Finanza Computazionale Pricing dei derivati e relative applicazioni in Visual C++ Modello Matematico, soluzione dell’equazione di Black Scholes tramite l’utilizzo del semigruppo di evoluzione temporale. Dr Silvestro Fassari Dr Fabio Rinaldi Siena 26 / 09 / 2006

Sommario L’equazione di Black Scholes Analogia con quella del calore Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane I calcolatori ed il loro funzionamento

Presentazione E’ ben noto che negli ultimi 15-20 anni il settore della finanza relativo al trading dei cosiddetti prodotti derivati ha visto una crescita per la cui descrizione l’aggettivo “ esponenziale “ rappresenta un’approssimazione per difetto. Quasi ogni giorno nuovi derivati finanziari vengono creati dai cosiddetti “quantitative analysts“ delle maggiori istituzioni bancarie internazionali per essere collocati presso una clientela sempre più ampia. Parallelamente a questa spettacolare crescita del mercato finanziario dei derivati, si è avuta l’espansione di una nuova disciplina teorica che sta alla base di tutto il settore. Per definirla sono stati coniati vari termini, ovviamente inglesi: “mathematical finance“, “quantitative finance“, “financial engineering“. E’ nostra intenzione introdurre gli studenti di questo corso a livello Master all’apparato matematico-informatico necessario ai fini del “pricing” di opzioni/warrants di tipo ”vanilla”, sia di stile europeo che americano. Tali opzioni sono state le prime ad essere introdotte sui vari mercati e le prime ad essere state oggetto di un’accurata analisi quantitativa a partire dall’ormai celeberrimo contributo di Black-Scholes.

Presentazione L’approccio di tipo probabilistico; Dal punto di vista matematico, si possono distinguere due possibili approcci al problema del pricing delle opzioni: Per ciascuno dei due si potrebbero citare vari autori estremamente rappresentativi. Tuttavia, per ragioni di brevità, al primo ci viene spontaneo associare i nomi di Karatzas e Schreve, mentre al secondo quello di Wilmott. Tuttavia, è fondamentale sottolineare che le due impostazioni non sono affatto distanti o contrapposte tra loro. Il collegamento tra i due è rappresentato dal concetto, essenziale dal nostro punto di vista, di semigruppo di evoluzione temporale. Quest’ultimo, come ben sanno gli studenti di fisica matematica, consente di rappresentare in forma integrale la soluzione di un’equazione differenziale alle derivate parziali, la più celebre tra le quali risulta essere quella del calore. L’equivalenza tra la soluzione ottenuta per mezzo del semigruppo di evoluzione e quella fornita dalla descrizione probabilistica è provata dalla cosiddetta formula di Feynman-Kac. Ciò è stato ben compreso da Garman, uno dei due famosi creatori del modello modificato di Black-Scholes per le opzioni sui cambi, nel suo articolo “On a semigroup pricing theory”. L’approccio di tipo probabilistico; 2. L’approccio dal punto di vista delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE), di tipo essenzialmente fisico-matematico.

Presentazione I calcolatori sulle opzioni europee Il nostro contributo a questo corso si muove esattamente lungo questa linea guida: pur tenendoci a distanza dai dettagli matematici relativi all’analisi funzionale, necessari a definire rigorosamente il concetto di semigruppo di evoluzione, mostreremo l’ utilizzazione di quest’ultimo nel caso delle opzioni vanilla europee. Dobbiamo comunque distinguere i calcolatori in quattro gruppi, poiché sia l’architettura teorico matematica, che quella informatica, li differenzia l’uno dall’altro in maniera sostanziale. I calcolatori sulle opzioni europee Quelli sulle opzioni americane I calcolatori sulle volatilità implicite per le opzioni europee e per gli spreads I calcolatori grafici che servono da supporto per tutti gli altri

L’equazione di Black Scholes E’ importante premettere che le regole del calcolo differenziale stocastico necessarie a determinare le derivate di un processo stocastico, differiscono in maniera sostanziale da quelle del calcolo differenziale ordinario. Questa situazione può essere facilmente riassunta per mezzo della tabella sottostante dX dt

L’equazione di Black Scholes Il cammino aleatorio che fornisce l’andamento temporale di un titolo finanziario contenente una componente di rischio viene descritto dalla formula differenziale dS/S = μ dt + σ dX ovvero dS = μ S dt + σ S dX dove μ rappresenta la misura del tasso medio di crescita e σ è la deviazione standard dei rendimenti

