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OSCILLAZIONI

Moto periodico Per moto periodico intendiamo un moto che si ripete ad intervalli regolari di tempo. Per esempio il moto illustrato nell’esempio di seguito, che rientra fra quelli che abbiamo già visitato, è certamente un moto periodico: Vedremo nel seguito di studiare in dettaglio alcuni casi esemplificativi del moto periodico procedendo quindi verso lo studio delle cosiddette «oscillazioni» e delle grandezze fisiche che le caratterizzano e che sono propedeutiche allo studio dei fenomeni ondulatori

Altri esempi di moto periodico che ci sono familiari Il moto del pendolo

La vibrazione di una corda di violino

La rotazione della terra attorno al proprio asse

Il moto circolare uniforme

Il moto di una massa attaccata ad una molla

Il pendolo smette gradualmente di oscillare Nella realtà, molti dei moti periodici a noi noti sono solo approssimativamente periodici a causa dell’azione delle forze d’attrito che dissipano l’energia del moto Il pendolo smette gradualmente di oscillare La corda di violino smette di vibrare Etc… In questi casi il moto viene detto moto periodico smorzato Nel moto periodico ne la velocità ne l’accelerazione sono costanti (Nel caso del moto circolare uniforme lo sono ma solo in modulo)

Moto oscillatorio o vibratorio Se il moto va avanti e indietro lungo lo stesso percorso, viene detto: Moto oscillatorio o vibratorio Un ciclo completo del moto si chiama oscillazione o vibrazione Il tempo speso per effettuare una oscillazione completa è denominato Periodo T La frequenza f è il numero di oscillazioni che occorrono nell’unità di tempo Quindi: f = 1 / T La posizione in cui nessuna forza agisce sul corpo è denominata posizione di equilibrio L’elongazione (lineare o angolare) è la distanza (lineare o angolare) dalla posizione di equilibrio ad ogni istante L’ampiezza A del moto è l’elongazione massima

L’oscillatore armonico Se una particella vibra (oscilla) attorno ad una posizione di equilibrio sotto l’azione di una forza proporzionale alla elongazione, il suo moto viene detto armonico Questa forza di richiamo è sempre diretta verso la posizione di equilibrio e dà origine al tipo più semplice di moto armonico L’esempio classico di oscillatore armonico lo abbiamo già visitato ed è costituito da una massa m legata ad una molla priva di massa e di costante elastica k, disposta su un piano senza attrito. Supponendo che il moto avvenga lungo x e che la posizione di riposo coincida con l’origine O, quando la massa di trova su un punto di coordinata x la forza esercitata su di essa dalla molla è data dalla: F = −kx

Ricordiamo che il segno negativo indica il fatto che se l’elongazione è nel verso positivo dell’asse x, la forza della molla agisce nel verso negativo, e viceversa, cioè la forza è diretta sempre verso la posizione di equilibrio. O x

F = m a F = –k x a = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 F = ma  –k x = m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 Applichiamo la II Legge di Newton a questo sistema: F = m a per la forza F scriveremo: F = –k x e per l’accelerazione a scriveremo: a = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 Quindi: F = ma  –k x = m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + k x = 0

m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + k x = 0 Questa equazione differenziale: è l’equazione del moto di un oscillatore armonico. Questa è una equazione di grande importanza in fisica, sia perché interviene in ogni problema connesso a vibrazioni meccaniche, sia perché un gran numero di fenomeni fisici sono governati da questa stessa equazione in acustica, in ottica nei circuiti elettrici, etc…

Hooke: Quando un solido viene deformato, esso si oppone alla La legge di Hooke ha una sua formulazione generale, di cui il caso della molla è semplicemente un caso particolare: Hooke: Quando un solido viene deformato, esso si oppone alla deformazione con una forza proporzionale all’entità della deformazione stessa, purché questa non sia troppo grande. Quando questo limite (che dipende dalle caratteristiche di elasticità del solido) viene superato, si passa dal comportamento elastico al comportamento plastico: un corpo che subisce una deformazione elastica tende a riacquisire la sua forma, un corpo che subisce una deformazione plastica, rimane deformato. Se su un corpo soggetto a deformazione plastica continua ad insistere una forza esterna superiore ad un certo limite, il corpo può andare incontro alla frattura definitiva.

