xo quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. Lim f(x)= - x→ xo I xo Y ∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI- xo X I -

Lim f(x)= - x→ + Una funzione ammette limite - per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. I + Y X ∀I-ƎI+:f(I+)CI- I -

Lim f(x)= - x→ - Una funzione ammette limite - per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. Y I - X ∀I-ƎI-:f(I-)CI- I -

Una funzione ammette limite - per x→  quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. Lim f(x)= - x→  I - I + Y X ∀I-ƎI:f(I)CI- I -

Lim f(x)=  x→ xo Una funzione ammette limite  per x→ xo quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di . I + Y X I xo ∀IƎIxo:f(Ixo)CI I -

Lim f(x)=  x→ + Una funzione ammette limite  per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di . I + Y I - ∀IƎI+:f(I+)CI X I -

Lim f(x)=  x→ - Una funzione ammette limite  per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di . I + Y X ∀IƎI-:f(I-)CI I -

Lim f(x)=  x→  Una funzione ammette limite  per x→  quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di . Y I + I - X ∀IƎI:f(I)CI I + I -

LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO Essendo L1≠L2 diremo che per x→xo contemporaneamente da destra e da sinistra, la funzione non presenta un unico limite. Una funzione può ammettere un certo limite per x→xo quando esiste il limite destro, esiste il limite sinistro e i due valori sono coincidenti.

L2 n m L1 a xo a xo b I xo I xo Y= f(X) Y Y Y= f(X) I L2 I n f (xo) = n m L1 a xo X a xo b X I xo I xo

INDIS Introduzion Definision di limits, definision topologiche e grafiche Definision di limit diestri e sinistri e grafiche

CALCUL DAI LIMITS Par limit di une funzion Y = f(x) par X tindint a un cert valôr che indichin cun X0, si intindt il valôr che le funzion tind a raggiungi cuànt a le variabile indipendent X e attribuin i valôrs che si avisinin simpri di pui a X0.

Une funzion e amet el limit L par x→ xo cuànd, cjapat un cualsiasi intorn di L, esist amàncul un intorn di xo, par dutes les x dal qual i corrispondents valôrs di f(x) e son ducj tal predet intorn di L. Lim f(x)= L x→xo Y a l ∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL a X0 b X

Une funzion e amet el limit L par Lim f(x)= L x→ + Une funzion e amet el limit L par x→ + cuànd, cjapat un cualsiasi intorn di L, esist amàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondents valôrs di f(x) e son ducj tal predet intorn di L. Y Il l ∀ILƎI+ :f(I+)CIL X +

Lim f(x)= L x→ - Une funzion ammet limit L par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di L, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di L. Y l Il ∀ILƎI- :f(I-)CIL X -

Une funzion ammet limit L par Lim f(x)= L x→  Une funzion ammet limit L par x→  cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di L, esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di L. Y ∀ILƎI:f(I)CIL X I - I +

Une funzion ammet limit + par Lim f(x)= + x→ xo Une funzion ammet limit + par x→ xo cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. Y I + ∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+ X I xo

Une funzion ammet limit + par Lim f(x)= + x→ + Une funzion ammet limit + par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. Y I + ∀I+ƎI+:f(I+)CI+ X I +

Une funzion ammet limit + par Lim f(x)= + x→ - Une funzion ammet limit + par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. Y I + ∀I+ƎI-:f(I-)CI+ X I -

Une funzion ammet limit + par Lim f(x)= + x→  Une funzion ammet limit + par x→  cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. Y I + ∀I+ƎI:f(I)CI+ X I - I +

Une funzion ammet limit - par Lim f(x)= - x→ xo Une funzion ammet limit - par x→ xo cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. I xo Y ∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI- xo X I -

Une funzion ammet limit - par Lim f(x)= - x→ + Une funzion ammet limit - par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. I + Y X ∀I-ƎI+:f(I+)CI- I -

Une funzion ammet limit - par Lim f(x)= - x→ - Une funzion ammet limit - par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. Y I - X ∀I-ƎI-:f(I-)CI- I -

Une funzion ammet limit - par Lim f(x)= - x→  Une funzion ammet limit - par x→  cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. I - I + Y X ∀I-ƎI:f(I)CI- I -

Une funzion ammet limit  par Lim f(x)=  x→ xo Une funzion ammet limit  par x→ xo cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di , esist almàncul un intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di . I + Y X ∀IƎIxo:f(Ixo)CI I xo I -