L’equazione di Black Scholes Come conseguenza di quanto detto otteniamo la celeberrima formula di Ito df = per ogni funzione f (S,t) derivabile almeno due volte, dove S è una variabile aleatoria e t è il tempo Nell’equazione soprastante a sinistra del segno + abbiamo la componente stocastica del differenziale della funzione, mentre a destra quella deterministica

L’equazione di Black Scholes Copertura del portafoglio ( Hedging ) Concentriamo ora la nostra attenzione sul problema della copertura di un portafoglio dal rischio per pervenire all’equazione di Black-Scholes applicando il Lemma di Ito. Consideriamo un portafoglio Π costituito da un titolo azionario S senza dividendo, e da un numero da definire di opzioni put europee aventi S come sottostante. Come sappiamo, quest’ultime svolgono una funzione “ assicurativa “ in caso di caduta del titolo. Possiamo formalizzare tutto ciò attraverso la formula Π = S + Np ∙ P( S, t ) Calcoliamo il differenziale stocastico di tale portafoglio dΠ = dS + Np ∙ dP

L’equazione di Black Scholes Applicando il Lemma di Ito alla funzione Π(S, t) otteniamo Tenendo conto del fatto che vale: dS = μ S dt + σ S dX, la formula precedente diviene Al fine di conseguire l’eliminazione della componente di rischio, vale a dire il termine aleatorio dX, si deve imporre che

L’equazione di Black Scholes Osservazione: Ciò equivale a dire che il numero di Puts nel portafoglio deve essere pari all’antireciproco del delta che ricordiamo rappresenta la derivata parziale rispetto a S Il portafoglio Π è ora equivalente ad una attività finanziaria priva di rischio che cresce al tasso r . Dopo una serie di calcoli algebrici, ed in ragione dell’osservazione appena fatta, perveniamo alla famosissima equazione di Black-Scholes A tale equazione differenziale alle derivate parziali va associata la condizione finale P(S,T) = max( 0, E - S ) = [ E – S ]+

L’equazione di Black Scholes Il grafico della condizione finale nella precedente diapositiva è descritto dalla spezzata

Analogia con l’equazione del calore Una delle più celebri equazioni della fisica matematica è quella del calore Evitando tutti i tecnicismi matematici attinenti all’analisi funzionale e riguardanti la scelta degli spazi delle funzioni f, usando la nota trasformata di Fourier l’equazione soprastante diviene

Analogia con l’equazione del calore La soluzione di tale equazione ( ODE a variabili separabili ) è semplice: valida Vogliamo ora mettere in risalto il ruolo giocato dalla funzione esponenziale, che possiamo ribattezzare “ funzione d’evoluzione temporale “

Analogia con l’equazione del calore Vi sono due aspetti distinti riguardanti il comportamento di quest’ultima rispetto a p e a t separatamente. Se teniamo p fisso e variamo t, la funzione così ottenuta ha l’andamento del tipo exp( -ct ), con c ≥ 0, poiché la funzione è quadratica in p. Varrà in particolare, la proprietà di semigruppo g( p, s+t ) ∙ f( p ) = g( p, s) ∙ g( p, t) ∙ f( p ) , Viceversa tenendo t fisso e variando p, si ottiene una Gaussiana. La figura della prossima diapositiva, dove per semplicità abbiamo supposto σ = √2, mostra chiaramente l’evoluzione globale della funzione in esame.

Analogia con l’equazione del calore Rappresentazione grafica in p e t

Analogia con l’equazione del calore Per pervenire alla soluzione scritta nella variabile originale x , si deve utilizzare ora la trasformata inversa di Fourier, per cui l’evoluzione temporale non è più descritta attraverso la semplice moltiplicazione per una funzione bensì per mezzo di un operatore integrale con nucleo uguale a: A questo punto, indipendentemente dalla rappresentazione usata, il semigruppo ( operatore di evoluzione temporale ) può essere rappresentato come segue:

Analogia con l’equazione del calore Vogliamo ora mostrare la stretta analogia tra l’equazione del calore e quella di B-S. Consideriamo sempre il caso dei Puts europei su un sottostante privo di dividendo; il primo passo è quello di trasformare la B-S, che è di tipo backward ( condizione finale ), in una forward ( condizione iniziale ). Ciò viene conseguito ponendo t’=T-t ( tempo alla scadenza ) dove l’operatore differenziale di B-S Hα è più complesso di quello di Laplace, vale a dire con α = 2r/σ2 .