F è la resistenza offerta dal solido Nel caso unidimensionale, la Legge di Hooke si riduce come abbiamo già visto, alla semplice formula che abbiamo già visitato: F = −k x dove abbiamo visto che: x rappresenta la deformazione, cioè l’allungamento o la compressione rispetto alla posizione non deformata. F è la resistenza offerta dal solido k è la costante elastica del solido Il segno negativo tiene conto del fatto che F si oppone alla deformazione

Pertanto, un solido deformato elasticamente possiede una certa energia potenziale U data dalla relazione: U = ½ k x2 Per il solido non deformato (x = 0) l’energia potenziale è minima e quindi x = 0 è una posizione di equilibrio stabile

La forza di richiamo e l’energia potenziale di un corpo elastico e di un oscillatore armonico sono esattamente le stesse (finché siamo nel limite di elasticità). Quindi un solido deformato elasticamente comincerà a vibrare esattamente come l’oscillatore armonico. Le corde vibranti, le vibrazioni sonore, le oscillazioni elettriche, manifestano lo stesso moto armonico e cioè sono descritte tutte dalle stesse equazioni dell’oscillatore armonico. Nel caso esemplificativo del moto armonico, e cioè l’oscillatore armonico, k è la costante di elasticità della molla; in altri sistemi oscillanti k potrà essere connessa ad altre caratteristiche del sistema in esame, che vanno analizzate caso per caso. L’oscillatore armonico (cioè il sistema massa-molla) costituisce il nostro prototipo per lo studio del moto armonico

Il moto armonico m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + k x = 0 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = − 𝑘 𝑚 x Adesso risolviamo quindi l’equazione: m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + k x = 0 Questa è una equazione differenziale. Dobbiamo cioè trovare una funzione x(t) che soddisfi a questa relazione. Riscriviamola nella forma: 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = − 𝑘 𝑚 x Cioè: stiamo cercando una funzione x(t) tale che la sua derivata seconda sia equale alla funzione stessa cambiata di segno, a parte un fattore moltiplicativo k / m

𝑑 𝑑𝑡 cos t = − sin t  𝑑2 𝑑𝑡2 cos t = 𝑑 𝑑𝑡 (− sin t ) Dall’analisi matematica, sappiamo che le funzioni seno e coseno hanno questa proprietà, in particolare: 𝑑 𝑑𝑡 cos t = − sin t  𝑑2 𝑑𝑡2 cos t = 𝑑 𝑑𝑡 (− sin t ) 𝑑2 𝑑𝑡2 cos t = − cos t Cioè: la derivata seconda di una funzione coseno è eguale alla funzione stessa cambiata di segno. Questa proprietà vale anche per la funzione seno. Tenuto conto che la nostra equazione contiene un fattore costante, possiamo valutare come tentativo per la funzione che cerchiamo una funzione del tipo: x (t) = A cos (ωt + δ)

cos (θ + δ) = cos δ cos θ − sin δ sin θ = a cos θ + b sin θ E’ interessante notare che una funzione coseno scritta in questa forma generale: A cos (ωt + δ) rappresenta di fatto una generica combinazione lineare di funzioni seno e coseno e rappresenta quindi una soluzione del tutto generale. Infatti: cos (θ + δ) = cos δ cos θ − sin δ sin θ = a cos θ + b sin θ Generica combinazione lineare di funzioni seno e coseno

−ω2A cos (ωt + δ) = − 𝑘 𝑚 A cos (ωt + δ) Consideriamo quindi la soluzione x (t) = A cos (ωt + δ) e calcoliamone la derivata seconda: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −ωA sin (ωt + δ) 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −ω2A cos (ωt + δ) Introducendo la derivata seconda nell’equazione differenziale: 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = − 𝑘 𝑚 x abbiamo: −ω2A cos (ωt + δ) = − 𝑘 𝑚 A cos (ωt + δ)