Une funzion ammet limit  par Lim f(x)=  x→ + Une funzion ammet limit  par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di , esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di . I + Y I - ∀IƎI+:f(I+)CI X I -

Une funzion ammet limit  par Lim f(x)=  x→ - Une funzion ammet limit  par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di , esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di . I + Y ∀IƎI-:f(I-)CI X I -

Une funzion ammit limit  par Lim f(x)=  x→  Une funzion ammit limit  par x→  cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di , esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di . Y I + I - X ∀IƎI:f(I)CI I + I -

esist el limit sinistri e i doi valôrs e son coincidens. LIMIT DIESTRI E LIMIT SINISTRI Essind L1≠L2 e disin che par x→ xo contemporaneamentri di diestri e di sinistre, le funzion no presente un unic limit. Une funzion e po ameti un cert limit par x→ xo cuànt cal esist el limit diestri, esist el limit sinistri e i doi valôrs e son coincidens.

L2 n m L1 a xo a xo b I xo I xo Y= f(X) Y Y Y= f(X) I L2 I n I n f (xo) = n m L1 a xo X a xo b X I xo I xo

INDEX Introduction Definition of right limit, left and graph Definition of limit, definition topologies and graph Definition of right limit, left and graph

CALCULATION OF LIMITS For limit of a function Y = f(x) for X tending about at some value to denote by X0, means the value that the function tends to reach when we attach to the independent variable X values that were close to more X0.

Lim f(x)= L x→xo One function admits limit L for x→ xo when, taken any around of L, there is at least one around of xo, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. Y a l ∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL a X0 b X

One function admits limit L for x→+ when, taken any around of L, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. Lim f(x)= L x→ + Y Il l ∀ILƎI+:f(I+)CIL X +

Lim f(x)= L x→ - One function admits limit L for x→- when, taken any around of L, there is at least one around of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. Y l Il ∀ILƎI-:f(I-)CIL X -

One function admits limit L for Lim f(x)= L x→  One function admits limit L for x→  when, taken any around of L, there is at least one around of , for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. Y ∀ILƎI:f(I)CIL X I - I +

Lim f(x)= + x→xo One function admits limit + for x→xo when, taken any around of L, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of +. Y I + ∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+ X I xo

Lim f(x)= + x→ + One function admits limit + for x→+ when, taken any around of +, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of +. Y I + ∀I+ƎI+:f(I+)CI+ X I +

Lim f(x)= + x→ - One function admits limit + for x→- when, taken any around of +, there is at least one around of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of +. Y I + ∀I+ƎI-:f(I-)CI+ X I -

One function admits limit + for x→ when, taken any around of +, there is at least one around of , for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of +. Lim f(x)= + x→  Y I + ∀I+ƎI:f(I)CI+ X I - I +

One function admits limit - for x→xo when, taken any around of -, there is at least one around of xo, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of -. Lim f(x)= - x→ xo I xo Y ∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI- xo X I -

Lim f(x)= - x→ + One function admits limit - for x→ + when, taken any around of -, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of -. I + Y X ∀I-ƎI+:f(I+)CI- I -

Lim f(x)= - x→ - One function admits limit - for x→ - when, taken any around of -, there is at least one around of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of -. Y I - X ∀I-ƎI-:f(I-)CI- I -

One function admits limit - for x→  when, taken any around of -, there is at least one around of , for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of -. Lim f(x)= - x→  I - I + Y X ∀I-ƎI:f(I)CI- I -

Lim f(x)=  x→ xo One function admits limit  for x→ xo when, taken any around of , there is at least one around of xo, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of . I + Y X ∀IƎIxo:f(Ixo)CI I xo I -

One function admits limit  for Lim f(x)=  x→ + One function admits limit  for x→ + when, taken any around of , there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of . I + Y ∀IƎI+:f(I+)CI I - X I -

Lim f(x)=  x→ - One function admits limit  for x→ - when, taken any around of , there is at least one around of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of . I + Y ∀IƎI-:f(I-)CI X I -

One function admits limit  for Lim f(x)=  x→  One function admits limit  for x→  when, taken any around of , there is at least one around of , for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of . Y I + I - X ∀IƎI:f(I)CI I + I -

LIMIT THE RIGHT AND LEFT LIMIT Being L1≠L2 say that for x→ xo simultaneously from right and left, the function doesn’t have a single limit. A function can admit to a certain limit for x→ xo when there is a limit right, there is the left limit and the two values are coincident.