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S Si può verificare che l’operatore differenziale di B-S Hα introdotto in precedenza è equivalente a quello differenziale del tipo con x = ln(S). Dalla formula precedente possiamo ricavare un caso particolarmente interessante con α = 2, ovvero r = σ 2 , per il quale otteniamo semplicemente il seguente operatore vale a dire esattamente l’operatore differenziale del calore più il termine costante.

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S In base alle affermazioni fatte nella sezione precedente possiamo concludere che il semigruppo d’evoluzione temporale è dato da con il nucleo integrale gaussiano precedentemente introdotto moltiplicato dall’esponenziale temporale Tale semigruppo agisce sul payoff opportunamente trasformato in termini della variabile x. Nel caso generale in cui α ≠ 2 la presenza del termine con la derivata prima ( drift ) produce semplicemente una traslazione nel nucleo gaussiano

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S Riscriviamo ora il semigruppo d’evoluzione temporale in termini delle variabili finanziarie La soluzione dell’equazione di B-S è quindi

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S Dopo una serie di calcoli piuttosto tediosi, ripristinando i parametri originali r e σ , perveniamo alla ben nota soluzione: dove

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S Nel caso di un warrant europeo di tipo put, bisognerà tenere conto di due ulteriori parametri: l’eventuale tasso di cambio rex, che converte la valuta del sottostante in quella del warrant se queste risultano diverse; il cosiddetto divisore Div, che indica il numero di pezzi in cui viene suddivisa l’intera opzione; questo può essere un multiplo di uno nel caso di sottostanti con valore molto alto, è il caso degli indici azionari, oppure sottomultiplo di uno se viceversa i sottostanti hanno valori piccoli come nel caso delle valute. La soluzione diviene quindi

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S Osservazione: La seconda espressione nella diapositiva N° 21 suggerisce l’utilizzo del semigruppo anche per opzioni put europee aventi payoff diverso da quello standard. Per esempio citiamo la nota cash-or-nothing put P(S,T) = B ∙ Η(E-S) dove T è il tempo alla scadenza, il cui grafico è

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S Osservazione: La seconda espressione nella diapositiva N° 21 mostra che il valore dell’opzione non dipende dal tasso di crescita μ del sottostante, ma solo da r e σ. E’ fondamentale rendersi conto che il nucleo integrale del semigruppo è una nuova funzione di densità di probabilità diversa da quella di S. Il risultato dell’azione del semigruppo può quindi essere interpretato da un punto di vista probabilistico come il valore d’aspettazione del payoff, attualizzato con tasso r, rispetto a questa nuova funzione di densità.

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S Molti titoli finanziari, per esempio le azioni, pagano il dividendo; quest’ultimo rappresenta una parte degli utili maturati dalla società pagata agli azionisti. E’ importante notare che le previsioni sul flusso futuro dei dividendi sono in qualche maniera contenute nel prezzo attuale del titolo. Il valore di un’opzione europea basata su tale bene è influenzato dal pagamento del dividendo, e quindi il modello di Black-Scholes dovrà essere modificato tenendo conto della presenza di questo parametro aggiuntivo. La struttura sia quantitativa che temporale di questi pagamenti gioca un ruolo cruciale nella scelta del modello stesso. Se i pagamenti del dividendo dovessero avvenire ad intervalli di tempo regolari, allora si dovrà discretizzare l’andamento di quest’ultimi. Tuttavia limiteremo la nostra attenzione al caso in cui il dividendo sia costante e venga pagato in maniera continua. Ciò è ragionevole poiché:

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S nel caso di indici azionari, i pagamenti sono così frequenti da potersi ritenere continui; se il sottostante è una valuta estera e la relativa opzione è a breve termine, allora il dividendo rappresenta il tasso d’interesse a breve su quest’ultima. Con queste considerazioni preliminari il processo stocastico introdotto precedentemente diventa ora dS = ( μ – D0 )S dt + σS dX L’analisi relativa alla copertura del portafoglio va modificata ridefinendo Π nel modo seguente dΠ = dS + Np ∙ dP + D0 S dt