−ω2A cos (ωt + δ) = − 𝑘 𝑚 A cos (ωt + δ) In questa relazione: −ω2A cos (ωt + δ) = − 𝑘 𝑚 A cos (ωt + δ) se scegliamo la costante ω in modo che sia: ω2 = k / m si ha un’identità, e cioè la funzione prescelta: x (t) = A cos (ωt + δ) è una soluzione dell’oscillatore armonico. In tutto questo, A e δ risultano indeterminati, cioè qualsiasi coppia di valori di A e δ risulta in una possibile soluzione del moto dell’oscillatore armonico, che infatti presenta una grande varietà di moti. Quindi, ω è comune a tutti i moti permessi per un dato oscillatore di massa m e costante elastica k, mentre come vedremo A e δ dipendono di volta in volta dalla condizioni iniziali del moto.

x (t) = A cos (ωt + δ)  x (t) = A cos (ω[t + 2π / ω] + δ) Vediamo adesso di capire il significato fisico della costante ω : Se nella funzione x (t) = A cos (ωt + δ) il tempo t aumenta della quantità Δ t = 2π / ω si ha: x (t) = A cos (ωt + δ)  x (t) = A cos (ω[t + 2π / ω] + δ) = A cos (ωt + 2π + δ) = A cos (ωt + δ) Cioè: la funzione si ripete identica dopo un tempo pari a 2π / ω Cioè: 2π / ω è il periodo T di ripetizione del moto, e poiché si era posto ω2 = k / m si ha: T = 2π / ω = 2π √(m / k)

𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = − 𝑘 𝑚 x T = 2π 𝑚 𝑘 f = 1 𝑇 = 𝜔 2π = 1 2π 𝑘 𝑚 Quindi: tutti i moti regolati dall’equazione 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = − 𝑘 𝑚 x hanno lo stesso periodo di ripetizione T , che dipende solo dalla massa m e dalla costante elastica k secondo la T = 2π 𝑚 𝑘 La frequenza dell’oscillatore, cioè il numero di vibrazioni compiute nell’unità di tempo è data dalla: f = 1 𝑇 = 𝜔 2π = 1 2π 𝑘 𝑚 E di conseguenza: ω = 2π f = 2π / T

unità di misura è il radiante/sec La quantità ω = 2π / T è denominata frequenza angolare (o pulsazione) e ha le dimensioni di una velocità angolare, quindi la sua unità di misura è il radiante/sec La quantità A nella funzione x (t) = A cos (ωt + δ) ha un semplice significato fisico: la funzione coseno assume valori fra −1 e 1. Quindi l’elongazione x ha il suo valore massimo proprio nel valore A. Cioè A è l’ampiezza del moto e poiché A non è determinata dalla equazione differenziale, né dai parametri del sistema (m e k), ma solo dalle condizioni inziali, un dato oscillatore può oscillare con varie ampiezze. Cioè: il periodo di oscillazione di un oscillatore armonico non dipende dalla ampiezza del moto

La quantità (ωt + δ) è denominata fase del moto La quantità (ωt + δ) è denominata fase del moto. La costante δ è la costante di fase Due moti di un dato oscillatore possono avere la stessa ampiezza e frequenza e costante di fase differente. QUINDI in un oscillatore armonico: Il periodo di ripetizione è determinato dai parametri dell’oscillatore (m e k) L’ampiezza e la costante di fase del moto sono determinate dalle condizioni inziali della particella oscillante (ampiezza dell’elongazione inziale e velocità iniziale)

v (t) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −ωA sin (ωt + δ) Un aspetto caratteristico del moto armonico è la relazione fra l’elongazione, la velocità e l’accelerazione istantanee: x (t) = A cos (ωt + δ) v (t) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −ωA sin (ωt + δ) a (t) = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −ω2A cos (ωt + δ)

Considerazioni energetiche L’oscillatore armonico è un sistema conservativo in quanto la forza in gioco è solo funzione della posizione: F = −k x e risulta pertanto U = ½ k x2   F = − dU / dx In assenza di forze dissipative, l’energia meccanica si conserva. Naturalmente sia l’energia cinetica K che l’energia potenziale U variano continuamente durante l’oscillazione, ma la loro somma si conserva come dimostreremo di seguito.

v (t) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −ωA sin (ωt + δ) L’energia cinetica K ad ogni istante vale ½ m v2. Tenuto conto che come abbiamo visto: v (t) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −ωA sin (ωt + δ) si ha: K = ½ m ω2A2 sin2 (ωt + δ) e poiché come abbiamo visto in precedenza ω2 = k / m K = ½ k A2 sin2 (ωt + δ) Quindi: L’energia cinetica varia nel tempo con andamento pari al quadrato del seno e ha come valore massimo ½ k A2