L2 n n m m L1 a a xo xo a xo b I xo I xo I xo Y= f(X) Y Y Y Y= f(X) I L2 n n I n I n f (xo) = n m m L1 a a xo xo X X a xo b X I xo I xo I xo

INHALT Einführung Definition der Limit Rechts, Limit Links und Chart Definition der Limit, Definition topologica und Chart Definition der Limit Rechts, Limit Links und Chart

BERECHNUNG DIE LIMITS Limit für eine Funktion Y = f(x) für X Tendenz zu einem bestimmten Wert zur Bezeichnung von X0, ist der Wert, dass die Funktion der Regel zu erreichen wenn auf die unabhängige Variable X befestigen die Werte, die sich immer enger zu X0.

Eine Funktion räumt Limit L für Lim f(x)= L x→xo Eine Funktion räumt Limit L für x→ xo wann, getroffen beliebig eine Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von xo, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L. Y a l ∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL a X0 b X

Eine Funktion räumt Limit L für x→ + wann, getroffen beliebig eine Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L. Lim f(x)= L x→ + Y Il l ∀ILƎI+:f(I+)CIL X +

Eine Funktion räumt Limit L für Lim f(x)= L x→ - Eine Funktion räumt Limit L für x→ - wann, getroffen beliebig eine Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L. Y l Il ∀ILƎI-:f(I-)CIL X -

Eine Funktion räumt Limit L für Lim f(x)= L x→  Eine Funktion räumt Limit L für x→  wann, getroffen beliebig eine Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L. Y ∀ILƎI:f(I)CIL X I - I +

Eine Funktion räumt Limit + für Lim f(x)= + x→xo Eine Funktion räumt Limit + für x→ xo wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens eine Runde von xo, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der +. Y I + X ∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+ I xo

Eine Funktion räumt Limit + für Lim f(x)= + x→ + Eine Funktion räumt Limit + für x→ + wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der +. Y I + ∀I+ƎI+:f(I+)CI+ X I +

Eine Funktion räumt Limit + für Lim f(x)= + x→ - Eine Funktion räumt Limit + für x→ - wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der +. Y I + ∀I+ƎI-:f(I-)CI+ X I -

Eine Funktion räumt Limit + für x→  wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der +. Lim f(x)= + x→  Y I + ∀I+ƎI:f(I)CI+ X I - I +

Eine Funktion räumt Limit - für x→ xo wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens eine Runde von xo, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -. Lim f(x)= - x→ xo I xo Y ∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI- xo X I -

Eine Funktion räumt Limit - für Lim f(x)= - x→ + Eine Funktion räumt Limit - für x→ + wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -. I + Y X ∀I-ƎI+:f(I+)CI- I -

Eine Funktion räumt Limit - für Lim f(x)= - x→ - Eine Funktion räumt Limit - für x→ - wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -. Y I - X ∀I-ƎI-:f(I-)CI- I -

Eine Funktion räumt Limit - für Lim f(x)= - x→  Eine Funktion räumt Limit - für x→  wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -. I - I + Y X ∀I-ƎI:f(I)CI- I -

Eine Funktion räumt Limit  für Lim f(x)=  x→ xo Eine Funktion räumt Limit  für x→ xo wann, getroffen beliebig eine Runde von , es gibt mindestens eine Runde von xo, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der . I + Y X I xo ∀IƎIxo:f(Ixo)CI I -

Eine Funktion räumt Limit  für Lim f(x)=  x→ + Eine Funktion räumt Limit  für x→ + wann, getroffen beliebig eine Runde von , es gibt mindestens eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der . I + Y I - X ∀IƎI+:f(I+)CI I -

Eine Funktion räumt Limit  für Lim f(x)=  x→ - Eine Funktion räumt Limit  für x→ - wann, getroffen beliebig eine Runde von , es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der . I + Y ∀IƎI-:f(I-)CI X I -

Eine Funktion räumt Limit  für Lim f(x)=  x→  Eine Funktion räumt Limit  für x→  wann, getroffen beliebig eine Runde von , es gibt mindestens eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der . Y I + I - X ∀IƎI:f(I)CI I + I -

RECHTEN LIMIT UND LINKS LIMIT Wobei L1≠L2 sagen dass x→ xo gleichzeitig von der rechten und links, die Funktion nicht ein einziges Limit. Eine Funktion kann Einige Limit zugeben für x→ xo wenn es ist eine Limit rechts, es ist die linke Limit und die beiden Werte sind gleichzeitig.

L2 n m L1 a xo a xo b I xo I xo Y= f(X) Y Y Y= f(X) I L2 I n f (xo) = n m L1 a xo X a xo b X I xo I xo