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S Da ciò si perviene alla seguente equazione differenziale alle derivate parziali I primi a pervenire a questa PDE furono Garman e Kohlhagen nel 1983 studiando le opzioni il cui sottostante è un tasso di cambio. Per ottenere la soluzione possiamo utilizzare nuovamente il formalismo dei semigruppi introdotto nel caso senza dividendo modificando opportunamente il generatore del semigruppo

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S dove con α definito come in precedenza e Svolgendo analoghi passaggi perveniamo alla formula per il nuovo nucleo:

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S Applicando tale operatore al payoff perveniamo alla soluzione proposta da Garman e Kohlhagen per le opzioni europee il cui sottostante è il cambio tra due valute dove Nel caso di warrants la formula precedente viene moltiplicata per rex /Div

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S Fino ad ora abbiamo considerato opzioni e warrants di tipo put. Per giungere alle formule per quelli di tipo call ci avvaliamo della nota “ put-call parity “ che tiene conto della presenza del dividendo, in assenza del quale il sottostante non viene attualizzato. Mostriamo ora una serie di grafici di opzioni, ottenuti utilizzando il nostro software, che mettono in risalto l’effetto prodotto dal dividendo.

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S La prima figura è relativa ad un put ( curva continua in turchese ) in assenza di dividendo. La figura in basso si riferisce al medesimo put con r = D0= 0.05 ( Future ) L’intersezione della curva in alto con il payoff ( in nero ) è più vicina allo strike rispetto a quella della seconda.

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S La differenza precedentemente descritta è più marcata nel caso dei calls, per i quali in assenza di dividendo la curva è asintotica al payoff da sopra, mentre in presenza del dividendo essa lo interseca per poi mantenersi al di sotto per valori largamente “ in the money “

Il semigruppo di evoluzione temporale per la soluzione dell’equazione di B-S Un’applicazione particolare del modello di Garman-Kohlhagen è costituita da opzioni sui futures, molto utilizzate sulle borse anglosassoni. Nel caso del future abbiamo Quindi prendendo come nuova variabile F, l’equazione di Black-Scholes è quella in cui D0 = r ; dunque abbiamo nel caso di un put il che implica che il generatore del semigruppo diviene H(α,0) Da cui si perviene facilmente alla soluzione per il put europeo e alla sua analoga per il call

L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane E’ noto che il valore di una opzione di stile americano è maggiore o uguale a quello della sua omologa europea per via del fatto che la prima può essere esercitata anche prima della sua scadenza. Abbiamo visto nelle figure della sezione precedente che le opzioni put europee, sia in assenza che in presenza di dividendo, hanno un grafico che si porta al di sotto del payoff quando sono largamente “ in the money “. Si può dimostrare che, se fosse possibile l’esercizio anticipato, una tale situazione offrirebbe un’opportunità di arbitraggio che garantirebbe un immediato guadagno pari alla differenza tra il valore del payoff E - S e quello del put P( S, t ). Dal momento che tali opportunità non sono consentite dal nostro modello, è chiaro che nel caso di un put americano deve valere P( S, t ) ≥ ( E – S )+

L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane Da queste considerazioni si comprende come il modello matematico per tali opzioni sia necessariamente più complesso, in quanto per ciascun valore di S e t, oltre a determinare il valore dell’opzione si dovrà valutare se quest’ultima debba essere esercitata o meno. Il problema diventa quindi del tipo “ a frontiera libera “ ( free boundary problem ). Nel caso di un put americano tale frontiera è rappresentata dal punto Sf ( t ), detto anche valore critico del sottostante ( critical stock price ), che andrebbe determinato risolvendo in maniera iterativa, per ogni t fissato, l’equazione Pa ( S, t ) = E – S

L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane I vincoli che determinano il problema della valutazione del put americano in maniera univoca sono i seguenti: il valore del put deve essere maggiore o uguale di quello del rispettivo payoff; l’equazione di Black-Scholes viene sostituita da una disequazione; il delta dell’opzione deve essere una funzione continua di S. Il primo vincolo annulla ogni profitto proveniente da attività d’arbitraggio collegate all’esercizio anticipato. A questo punto, o il valore dell’opzione è pari a quello del payoff, e quest’ultima dovrebbe essere esercitata, oppure laddove supera il payoff, dovrà soddisfare l’equazione di Black-Scholes. Le due richieste combinate insieme portano ad una disequazione che è esattamente il nostro secondo vincolo.