E = K + U = ½ k A2 sin2 (ωt + δ) + ½ k A2 cos2 (ωt + δ) L’energia potenziale U ad ogni istante vale ½ k x2 e poiché x (t) = A cos (ωt + δ) si ha: U = ½ k A2 cos2 (ωt + δ) Quindi: L’energia potenziale varia nel tempo con andamento pari al quadrato del coseno e ha come valore massimo ½ k A2 Cioè: Kmax = Umax = ½ k A2 Ci aspettiamo quindi: E = K + U = ½ k A2 Infatti: E = K + U = ½ k A2 sin2 (ωt + δ) + ½ k A2 cos2 (ωt + δ) E = K + U = ½ k A2 [sin2 (ωt + δ) + cos2 (ωt + δ)] E = K + U = ½ k A2

L’energia meccanica totale di una particella in moto armonico è Il risultato è quindi che: E = K + U = ½ m v2 + ½ k x2 = ½ k A2 L’energia meccanica totale di una particella in moto armonico è proporzionale al quadrato dell’ampiezza del moto

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Moto armonico smorzato Un esempio di particolare interesse è il caso di un moto armonico in cui sia presente una forza di attrito proporzionale alla velocità del corpo e diretta in verso opposto. Un esempio di questo fenomeno è illustrato in figura. Alla massa m, appesa ad una molla di costante elastica k, è attaccato un disco immerso in un fluido. La forza d’attrito esercitata dal fluido è proporzionale alla velocità della massa e diretta in verso opposto −k x m −b 𝑑𝑥 𝑑𝑡

F = ma −k x −b 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = ma m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + b 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + k x = 0 Per ricavare l’equazione del moto, utilizzeremo la II Legge di Newton F = ma. In questo caso F è la risultante della forza di richiamo della molla −k x e della forza d’attrito −b 𝑑𝑥 𝑑𝑡 . Quindi scriveremo: F = ma E cioè: −k x −b 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = ma Ricordando che a = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 l’equazione diventa: m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + b 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + k x = 0

x (t) = A 𝑒 −𝑏𝑡/2𝑚 cos (ω’ t + δ) Si dimostra che se b è sufficientemente piccolo, l’equazione differenziale: m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + b 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + k x = 0 ha per soluzione la seguente funzione: x (t) = A 𝑒 −𝑏𝑡/2𝑚 cos (ω’ t + δ) dove: ω’ = 𝑘 𝑚 − 𝑏 2𝑚 2 Possiamo notare quanto segue: La frequenza di oscillazione è leggermente più piccola Il fluido rallenta il moto in modo esponenziale

L’andamento della funzione x(t) è quindi di questo tipo:

In sostanza, ogni sistema elastico ha una sua frequenza naturale Oscillazioni forzate e risonanza Sino adesso abbiamo trattato solo le oscillazioni che un corpo compie naturalmente quando viene allontanato dalla sua posizione di equilibrio. Per esempio per una massa attaccata ad una molla, la frequenza naturale di oscillazione è ω = 𝑘 𝑚 che nel caso in cui è presente una forza di attrito −bv diviene ω’ = 𝑘 𝑚 − 𝑏 2𝑚 2 In sostanza, ogni sistema elastico ha una sua frequenza naturale

Non c’è però alcun dubbio che noi possiamo forzare un sistema elastico a oscillare applicandogli una forza esterna periodica. In questo caso il corpo oscilla alla frequenza della forza e non alla sua frequenza naturale. In questo caso si parla di oscillazioni forzate. Tuttavia, la «risposta» del sistema a queste sollecitazioni dipende dalla relazione fra la frequenza della forza esterna e la frequenza naturale del sistema. In particolare vedremo che tanto più la frequenza della forza esterna è vicina alla frequenza naturale, tanto più ampie saranno le oscillazioni.

