Prof.ssa Carolina Sementa

CIRCONFERENZA E CERCHIO: le misure.

IL CERCHIO La parte di piano (superficie) racchiusa da una circonferenza si chiama cerchio. cerchio

RAPPORTO CIRCONFERENZA / DIAMETRO In ogni cerchio, c’è sempre lo stesso rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del diametro. Immaginiamo che la circonferenza sia formata da uno spago. Tagliando lo spago e stendendolo su un piano otteniamo un segmento. Abbiamo “rettificato” la circonferenza. d circonferenza rettificata d d d La lunghezza della circonferenza rettificata è pari a tre diametri e un pezzetto.

p (pi greco) Quindi, la lunghezza del diametro nella lunghezza della circonferenza ci sta tre volte e un po’. Per essere più precisi, eseguendo la divisione circonferenza ( C ) : diametro ( d ), il risultato è sempre 3,1415926535… Per semplificare i calcoli, si considerano soltanto le prime due cifre decimali: 3,14 Il rapporto 3,14 viene indicato con una lettera dell’alfabeto greco: p (pi greco)

p 2 p d r Formule C = p x 2r C = p x d C C Ma d = 2 x r allora Formule inverse Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio Circonferenza uguale a p greco per il diametro C C d p r 2 p

RAPPORTO QUADRATO DEL RAGGIO/AREA Tracciando due diametri perpendicolari e il quadrato in cui è inscritto il cerchio, otteniamo quattro quadrati uguali che hanno come lato il raggio del cerchio. r = 3 cm In ogni cerchio, c’è sempre lo stesso rapporto tra l’area del cerchio e l’area del quadrato costruito sul raggio (r2 cioè r x r). L’area del cerchio è uguale all’area di tre quadrati costruiti sul raggio + un pezzettino.

p (pi greco) Quindi, il quadrato del raggio (r2) nell’area del cerchio ci sta tre volte e un po’. Per essere più precisi, eseguendo la divisione Area ( A ) : quadrato del raggio ( r2 ), il risultato è sempre 3,1415926535… Per semplificare i calcoli, si considerano soltanto le prime due cifre decimali: 3,14 Il rapporto 3,14 viene indicato con una lettera dell’alfabeto greco: p (pi greco)

Area ( A ) : quadrato del raggio ( r2 ) = 3,14 FORMULA AREA Area ( A ) : quadrato del raggio ( r2 ) = 3,14 3,14 x r2 = A A : r2 = 3,14 Quindi: Perciò: A = r x r x 3,14 A A = p r2 r p

Perimetro (circonferenza) CERCHIO Perimetro (circonferenza) Area A = •r2 La circonferenza è circa 3 volte () la lunghezza del diametro C= •d oppure C=2••r   Formule inverse d=C: r=C:(2•)

Arco di circonferenza Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa due punti Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti I punti B e C individuano l’arco c e l’arco d

Arco e angolo al centro Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro a Tale angolo prende il nome di angolo al centro Si dice che l’arco AB sottende un angolo a e l’angolo a è sotteso da un arco AB Cosa succede se in una circonferenza aumento l’ampiezza dell’arco? Cosa succede all’angolo a? Vediamo che esso aumenta e questo aumento è proporzionale all’ampiezza dell’arco

Calcolo della lunghezza dell’arco Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente valore dell’arco sarà l’intera circonferenza Questo valore sarà uguale a rapporto di un arco e del corrispondente angolo al centro Da cui ottengo il modo di calcolarmi l Sapendo che c = p x 2r C l = 360° a C a x = l 360° p x 2r x a l = 360°

Formule Inverse l x 360° l x 360° c a = = a c x l 360° x l 360° d = a p x a p x d l x 360° l x 360° r = a = 2 p x a 2 p x r

SETTORE CIRCOLARE lAB È delimitato da due raggi e un arco. lAB lAB

Lunghezza dell’arco del settore SETTORE CIRCOLARE Area del settore Lunghezza dell’arco del settore Elementi utili per il calcolo: angolo al centro (), lunghezza dell’arco, angolo di 360° e lunghezza circonferenza (C) Elementi utili per il calcolo: angolo al centro (), area del settore (AS), angolo di 360° e area del cerchio (AC) Tabella per calcolo Tabella per calcolo angolo al centro lunghezza arco a lAB 360° C angolo al centro lunghezza arco a AS 360° AC

Lunghezza dell’arco del settore SETTORE CIRCOLARE Lunghezza dell’arco del settore Area del settore Tabella per calcolo Tabella per calcolo angolo al centro lunghezza arco a lAB 360° C angolo al centro lunghezza arco a AS 360° AC Proporzione Proporzione    

Lunghezza dell’arco del settore SETTORE CIRCOLARE Area del settore Lunghezza dell’arco del settore Formule Formule            

Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed una sua corda a La corda divide il cerchio in due parti Si definisce segmento circolare ciascuna delle due parti Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

SEGMENTO CIRCOLARE Segmento minore della semicirconferenza Segmento maggiore della semicirconferenza Area segmento = area settore + area triangolo Area segmento = area settore – area del triangolo

Caso 1 il segmento non contiene il centro In questo caso devo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO L’area del segmento circolare sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo Asc = As - At

Caso 2 il segmento contiene il centro In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO L’area del segmento circolare sarà data dalla somma fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo Asc = As + At Se non diversamente specificato il segmento circolare si riferisce all’angolo convesso

Corona circolare Consideriamo due circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2 fra le due circonferenze si trova una porzione di piano Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze

AREA DELLA CORONA CIRCOLARE