L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane E’ immediato verificare che la terza condizione implica la continuità dell’opzione stessa come funzione di S, il che, per un intervallo di tempo finito, elimina la possibilità per qualsiasi portafoglio di opzioni di realizzare un profitto immediato senza rischio. In particolare, la continuità nel punto Sf ( t ) è espressa esattamente dall’equazione della diapositiva N° 37. Il terzo requisito imporrà in particolare che nel punto critico Sf ( t ) le derivate sinistra e destra dovranno coincidere. A sinistra del punto in esame è chiaramente pari a -1, poiché per la definizione di valore ottimale d’esercizio, l’opzione, in tale regione, coincide con il payoff; quindi dovremo avere Riprendendo l’argomento di copertura visto per il put europeo e applicando i vincoli imposti dal modello giungiamo alla disequazione di Black-Scholes seguente

L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane Riassumendo il problema del put americano può essere descritto nel modo seguente: per ogni istante di tempo t dobbiamo dividere il semiasse S ≥ 0 in due regioni, la prima 0 ≤ S < Sf ( t )., e l’altra per S > Sf ( t ). Nella prima, dove risulta ottimale esercitare l’opzione vale E - S ; viceversa nella seconda, dove non conviene esercitarla deve valere Quindi oltre all’ovvia condizione P( Sf ( t ), t ) =[ E – Sf ( t ) ]+ , nel punto critico se ne deve imporre una aggiuntiva In conclusione possiamo dire che la prima determina il valore del put sul punto di frontiera, mentre la seconda la posizione di quest’ultimo

L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane La disequazione della diapositiva N° 39, con relative condizioni al contorno, non può essere risolta analiticamente neanche in termini di funzioni speciali. Ed è per questa ragione che è necessario ricorrere al cosiddetto metodo delle differenze finite. Quest’ultimo rappresenta uno strumento potente e flessibile che, se applicato correttamente, consente di pervenire a soluzioni numeriche molto accurate per numerose equazioni differenziali alle derivate parziali, provenienti da problemi inerenti alla fisica, ma anche, come nel nostro caso, alla finanza quantitativa. L’idea di tale metodo sta nel suddividere il quadrante positivo del piano in una griglia finita i cui punti sono della forma ( n δx, m δt ), dove m ed n sono numeri naturali. Ci interesseremo quindi di valutare la funzione u( x, t) esclusivamente su tali punti. Scriveremo allora

L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane Dopo aver discretizzato gli operatori differenziali ( secondo procedure numeriche precise ), possiamo pervenire alla seguente disequazione per il put dove

L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane La figura mostra chiaramente il meccanismo di funzionamento della procedura numerica descritta nella diapositiva precedente.

L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane Questo algoritmo può essere considerato come un cammino aleatorio su un reticolo, dove rappresenta la probabilità che il puntatore si trovi nella posizione n al passo temporale di indice m. I coefficienti denotano le probabilità di transizione dalle tre posizioni con indice temporale m + 1 a quella con indice spaziale n e temporale m ( cammino all’indietro ). Conseguentemente le seguenti condizioni sui tre coefficienti dovranno essere soddisfatte per ogni n: Supponiamo ora che il numero di intervalli sull’asse S sia N+. Allora la seconda condizione è vera se

L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane Ponendo δt = T / M , dove T rappresenta l’estremo superiore temporale, la precedente disequazione diventa da cui si ha Per cui il numero d’intervalli sull’asse temporale deve soddisfare quest’ultima, la quale fornisce la condizione di stabilità dell’algoritmo. Devono valere inoltre le seguenti condizioni al contorno:

L’equazione di Black-Scholes per le opzioni americane La condizione finale ( alla scadenza ) è: La disuguaglianza della diapositiva N° 42, insieme alle tre condizioni appena imposte, suggerisce che ad ogni passo dell’algoritmo venga effettuato il seguente confronto La soluzione approssimata per il put è quindi data dall’insieme di valori La procedura per il call è sostanzialmente analoga, a parte le opportune modifiche sulle condizioni al contorno e sul payoff.

