dal libro di Babai & Frankl: Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science Grafi di Ramsey Due costruzioni esplicite Limitazioni sulle “intersezioni” Lezione 7

Grafi di Ramsey Voglio un grafo su n nodi che non contiene ne una cricca di t nodi ne un insieme indipendente di t nodi, per t dato. Quale è il massimo n per cui è possibile? Dato t, quale è il massimo n per cui possiamo colorare gli archi di Kn, con 2 colori, evitando Kt monocromatica. Quato vale R2(t)?

G G Grafo Potenza IS2 IS4 K3 K9 n nodi n2 nodi t-cricca t2-cricca tutti gli archi IS2 G K9 G K3 IS4 Esercizio n2 nodi t2-cricca n nodi t-cricca

Grafo Potenza R2(3) ≥ 5 R2(9) ≥ 25 R2(t) ≥ t  R2(t2) ≥ t2

Costruzioni Esplicite Polinomiali Per ogni  c'è una costruzione da un t “ iniziale” in poi Costruzioni Esplicite Polinomiali Vogliamo costruire un grafo di Ramsey tale che R2(t) ≥ t G G2 𝐺 2 𝑖 G4 ... grafo iniziale Metodo Probabilistico: R2(t) ≥ 2(t/2) (il grafo iniziale esiste) 𝑅 2 𝑡 𝑖𝑛𝑖 ≥ 𝑡 𝑖𝑛𝑖 α 𝑅 2 𝑡 ≥ 𝑡 α 𝑅 2 𝑡 ≥ 𝑡 α ⇒ 𝑅 2 𝑡 2 𝑖 ≥ 𝑡 α 2 𝑖 = 𝑡 2 𝑖 α

Multilinearizzazione Siano p1 ,…, pm polinomi di grado al più d in n variabili e linearmente indipendenti in F2 xat =xa Dimostrazione: Esercizio Quanti ne possono esistere? non più di 𝑃 𝑛 𝑑 :=  𝑛 𝑑  +  𝑛 𝑑−1  +⋯+  𝑛 0 

Quanti insiemi posso costruire? Ray-Chaudhuri – Wilson Teorema RW (mod p) Siano S1,…,Sm  {1,…, n} tali che |Si  Sj| ∈ D (mod p) |Si|  D (mod p) dove D = {1 ,..., d} Esempio: D={0,1} and p =2 → Oddtown Quanti insiemi posso costruire? non più di 𝑃 𝑛 𝑑 :=  𝑛 𝑑  +  𝑛 𝑑−1  +⋯+  𝑛 0 

multilinearizzazione Teorema RW (mod p) Siano S1,…,Sm  {1,…, n} tali che |Si  Sj| ∈ D (mod p) |Si|  D (mod p) dove D = {1 ,..., d} 0 siamo in F2 Dimostrazione: Si  vi e quindi |Si  Sj|  vi • vj |Si  Sj| ∈ D  (vi • vj – 1) ⋯ (vi • vj – d) = 0 pi(vj) polinomi linearmente indipendenti multilinearizzazione non più di 𝑃 𝑛 𝑑 :=  𝑛 𝑑  +  𝑛 𝑑−1  +⋯+  𝑛 0 

Teorema RW (uniforme) non più di Siano S1,…,Sm  {1,…, n} tali che |Si  Sj| ∈ D |Si| = k dove k è una costante fissata Perchè posso farlo? Dimostrazione: RW (mod p) ⇒ RW (uniforme) Se k è in D togliamolo Per p > k |Si  Sj| ∈ D  |Si  Sj| ∈ D (mod p) non più di 𝑃 𝑛 𝑑 :=  𝑛 𝑑  +  𝑛 𝑑−1  +⋯+  𝑛 0 

Come Perchè superpoly(t) ≤ R2(t) ≤ Pn|D| ≤ Pn|D| Linear Algebra Bound 𝑃 𝑛 𝑑 =  𝑛 𝑑  +  𝑛 𝑑−1  +⋯+  𝑛 0  Perchè colora in base a intersezione: -1 (mod p) altrimenti Linear Algebra Bound a',b',... a,b,... nodi  𝑛 𝑝 2   𝑛 𝑝 2  t = Pnp-1 RW (mod p) S1,…,Sm t.c. |Si  Sj| ∈ D (mod p) per ij |Si| ∉ D (mod p)  m ≤ Pn,|D| RW (uniforme) S1,…,Sm t.c. |Si  Sj| ∈ D per ij |Si| = k per ogni i  m ≤ Pn,|D| 0,...,p-2, p-1, p,...,2p-1, … , p(p-1)-1 p2-tuple su n ≤ Pn|D| D={0,...,p-2} ≤ Pn|D| D={p-1,...,p(p-1)-1} ottimiziamo n superpoly(t) ≤ R2(t)

Ottimiziamo n superpoly(t) nodi cricche Prendiamo n = p3 𝑡=  𝑛 𝑝−1  𝑁=  𝑛 𝑝 2  Prendiamo n = p3 𝑁≈ 𝑝 𝑝 2 𝑡≈ 𝑝 2 𝑝 = 𝑝 2𝑝 𝑝≈ 2log𝑡 loglog𝑡 superpoly(t) 𝑡 log𝑡 loglog𝑡 ≈ 𝑝 4log𝑡 loglog𝑡 log𝑡 loglog𝑡 = 𝑝 𝑝 2 ≈𝑁

Cosa ricordare I polinomi linearmente indipendenti su F2 non sono mai “tanti” (multilinearizzazione). Se gli oggetti che studiamo sono riducibili a questi polinomi allora non possono essere “tanti”. Se le cardinalità delle intersezioni di insiemi sono “poche” allora anche gli insiemi sono “pochi” (Teoremi RW). Dai Teoremi RW otteniamo una costruzione superpolinomiale esplicita di grafi di Ramsey (pochi insiemi  sottografi monocromatici piccoli).