−k x −b 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + Fm cos ω’’ t= ma L’equazione del moto di un oscillatore forzato si ottiene dalla relazione F = m a considerando come risultante F delle forze la somma della forza di richiamo -kx, della forza d’attrito -bv e della forza periodica esterna. Scriveremo pertanto: −k x −b 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + Fm cos ω’’ t= ma Ossia: m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + b 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + k x = Fm cos ω’’ t

x(t) = ( Fm / G ) sin (ω’’ t − α) La soluzione di questa equazione differenziale è la seguente funzione x(t): x(t) = ( Fm / G ) sin (ω’’ t − α) dove: G = 𝑚2 (ω’’2 − ω2 )2 + b2 ω’’2 e: α = cos-1 ( b ω’’/G )

Alcune applicazioni del moto armonico

Il pendolo semplice Il pendolo semplice è un sistema costituito da una massa puntiforme sospesa ad un filo inestendibile. Quando viene spostata dalla sua posizione di equilibrio, e abbandonato a se stesso, il pendolo oscilla in un piano verticale sotto l’azione della forza di gravità. Il moto del pendolo è periodico e vogliamo calcolarne il periodo T

Riconsideriamo la geometria del sistema e definiamo gli assi di riferimento e le forze in gioco. La massa vale m e il filo di lunghezza l forma un angolo θ con la verticale. Le forze che agiscono sulla massa m sono la forza di gravità mg diretta in verticale verso il basso e T, la tensione del filo. Scegliamo una coppia di assi cartesiani diretti uno verso il raggio e uno verso la tangente al cerchio su cui si muove la massa. Scomponiamo mg in una componente radiale mg cos θ e una componente tangenziale mg sin θ

Il moto che ne risulta quindi NON è armonico La componente radiale e la tensione del filo istante per istante sono uguali e contrarie e infatti non c’è moto della massa m in senso radiale. La componente tangenziale è la forza di richiamo esercitata su m tendente e ricondurla alla sua posizione di equilibrio. La forza di richiamo pertanto è: F = −m g sin θ NOTA: la forza F non è proporzionale allo spostamento angolare θ ma a sin θ Il moto che ne risulta quindi NON è armonico Tuttavia, se θ è piccolo sin θ ≈ θ , dove θ è espresso in radianti. Lo spostamento lungo l’arco di cerchio è x = l θ e per piccoli angoli il moto è praticamente rettilineo

T = 2π 𝑚 𝑘 = 2π 𝑙 𝑔  non dipende dalla massa m Quindi: assumendo sin θ ≈ θ si ha F = −m g θ = −m g 𝑥 𝑙 = − 𝑚 𝑔 𝑙 x Questa è proprio la condizione di applicazione delle formula del moto armonico F = −k x in cui k = 𝑚 𝑔 𝑙 Quindi: per piccole oscillazioni, il periodo T del pendolo semplice vale: T = 2π 𝑚 𝑘 = 2π 𝑙 𝑔  non dipende dalla massa m

Il pendolo di torsione Q O P O P Supponiamo di avere un disco sospeso per il suo centro di massa da un filo. Il filo a sua volta è solidamente ancorato ad un supporto fisso. Con il disco in posizione di equilibrio tracciamo un segmento radiale che unisce il centro O con un punto P come in figura. Se si ruota il disco sul piano orizzontale fino a portarlo alla posizione Q, il filo si torce ed esercita pertanto un momento che tende a riportarlo alla posizione di equilibrio.

τ = −ϰ θ τ = I α = I 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 −ϰ θ = I 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2  𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = − ϰ 𝐼 θ Il momento in questione quindi è un momento di richiamo che per la Legge di Hooke è proporzionale alla entità della torsione. Cioè: τ = −ϰ θ Il simbolo ϰ è una costante che dipende dalle proprietà del filo e viene detta costate di torsione. Il segno negativo indica il fatto che si tratta di un momento di richiamo. In perfetta analogia col caso lineare dell’oscillatore armonico, scriveremo: τ = I α = I 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 Che, utilizzando la τ = −ϰ θ diventa una equazione analoga al caso lineare dell’oscillatore armonico: −ϰ θ = I 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2  𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = − ϰ 𝐼 θ

𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = − ϰ 𝐼 θ 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = − 𝑘 𝑚 x θ = θm cos (ωt + δ) T = 2π 𝐼 𝜘 Infatti, l’equazione differenziale in θ 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = − ϰ 𝐼 θ è identica alla equazione differenziale in x che abbiamo già visto per l’oscillatore armonico lineare: 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = − 𝑘 𝑚 x dove I e ϰ hanno sostituito k e m, e la soluzione pertanto è θ = θm cos (ωt + δ) In analogia col caso lineare il periodo di oscillazione T è dato dalla: T = 2π 𝐼 𝜘

Il pendolo fisico Ogni corpo che possa oscillare in un piano verticale intorno ad un determinato asse si chiama pendolo fisico. Il pendolo fisico quindi è una generalizzazione del pendolo semplice.