I calcolatori ed il loro funzionamento Il calcolatore Options consente all’utente di ottenere simultaneamente il valore teorico dell’opzione call e dell’opzione put di stile europeo (esercitabili solo alla scadenza) aventi lo stesso prezzo d’esercizio (strike) e la stessa scadenza. Oltre ai suddetti valori teorici il calcolatore fornisce anche i rispettivi delta (variazione del valore dell’opzione per una variazione unitaria del sottostante) e gamma (variazione del delta dell’opzione per una variazione unitaria del sottostante). Abbiamo considerato il caso in cui il titolo sottostante sia l’indice SMI (Swiss Market Index), il più importante della borsa svizzera, quotato in Franchi svizzeri ( CHF ). Siamo interessati a conoscere il valore teorico del warrant call e del warrant put quotati in euro, nonché i rispettivi delta e gamma, sulla base dei dati seguenti:

I calcolatori ed il loro funzionamento Consideriamo ora il caso illustrato nella figura accanto, in cui siamo interessati a conoscere il valore del Call e del Put sul tasso di cambio tra euro e dollaro. Per tali opzioni sui cambi il modello matematico è rappresentato da una modificazione del modello di Black-Scholes (modello di Garman-Kohlhagan). Dobbiamo porre la nostra attenzione sul fatto che il sottostante è il valore dell’euro quotato in dollari, mentre l’opzione è denominata in euro. Inoltre, a differenza del caso precedente nel quale il dividendo pagato dal titolo sottostante era nullo, in questo caso andrà immesso il tasso di interesse a breve sull’euro, che può essere considerato come il dividendo ricevuto dall’investitore americano che apre un deposito in euro. Nell’esempio in figura dobbiamo far notare che nel caso di warrants basati sui cambi, il prezzo d’esercizio è un valore numerico “piccolo”, per es. EUR/USD = 1.30. Quindi, vi è la necessità di assemblare un cospicuo numero di opzioni al fine di ottenere un warrant con una quotazione significativa.

I calcolatori ed il loro funzionamento Il calcolatore consente altresì di prezzare opzioni europee aventi come sottostante il valore “ Future “ di un indice o un’altra attività finanziaria e non il valore Spot. Basta inserire nei parametri, in luogo del più recente prezzo spot del sottostante, proprio il valore del Future e eguagliare il dividendo con il tasso di interesse a breve. Nella figura viene illustrato il caso del Future a 340 giorni basato sull’indice S&P/MIB.

I calcolatori ed il loro funzionamento Come già illustrato in dettaglio nella sezione dedicata al modello matematico di Black-Scholes per le opzioni americane, si presentano le differenze seguenti: Dal momento che un’opzione di tipo americano può essere esercitata in qualsiasi momento anche prima della scadenza, il modello matematico è ben più complesso in quanto non fornisce una soluzione definita da una formula esplicita; La soluzione viene “ approssimata “ tramite un algoritmo numerico; A differenza delle opzioni europee, non esiste una relazione matematica che connetta i valori del call e del put ( per gli esperti, la ben nota “ put-call parity “ ).

I calcolatori ed il loro funzionamento Riprendiamo il caso del put sull’indice svizzero SMI. La schermata del calcolatore Amput appare nel modo seguente: Bisogna notare che il valore del warrant di stile americano è maggiore di quello di stile europeo  0.068655 > 0.068404. Ciò è la conseguenza matematica del fatto che il primo conferisce al detentore un diritto in più rispetto al secondo, vale a dire la possibilità dell’esercizio anticipato.

I calcolatori ed il loro funzionamento Nel caso di warrants basati su indici, è consigliabile dividere il prezzo d’esercizio (strike), il sottostante ed il divisore per il numero di warrants corrispondenti ad un’unità dell’indice. Per esempio, nel caso di un warrant sull’SMI (il principale indice svizzero) con lo strike a 5600 punti, il sottostante a 5900 ed il rapporto di 500:1, dobbiamo immettere la seguente terna di dati: Strike 5600:500 11.20 Sottostante 5900:500 11.80 Divisore 500:500 1

I calcolatori ed il loro funzionamento Esaminiamo il caso del warrant Put di stile americano sul cambio EUR/USD. Anche in questo esempio è opportuno notare che il valore del Put di stile americano è maggiore del suo analogo di stile europeo  1.46867 > 1.46346.

