Alcuni modelli probabilistici La distribuzione di Bernoulli Si consideri un esperimento caratterizzato da una sola estrazione ed il cui risultato possa essere di due tipi soltanto: successo-insuccesso Distribuzione di probabilità di massa (PMF) della variabile x Media e varianza

La distribuzione Binomiale Si consideri una sequenza di esperimenti di Bernoulli, ipotizzando che i risultati degli esperimenti siano mutuamente indipendenti e che la probabilità di successo rimanga inalterata durante la sequenza. Es: Dimensionamento opera di difesa fluviale con vita economica valutata in 30 anni. Il manifestarsi o meno, in ciascun anno, di una portata maggiore o uguale a quella di progetto rappresenta di fatto una sequenza di 30 esperimenti (uno per anno), posto che i valori della portata massima annuale siano fra loro indipendenti e che la probabilità di successo p (successo=superamento della portata di progetto) rimanga inalterata durante i 30 anni. Consideriamo adesso per semplicità ad esempio n=3 esperimenti in ciascuno dei quali la probabilità di successo sia uguale a p. Indichiamo con Y il numero di successi in una sequenza di n=3 esperimenti Y=numero di successi su n esperimenti

La distribuzione Binomiale Consideriamo il caso Y=0 Consideriamo il caso Y=1

La distribuzione Binomiale Ogni singola sequenza rappresenta un evento di probabilità pari a D’altronde l’evento Y=1 è rappresentato ugualmente dalla Seq. 1 o dalla seq. 2 o dalla seq. 3, quindi

La distribuzione Binomiale Consideriamo il caso Y=2 Ogni singola sequenza rappresenta un evento di probabilità pari a D’altronde l’evento Y=2 è rappresentato ugualmente dalla Seq. 1 o dalla seq. 2 o dalla seq. 3, quindi

La distribuzione Binomiale Consideriamo il caso Y=3 Tali risultati sono sintetizzabili in: Coefficiente binomiale Ovvero, per un generico n intero: 0≤p≤1 y=1,2,….,n

La distribuzione Binomiale La variabile Y è la somma di n variabili X, ciascuna delle quali rappresentativa di un esperimento di Bernoulli. Per cui la media e la varianza di Y possono essere calcolate come:

La distribuzione Geometrica La distribuzione binomiale consente di rispondere alla domanda «Quanti successi Y avremo su n esperimenti Bernoulliani?». D’altronde può essere di interesse anche chiedersi in termini probabilistici «dopo quanti esperimenti Bernoulliani vi sarà il primo successo?» Sia N il numero di esperimenti che precedono il primo successo; sia p la probabilità di successo al generico esperimento; gli esperimenti siano sempre indipendenti. Il primo successo arriva all’ennesimo esperimento quando è preceduto da n-1 insuccessi. La probabilità di osservare n-1 insuccessi e un successo subito dopo è pari a (1-p)n-1p. Pertanto la probabilità di avere il primo successo all’ennesimo esperimento è: Funzione di probabilità di massa

La distribuzione Geometrica La funzione di probabilità cumulata è: Rischio idrologico Formula della somma di una progressione geometrica Rappresenta la probabilità che il successo si manifesti in un numero N≤n di anni, Es. probabilità che almeno un esondazione si verifichi nei prossimi n anni Media e varianza

La distribuzione Geometrica Media valore atteso del numero di esperimenti che precedono il primo successo esperimenti sono ipotizzati indipendenti gli uni dagli altri valore atteso del numero di esperimenti che intercorrono fra due successi consecutivi Tempo di ritorno: numero medio di anni che intercorre tra due successive manifestazioni di un evento

La distribuzione di Poisson Si consideri la distribuzione Binomiale dove n rappresenta il numero di esperimenti, p la probabilità di avere successo nel generico esperimento e con x il numero di successi su n esperimenti: Immaginiamo adesso che ogni esperimento sia cadenzato nel tempo (ad esempio ogni secondo). Dunque con n esperimenti si copre un determinato intervallo di tempo. Se, fermo l’intervallo di tempo complessivo, eseguiamo gli esperimenti con maggior frequenza, n tende ad aumentare e p a diminuire ma il loro prodotto, che rappresenta il valore atteso dei successi sull’intervallo di tempo complessivo, resta invariato. Posto si ha:

La distribuzione di Poisson Per n ->  Il termine si comporta come e quindi tende a 1

La distribuzione di Poisson Quindi per n ->  : Posto si ha: (numero di esperimenti -> tempo) Media e varianza

La distribuzione Esponenziale La distribuzione esponenziale corrisponde nel continuo alla distribuzione geometrica. Essa descrive il tempo intercorrente tra due eventi successivi. Indichiamo quindi con T il tempo intercorrente fra due eventi successivi. La probabilità che T ecceda un assegnato valore t equivale alla probabilità che nessuno evento si manifesti in tale intervallo. Quindi: probabilità che T ecceda un assegnato valore t nessuno evento si manifesta in tale intervallo con x=0

La distribuzione Esponenziale pertanto Media e varianza