Indichiamo con m la massa del corpo, con P il punto dove passa l’asse di rotazione, con C il suo centro di massa e con I il suo momento di inerzia rispetto a P. Sia r il raggio vettore P-C. Supponiamo di spostare il corpo di un angolo θ dalla sua posizione di equilibrio (che è quella in cui il centro di massa C giace sulla verticale passante per P). P r θ C −m g Il momento della forza di gravità mg sarà τ = −mg r sin θ

𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = −ϰ θ / I ϰ = mg r T = 2π 𝐼 𝜘 = 2π 𝐼 𝑚g𝑟 Da questa formula τ = −mg r sin θ risulta che τ è proporzionale a sin θ e non a θ quindi la condizione per il moto armonico non sarebbe soddisfatta. Tuttavia per piccoli angoli risulta sin θ ≈ θ per cui potremo scrivere: τ = −ϰ θ dove: ϰ = mg r D’altra parte sappiamo che: τ = I 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 per cui potremo scrivere: 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = −ϰ θ / I Questa equazione l’abbiamo già vista e porta alla: T = 2π 𝐼 𝜘 = 2π 𝐼 𝑚g𝑟

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Relazione fra il moto armonico e il moto circolare uniforme Vedremo adesso che c’è una interessante relazione fra il moto armonico rettilineo e il moto circolare uniforme. Inoltre, il moto circolare uniforme è anche l’esempio di una composizione di moti armonici semplici, un fenomeno che incontreremo spesso nello studio delle onde.

OQ con l’asse x (angolo iniziale). A Si consideri un punto Q che si muove su di un cerchio di raggio A con velocità angolare costante ω rad /sec. Il punto P è la proiezione di Q sul diametro orizzontale, e cioè sull’asse delle x. y Q Chiameremo Q punto di riferimento e il cerchio su cui Q si muove «cerchio di riferimento». Mentre Q gira, P si muove avanti e indietro sul diametro orizzontale. La coordinata x di P è sempre la stessa di quella di Q. Analogamente per le componenti orizzontali della velocità e dell’accelerazione. Al tempo t = 0, sia δ l’angolo formato dal raggio OQ con l’asse x (angolo iniziale). A δ O x P t = 0

x = A cos (ωt + δ) y Q A ωt + δ O x P t > 0 Poiché la velocità angolare ω è costante, ad ogni istante di tempo successivo, l’angolo fra il raggio OQ e l’asse delle x sarà dato da ωt + δ Pertanto, ad ogni istante la coordinata x di Q (e P) sarà: x = A cos (ωt + δ) Quindi il punto P si muove di moto armonico Cioè: il moto armonico può essere considerato come la proiezione di un moto circolare uniforme su di un diametro. y Q A ωt + δ O x P t > 0

raggio rotante nel cerchio di riferimento A seguito di questa definizione del moto armonico riferito al moto circolare uniforme si ha: La ω di un moto armonico è la velocità angolare del punto di riferimento La frequenza del moto armonico equivale al numero di rivoluzioni nell’unità di tempo del punto di riferimento Quindi f = ω / 2π, e di conseguenza ω = 2π f Il tempo impiegato dal punto di riferimento a compiere una rivoluzione completa equivale al periodo T del moto armonico. Quindi T = 2π / ω ossia ω = 2π / T L’ampiezza del moto armonico equivale al raggio del cerchio di riferimento La fase ωt + δ del moto armonico corrisponde all’angolo formato dal raggio rotante nel cerchio di riferimento

