Le trasformazioni nel piano cartesiano Le equazioni delle principali trasformazioni nel piano cartesiano sono: traslazione di vetore simmetria rispetto all’asse x simmetria rispetto all’asse y simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante

Le trasformazioni nel piano cartesiano ESEMPI 1. Determiniamo il corrisposndente del punto P (1, −3) nella traslazione di vettore Le equazioni della traslazione sono Quindi 2. Determiniamo la curva corrispondente di nella simmetria rispetto all’asse y Le equazioni della simmetria rispetto all’asse y sono Quindi le sostituzioni da effettuare sono Si ottiene

La parabola e la sua equazione Si dice parabola il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza da un punto fisso F, chiamato fuoco, e da una retta fissa d, chiamata direttrice. Fissati dunque la direttrice d e il fuoco F, i punti della parabola sono tutti e soli i punti P per i quali , essendo H il piede della perpendicolare condotta da P su d (figura).

La parabola e la sua equazione Equazione della parabola con asse parallelo all’asse y con a, b, e c coefficienti reali e . L’equazione canonica di questa parabola è Posto , essa ha: vertice nel punto fuoco nel punto per asse di simmetria la retta di equazione per direttrice la retta di equazione Inoltre: se la parabola è concava verso l’alto se la parabola è concava verso il basso

La parabola e la sua equazione ESEMPIO Nell’equazione della parabola abbiamo Vertice: Fuoco: Asse: Direttrice: Poiché a = 2 > 0 la parabola è concava verso l’alto.

La parabola e la sua equazione Il grafico Per tracciare il grafico di una parabola, nota la sua equazione, basta trovare il vertice e le coordinate di qualche punto. ESEMPIO Disegniamo la parabola di equazione . Conosciamo già le coordinate del vertice Troviamo le coordinate di qualche punto. x y -2 -1 -3 1 3

La parabola e la sua equazione se c = 0 l’equazione assume la forma e il suo grafico passa per l’origine degli assi Casi particolari Nell’equazione se b = 0 l’equazione assume la forma e il vertice appartiene all’asse delle ordinate Se b = c = 0 la parabola assume la forma e ha vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y

La parabola e la sua equazione Equazione della parabola con asse parallelo all’asse x y x a < 0 a > 0 L’equazione canonica di questa parabola è: con , , coefficienti reali e . Essa ha: vertice nel punto fuoco nel punto per asse di simmetria la retta di equazione per direttrice la retta di equazione Inoltre: se a > 0 la parabola volge la concavità nella direzione del semiasse positivo delle x se a < 0 la parabola volge la concavità nella direzione del semiasse negativo delle x

La parabola e la sua equazione ESEMPIO Nell’equazione della parabola abbiamo e Vertice: Fuoco: Asse: Direttrice: Poiché a = −2 < 0 la parabola volge la concavità nella direzione del semiasse negativo dell’asse x.

La parabola e la sua equazione Per costruire il grafico, oltre al vertice, troviamo le coordinate di qualche punto attribuendo valori di nostra scelta alla y e calcolando il corrispondente valore di x. y x 1 -1 -3

La parabola e la sua equazione Possiamo riassumere tutte le formule nella seguente tabella che evidenzia le corrispondenze fra gli elementi delle due parabole nel caso generale.

Condizioni per determinare una parabola Per trovare l’equazione di una parabola sono necessari e sufficienti tre informazioni indipendenti, ad esempio: le coordinate di tre punti che le appartengono il vertice e un’altra informazione (ad es: le coordinate di un altro punto, le coordinate del fuoco, l’equazione della direttrice…) le coordinate del fuoco e di un punto appartenente alla parabola l’equazione della direttrice e le coordinate del fuoco

Condizioni per determinare una parabola ESEMPIO Determiniamo l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y passante per i punti: La parabola richiesta ha l’equazione generale del tipo Imponiamo che essa sia soddisfatta dalle coordinate di ciascuno dei punti assegnati: Risolvendo il sistema otteniamo: L’equazione della parabola è quindi:

Condizioni per determinare una parabola ESEMPIO Determiniamo l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse, di vertice V (1; -2) e passante per il punto P (-3; 0) Considerata l’equazione generale scriviamo il sistema associato: ordinata del vertice uguale a -2 passaggio per V passaggio per P risolviamio il sistema e troviamo: L’equazione della parabola è

Condizioni per determinare una parabola In alternativa al precedente metodo, ricordiamo che una parabola che ha vertice in V(x0, y0) e asse di simmetria parallelo all’asse x ha equazione: cioè nel nostro caso: Imponendo il passaggio per P e svolgendo i calcoli otteniamo lo stesso risultato. 

Posizioni reciproche di una retta e una parabola Per determinare la posizione di una retta rispetto a una parabola si deve: impostare il sistema retta-parabola determinare l’equazione risolvente di secondo grado nella variabile x (oppure y) a seconda del tipo di parabola calcolare il discriminante Δ di questa equazione: se Δ > 0 la retta è secante la parabola se Δ = 0 la retta è tangente alla parabola se Δ < 0 la retta non interseca la parabola

Posizioni reciproche di una retta e una parabola ESEMPIO La retta di equazione è secante la parabola di equazione . Infatti: Poiché Δ > 0 la retta è secante la parabola. La parabola e la retta si intersecano nei punti di coordinate

Posizioni reciproche di una retta e una parabola Il caso delle rette tangenti ad una parabola condotte da un punto del piano A seconda della posizione del punto P si possono distinguere tre casi: P è esterno alla parabola Ci sono due rette tangenti per P P appartiene alla parabla C’è una sola retta tangente per P P è interno alla parabola Non esistono rette tangenti per P

Posizioni reciproche di una retta e una parabola Per trovare le equazioni delle rette tangenti dobbiamo: scrivere l’equazione della retta che passa per in questa equazione m è il valore incognito che deve essere trovato affinché la retta sia tangente alla parabola; scrivere il sistema tra l’equazione della parabola e della retta; trovare l’equazione risolvente del sistema imporre che il discriminante di questa equazione sia uguale a zero

Posizioni reciproche di una retta e una parabola ESEMPIO Data la parabola di equazione vogliamo determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola passanti per il punto Scriviamo il fascio di rette di centro P: cioè Mettiamolo a sistema con l’equazione della parabola: Eliminiamo la variabile y e ricaviamo l’equazione risolvente: Affinché la retta sia tangente alla parabola, il determinante dell’equazione deve essere nullo: da cui In corrispondenza ai due valori di m si trovano le equazioni delle tangenti

Posizioni reciproche di una retta e una parabola Nel caso in cui appartenga alla parabola, il coefficiente angolare della retta tangente si può calcolare con la formula: se la parabola è del tipo se la parabola è del tipo

Posizioni reciproche di una retta e una parabola ESEMPIO Data la parabola di equazione , troviamo l’equazione della retta tangente nel suo punto : Abbiamo che: La retta tangente ha equazione: