con le opere di Archimede 6 GIOVEDì con le opere di Archimede Conoidi e sferoidi - Spirale Museo civico di Bassano del Grappa Sala Chilesotti 14 Maggio 2015

Con essi si passa da una geometria di Abbiamo visto che I pitagorici hanno una visione del mondo fondata sull’armonia tra numero e realtà Numero e figura non sono disgiunti: ‘ aritmogeometria’ Con essi si passa da una geometria di ‘approssimazione’ a una geometria di ‘precisione’

è l’elemento costitutivo di tutte le grandezze La monade! è l’elemento costitutivo di tutte le grandezze Le figure geometriche sono concepite come formate da un insieme discreto di punti, indivisibili e dotati di una ‘certo spessore’.

Misura di una grandezza A rispetto a una grandezza B è il rapporto tra naturali che esprime il rapporto tra A e B ( unità di misura ) E se le grandezze sono tra loro incommensurabili? Lo stesso!! Per loro la incommensurabilità è un fatto puramente geometrico!

la grandezza in questione con altre grandezze a questa omogenee Eudosso e la sua nuova teoria delle proporzioni Il problema della determinazione dell’area o del volume delle figure è affrontata sempre e comunque confrontando la grandezza in questione con altre grandezze a questa omogenee

Infatti, nella matematica greca troveremo che: «il volume di una sfera vale 4/3 il volume del cono …»

trasformare la figura di partenza in un Il problema generale teorico di determinare l’area di una figura piana o il volume di un solido si traduce, quando è possibile, in un procedimento per trasformare la figura di partenza in un quadrato equiesteso o in un cubo equivalente

Per questo motivo, nella geometria greca, si parla di quadratura di una figura piana cubatura di una solida.

quadrare una figura rettilinea Nei primi due libri degli Elementi di Euclide viene completamente risolto il problema di quadrare una figura rettilinea ovvero un poligono, attraverso una serie di triangolazioni

Le proposizioni fondamentali sono le [ I, 42 ], [ I, 45 ], [II, 14 ]

La filosofia di Platone inoltre con la sua ‘ipostatizzazione delle idee’ assegnava alle costruzioni geometriche classiche il solo uso di riga e compasso È certamente in questo contesto filosofico - matematico Che vengono formalizzati i tre problemi classici che hanno caratterizzato la storia della matematica fino al 1800

I 3 classici problemi dell’antichità quadratura del cerchio duplicazione del cubo trisezione dell’angolo Usando solo riga e compasso

quadrare.. duplicare… trisecare..

Per questi tre problemi: duplicazione di un cubo trisezione di un angolo qualsiasi quadratura del cerchio solo a partire dal 1800 sarà dimostrata la non risolubilità con riga e compasso

QUADRATURA DEL CERCHIO

-Quadratura di figure curvilinee- Il procedimento di triangolazione non sempre funziona con figure a contorno curvilineo, anche se «spingiamo» all’infinito la triangolazione!

il metodo di esaustione l’infinito solo in potenza! Ricordiamo che in questioni infinitesimali, si ha sempre per una rigorosa dimostrazione il metodo di esaustione che implica l’infinito solo in potenza!

Ippocrate di Chio ( 470-410 a.C.) Chi per primo affronta il problema di quadrare figure curvilinee è Ippocrate di Chio ( 470-410 a.C.) C B A Lunula è uguale al triangolo ABC

Malgrado alcuni casi di particolari lunule che si lasciavano quadrare e che avevano illuso Ippocrate di poter effettuare la quadratura del cerchio, la non quadrabilità di figure curvilinee permane.

per base la circonferenza e per altezza il raggio’. Pure Archimede in «Misura del cerchio» si cimenta con la quadratura del cerchio. Nella prop. 1 mediante una ‘ripetitiva esaustione’ dimostra che: ‘un cerchio equivale a un triangolo che ha per base la circonferenza e per altezza il raggio’.

Archimede ha dunque quadrato il cerchio? Certamente no! Archimede ha solo ricondotto il problema della quadratura del cerchio a quello della rettificazione della circonferenza!

Infatti questi due problemi Rettificazione della circonferenza Quadratura del cerchio sono strettamente connessi alla natura di π

Archimede nella prop. 3 di ‘misura del cerchio’ dimostra mediante calcoli puramente aritmetici la doppia e famosa limitazione 3 + 10/71 < π < 3 + 10/70 …. raddoppiando il numero dei lati fino a 96

Comunque il problema della rettificazione della circonferenza e quadratura del cerchio sarà risolta solo nel 1882 da F. von Lindemann con la dimostrazione che π è un numero trascendente.

Questo duplice affascinante problema non poteva lasciare Archimede soddisfatto del pur notevole risultato conseguito con la doppia limitazione di π. Infatti il Siracusano è andato ben oltre «… a tal punto lo possedeva il furore delle muse…»

COME? inventando all’uopo la nuova curva Spirale e spostando più avanti ancora il «pallino»: riconducendo il problema della rettificazione di una circonferenza a quello della costruzione di una retta tangente

DUPLICAZIONE DEL CUBO o problema di Delo

Leggenda un’epidemia imperversava ad Atene e gli abitanti ricorsero all’oracolo di Delfi per sapere fino a quando la pestilenza li avrebbe afflitti. La risposta dell’oracolo fu “Raddoppiate l’ara di Apollo mantenendone la forma se volete placare le ire divine “. L’ara di Apollo era cubica ; allora ne fu costruita una con le dimensioni doppie di quella ; ma la pestilenza si fece ancora più acuta: non erano state esaudite le richieste dell’oracolo. Il problema si presentava infatti assai più complesso e Platone, a cui gli  Ateniesi si sarebbero rivolti, li ammonì dicendo che “ Il dio ha punito il popolo di Atene per aver trascurato la scienza della geometria che è scienza per eccellenza”.