Se avessimo considerato la proiezione y invece che la proiezione x avremmo ottenuto il seguente risultato: y = A sin (ωt + δ) Si tratta nuovamente di moto armonico, che differisce dal precedente soltanto per la fase iniziale δ − π/2 E infatti il moto armonico può essere ottenuto come proiezione su un qualunque diametro del moto sul cerchio del punto di riferimento Q. Inversamente, il moto circolare uniforme può essere ottenuto come combinazione di due moti armonici

moti armonici ortogonali. Composizione di moti armonici Vediamo allora il caso più generale di moti risultanti dalla combinazione di moti armonici ortogonali. In fisica occorre di frequente il caso in cui un moto sia la combinazione di due moti armonici rettilinei fra loro ortogonali, cioè la somma di due oscillazioni indipendenti Ci soffermeremo adesso sul caso in cui le frequenze delle due vibrazioni sono le stesse: x = Ax cos (ωt + δx) y = Ay cos (ωt + δy) Le due relazioni indicano due moti armonici ortogonali (uno lungo x e uno lungo y) aventi la stessa frequenza angolare ω ma diversa ampiezza e fase

𝑥 𝑦 = Ax Ay e cioè  y = Ay Ax x Nel caso in cui anche le fasi iniziali δx e δy siano equali, è facile rendersi conto che il moto nel piano x-y è rettilineo. Infatti considerando le due equazioni: x = Ax cos (ωt + δ) y = Ay cos (ωt + δ) e dividendole membro a membro, si ha: 𝑥 𝑦 = Ax Ay e cioè  y = Ay Ax x Questa è l’equazione di una retta nel piano x-y con pendenza Ay / Ax

Ay Ax = 1 Ay Ax = 2 y y Ay Ay O O O x x Ax Ax Quindi per δx = δy si hanno per esempio i seguenti moti: y y Ay Ay 45° 60° O O O Ax x x Ax Ay Ax = 1 Ay Ax = 2

Se invece δx ≠ δy si avranno in generale dei moti ellittici Se invece δx ≠ δy si avranno in generale dei moti ellittici. In questo caso l’orientazione dell’ellisse è data sempre dal rapporto Ay Ax mentre la differenza di fase determina il rapporto fra i due semiassi dell’ellisse (infatti anche un segmento è un caso particolare di ellisse «chiusa»

Esercizi ed esempi

Esempio 1 Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera di compiere oscillazioni armoniche. Quesito-1: Quanto vale la costante elastica della molla ? Quesito-2: Quanto vale la forze esercitata sulla massa da 1kg appena prima che questa venga abbandonata ? Quesito-3: Quale è il periodo dell’oscillazione ? Quesito-4: Quale è l’ampiezza A del moto ? Quesito-5: Quale è la velocità massima della massa oscillante ? Quesito-6: Quale è l’accelerazione massima?

Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera di compiere oscillazioni armoniche. Quesito-1: Quanto vale la costante elastica della molla ? Dalla relazione: F = −k x, risulta: k = F/x Quindi: k = 9 nt / 0.03 = 300 nt/m

Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera di compiere oscillazioni armoniche. Quesito-1: Quanto vale la costante elastica della molla ? Dalla relazione: F = −k x, risulta: k = F/x Quindi: k = 9 nt / 0.03 = 300 nt/m

Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera di compiere oscillazioni armoniche. Quesito 2: Quanto vale la forza esercitata sulla massa da 1kg appena prima che questa venga abbandonata ? La massa era stata allontanata di 4 cm dalla posizione di riposo, quindi: F = −k x = -300 nt/m x 0.04 m = −12 nt

Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera di compiere oscillazioni armoniche. Quesito 2: Quanto vale la forza esercitata sulla massa da 1kg appena prima che questa venga abbandonata ? La massa era stata allontanata di 4 cm dalla posizione di riposo, quindi: F = −k x = -300 nt/m x 0.04 m = −12 nt

ω = 300 𝑛𝑡 𝑚 1 𝑘𝑔 = 17,32 rad/sec T = 2π / 17,32 = 0,36 sec Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera di compiere oscillazioni armoniche. Quesito 3: Quale è il periodo dell’oscillazione ? Abbiamo visto che T = 2π/ω dove ω = 𝑘/𝑚 ω = 300 𝑛𝑡 𝑚 1 𝑘𝑔 = 17,32 rad/sec T = 2π / 17,32 = 0,36 sec

ω = 300 𝑛𝑡 𝑚 1 𝑘𝑔 = 17,32 rad/sec T = 2π / 17,32 = 0,36 sec Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera di compiere oscillazioni armoniche. Quesito 3: Quale è il periodo dell’oscillazione ? Abbiamo visto che T = 2π/ω dove ω = 𝑘/𝑚 ω = 300 𝑛𝑡 𝑚 1 𝑘𝑔 = 17,32 rad/sec T = 2π / 17,32 = 0,36 sec

Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera di compiere oscillazioni armoniche. Quesito 4: Quale è l’ampiezza A del moto ? Abbiamo visto che l’ampiezza A è semplicemente l’elongazione iniziale: 4cm !!

Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera di compiere oscillazioni armoniche. Quesito 4: Quale è l’ampiezza A del moto ? Abbiamo visto che l’ampiezza A è semplicemente l’elongazione iniziale: 4cm !!

v (t) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −ωA sin (ωt + δ) Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera di compiere oscillazioni armoniche. Quesito 5: Quale è la velocità massima della massa oscillante ? Abbiamo visto che: x (t) = A cos (ωt + δ) v (t) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −ωA sin (ωt + δ) a (t) = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −ω2A cos (ωt + δ) Quindi: vmax = ωA = A 2π / T = 0,04 m 2 π / 0,36 s = 0,69 m/s

v (t) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −ωA sin (ωt + δ) Una molla disposta in orizzontale è allungata di 3 cm quando su di essa agisce una forza di 9 nt. A questa molla viene attaccata una massa m=1 kg. La massa, allontanata di 4 cm dalla posizione di equilibrio lungo un tavolo privo di attrito viene quindi lasciata libera di compiere oscillazioni armoniche. Quesito 5: Quale è la velocità massima della massa oscillante ? Abbiamo visto che: x (t) = A cos (ωt + δ) v (t) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −ωA sin (ωt + δ) a (t) = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −ω2A cos (ωt + δ) Quindi: vmax = ωA = A 2π / T = 0,04 m 2 π / 0,36 s = 0,69 m/s

a (t) = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −ω2A cos (ωt + δ) Quesito 6: Quale è l’accelerazione massima? Dalle formule della slide precedente ricordiamo che: a (t) = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −ω2A cos (ωt + δ) Quindi: amax = ω2A = A k/m = (0,04 x 300)/ 1 = 12 m/s2

a (t) = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −ω2A cos (ωt + δ) Quesito 6: Quale è l’accelerazione massima? Dalle formule della slide precedente ricordiamo che: a (t) = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −ω2A cos (ωt + δ) Quindi: amax = ω2A = A k/m = (0,04 x 300)/ 1 = 12 m/s2

Esempio 2 Una sbarra sottile di massa m = 0,1 kg e lunga 0,1 m è sospesa ad un filo per il suo centro. La barra viene fatta oscillare per torsione. Il periodo T risulta 2 sec. La sbarra viene sostituita da un una lastra a forma di triangolo equilatero appesa anche essa al centro di massa. In questo caso il periodo risulta in 6 sec. Quesito: Trovare il momento di inerzia del triangolo rispetto all’asse di rotazione.

T = 2π 𝐼 𝜘 Isbarra = m l2 /12 = (0,1 x 0,12 ) /12 Abbiamo visto che nel pendolo di torsione il periodo T è dato dalla relazione: T = 2π 𝐼 𝜘 Dove: I è il momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione della massa e 𝜘 è la costante di torsione del filo. Il momento di inerzia di una barra sottile di lunghezza l rispetto ad un asse di rotazione ortogonale alla barra e passante per il centro è dato da I = m l2 /12 Si ha quindi: Isbarra = m l2 /12 = (0,1 x 0,12 ) /12 = 0,001/12 = 8,33 x 10−5 kg-m2

Tsbarra / Ttriang = (Isbarra / Itriang )1/2 Dalla relazione: T = 2π 𝐼 𝜘 si ricava la relazione fra il rapporto fra i periodi di oscillazione e il rapporto dei relativi momenti di inerzia dei due corpi: Tsbarra / Ttriang = (Isbarra / Itriang )1/2 da cui si ricava: Itriang = Isbarra (Ttriang / Tsbarra )2 Ossia: Itriang = 8,33 x 10−5 x (6/2)2 = 0,00075 kg-m2