Trave Inflessa con deformazione a taglio: Il modello di Timoshenko q F m EI, A

Modello della trave con deformazione a taglio Cinematica Spostamenti w spostamento orizzontale v spostamento trasversale j rotazione (positiva antioraria) w = y j Deformazioni e = w’ = y j’ dilatazione lineare g = v’ + j scorrimento angolare Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio Legame costitutivo s = E e tensione normale E modulo di Young t = c G g tensione tangenziale G modulo a taglio c fattore di correzione a taglio Risultanti t t g > 0 I momento di inerzia A area Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio Equilibrio M’ = T T’ = -q In definitiva si ottiene: EI j’’ = c GA (v’ + j) - q = c GA (v’’ + j’) q T M+dM M T+dT EI j’’’ = - q EI j’’ = c GA (v’ + j) Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio Soluzione analitica q F m EI, A EI j’’’ = - q EI j’’ = c GA (v’ + j) v(0) = 0 j(0) = 0 M(L) = m T(L) = F Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio In definitiva Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio Condizioni al contorno v(0) = 0 j(0) = 0 M(L) = m T(L) = F Trave con deformazione a taglio

Perché esiste il fattore di correzione a taglio? Tensioni nella trave: s tensione normale , t tensione tangenziale Equilibrio locale in assenza di forze di volume: Tenendo conto che s = E e = y E j’, si ha: Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio t = c G g Tensione tangenziale da legame costitutivo Tensione tangenziale da equilibrio Emergono tensioni tangenziali inaccettabili Distribuzione ottimale Trave tensioni tangenziali da equilibrio tensioni tangenziali da legame costitutivo Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio Sezione rettangolare Risultante delle tensioni tangenziali da legame ………… da equilibrio Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio Energia associata alle tensioni tangenziali: da legame Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio Energia associata alle tensioni tangenziali: da equilibrio Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio Eguagliando le energie si ottiene: Trave con deformazione a taglio

Trave con deformazione a taglio Energia potenziale flessione taglio Eulero-Bernoulli (v’ + j = 0) flessione Trave con deformazione a taglio