I calcolatori ed il loro funzionamento Nel caso di warrants basati sui tassi di cambio principali USD/CHF EUR/USD EUR/CHF EUR/GBP è consigliabile moltiplicare lo strike, il sottostante ed il divisore per 10. Per esempio, per il nostro warrant basato sul cambio EUR/USD con strike a 1.3, spot a 1.29 e divisore uguale a 0.01, dobbiamo immettere i dati seguenti: Strike 1.3x10 13 Sottostante 1.29x10 12.9 Divisore 0.01x10 0.1

I calcolatori ed il loro funzionamento Vogliamo ora fare un esempio sul call di stile americano. Riprendiamo l’esempio del warrant basato sull’indice svizzero SMI. Dopo aver immesso gli stessi parametri del Put di stile americano ed aver cliccato su Evaluate, si otterrà la seguente schermata: Anche in questo caso il valore del Call di stile americano è maggiore dell’analogo di stile europeo  0.733193 > 0.732690.

I calcolatori ed il loro funzionamento Come è ben noto agli specialisti, quando si vuole scommettere su un brusco aumento di volatilità di un titolo senza voler speculare sulla possibile direzione del suo corso, una strategia opportuna è quella di comprare un call ed un put aventi lo stesso strike e la stessa scadenza, ed il sottostante vicino allo strike. Tale combinazione è chiamata “straddle”. Il calcolatore speciale Straddle consente di conoscere direttamente il valore teorico della combinazione senza dover prima calcolare separatamente i valori del call e del put e successivamente addizionarli. Basta immettere i dati che vengono richiesti per i singoli warrants, come la volatilità, il tasso d’interesse ecc. Calcoliamo il valore di tale combinazione riprendendo l’esempio dei warrants di stile europeo basati sull’indice elvetico SMI:

I calcolatori ed il loro funzionamento Altre combinazioni di opzioni/warrants ben note ai professionisti sono i cosiddetti spreads. Tra questi ultimi molto importanti sono il Bullish Spread ed il Bearish Spread. Il calcolatore speciale Beaspread consente di determinare direttamente il valore teorico di ciascuna di queste due combinazioni senza dover calcolare separatamente il valore delle due opzioni componenti. Anche in questo caso è sufficiente immettere i soliti dati, volatilità, tasso d’interesse ecc.

I calcolatori ed il loro funzionamento La conoscenza del valore della volatilità implicita del titolo sottostante relativa all’opzione trattata è di fondamentale importanza, in quanto tale parametro non è quotato esplicitamente sul mercato. Il problema inverso della volatilità implicita non è risolubile analiticamente. Si dovrà quindi utilizzare un algoritmo iterativo per giungere ad un’accurata soluzione numerica. Questo sarà basato su una modifica di quello di Newton per migliorarne l’accuratezza

I calcolatori ed il loro funzionamento Come abbiamo visto nella diapositiva precedente, la conoscenza della volatilità implicita gioca un ruolo fondamentale nel trading di opzioni. Dal momento che oltre ai classici warrants call e put le istituzioni finanziarie iniziano ad offrire anche warrants che simulano una combinazione di tipo spread di warrants call o put, abbiamo ritenuto opportuno fornire un ulteriore calcolatore per determinare la volatilità implicita relativa ad un tale prodotto. Va notato innanzitutto che, a differenza dalla teoria, nella realtà, il comportamento di una combinazione spread di due opzioni call/put può discostarsi significativamente da quello di un tale prodotto “sintetico”, a causa della dipendenza della volatilità implicita dal prezzo d’esercizio, situazione graficamente descritta dal cosiddetto “ volatility smile “.

I calcolatori ed il loro funzionamento Osservazione: Proprio a causa della dipendenza della volatilità implicita dal prezzo d’esercizio, quella dell’opzione con strike minore E1 , può risultare ben diversa dalla volatilità dell’altra con strike maggiore E2. Ciò implica che il prodotto sintetico debba essere strutturato con una volatilità intermedia.

I calcolatori ed il loro funzionamento Volsmile Questo software grafico consente un confronto ancora più immediato tra quattro diversi warrants che differiscono soltanto per il prezzo d’esercizio e conseguentemente per i rispettivi prezzi. In primo luogo è necessario specificare se si tratta di opzioni Call o Put ( Scelta 1 o 2 ), dopodichè, nel caso in cui il numero di warrants è diverso da uno, otterremo un grafico con i quattro punti concentrati in una regione del rettangolo. E’ quindi consigliabile dividere anticipatamente i prezzi d’esercizio e il sottostante per il numero di warrants ( immettendo 1 come N° di Warrants nella relativa casella), al fine di ottenere una migliore distribuzione dei punti come nella figura relativa a quattro warrants put sull’indice svizzero SMI.