Vediamo dunque il problema di Delo Stando alla leggenda, consiste nel determinare un cubo di volume doppio di uno assegnato. Da un punto di vista strettamente geometrico si risolve determinando un numero b il cui cubo sia doppio del cubo di un numero a dato . b3 = 2a3

da questa, per sostituzione, si ottiene facilmente z3 = 2a3. Ippocrate di Chio sembra sia stato il primo ad affrontare il problema risolvendolo con la seguente doppia proporzione:  a : z = z : w = w : 2a cioè, con l’inserzione di due medi proporzionali tra a e 2a. Infatti, da questa, per sostituzione, si ottiene facilmente z3 = 2a3.

Alla ricerca di una sua soluzione del problema per primo introdusse Menecmo ( 375 – 325 a.C.) discepolo di Eudosso all’Accademia, appartenente alla scuola platonica, si occupò del problema di Delo. Alla ricerca di una sua soluzione del problema per primo introdusse le coniche viste come intersezione di un particolare cono con un piano ortogonale alla sua superficie, ottenendo di volta in volta…  

Le soluzione proposte da Menecmo al problema sono due: una mediante l’intersezione di due parabole l’altra mediante l’intersezione di una parabola e una iperbole

Del lavoro di Menecmo sulle coniche non restano che pochi frammenti. Lo studio formale delle sezioni coniche sarà fatto successivamente da Apollonio da Perga ( 262 – 190 a. C. ) che per questo mirabile lavoro è passato alla storia come «il grande Geometra»

Archimede, partendo dal lavoro di Menecmo, amplia e consolida le proprietà delle coniche quadrando la parabola in tre modi diversi e introducendo nuovi solidi ottenuti come particolari rotazioni delle coniche arriva a nuove cubature come vedremo nell’Opera ‘ Conoidi e sferoidi ‘. Per inciso pure il problema della ‘duplicazione del cubo’non ha soluzione con riga e compasso come dimostrato con il teorema di Wantzel ( 1814 – 1848 ).

E per il terzo problema classico relativo alla ‘ trisezione dell’angolo ‘? Sempre in virtù del teorema di Wantzel solo nel 1800 si è dimostrata la sua insolubilità , in quanto il teorema dimostra che mediante costruzioni con riga e compasso si perviene sempre e comunque ad equazioni di grado multiplo di due. E Archimede non ha nessun legame con questo problema? Come vedremo nell’Opera Spirale

SFEROIDI E CONOIDI

Alcune note sui coni Cono Acutangolo Cono Rettangolo Cono Ottusangolo Tre tipi di cono: Cono Acutangolo Cono Rettangolo Cono Ottusangolo

Alcune note sulle coniche Esistono tre tipi di coniche derivate dall’intersezione dei tre diversi coni con un piano perpendicolare alla generatrice

Alcune note sulle coniche Tre tipi di coniche derivate dall’intersezione di un cono con un piano perpendicolare alla generatrice Iperbole Ellisse Parabola

Tre diversi solidi di rotazione utilizzando come generatrici parabola, ellisse e iperbole SFEROIDE O ELLISSOIDE PARABOLOIDE

Alcune proposizioni sulle proprietà delle coniche Proposizione 4 Rapporto tra la superficie di un’ellisse e un cerchio aventi: AB = EF D E F A B Ellisse : Cerchio = CD : EF C

Alcune proposizioni sulle proprietà delle coniche Proposizione 7

Proposizione 7 Data una ellisse è possibile costruire un cono avente l’asse perpendicolare al piano sulla cui superficie sta l’ellisse data. In questa proposizione, per la prima volta, una conica è vista come sezione di un cono qualsiasi con un piano non perpendicolare all’asse del cono.

Proposizione 19 In un segmento di conoide è possibile inscrivere e circoscrivere due figure solide composte da cilindri aventi uguale altezza in modo tale che la differenza tra la figura circoscritta e quella inscritta sia minore di qualunque figura prefissata.

Dove il volume di I è minore di qualsiasi figura prefissata Conseguenza Ccirc - Cins = I Dove il volume di I è minore di qualsiasi figura prefissata I

Proposizione 2 Z > 2S S Z La somma di tutte le grandezze ciascuna delle quali è uguale alla maggiore tra quelle è maggiore del doppio della somma di tutte le grandezze restanti prese in progressione aritmetica, eccettuata la massima. Z > 2S S Z

Proposizione 21 Voglio dimostrare che: Ogni segmento di conoide rettangolo (paraboloide ) sezionato con un piano perpendicolare all’asse è una volta e mezza il cono avente la stessa base del segmento e lo stesso diametro. ABC parabola D centro di circonferenza della base S conoide rettangolo (paraboloide) racchiuso in un cilindro Voglio dimostrare che: V paraboloide = 3/2 V cono inscritto

- V x = ½ V cilindro Si consideri poi un cono con: stesso diametro di base - V cono = X = 3/2 V cono inscritto Ricorda: V cono = 1/3 V cilindro circ. Quindi: Vcono X = 3/2 Vcono inscr. = 3/2 (1/3 Vcil) = ½ Vcil V x = ½ V cilindro cilindro circ. cono inscritto Cono x paraboloide

Siano A, K punti appartenenti alla parabola: Per proseguire nella dimostrazione useremo la proprietà della parabola degli Elementi conici di Euclide: B Siano A, K punti appartenenti alla parabola: K E AD² : EK² = BD : BE

Si può perciò scrivere: Si considerino i triangoli simili ABD e OBE: (hanno entrambi un angolo retto e gli angoli acuti adiacenti alle basi AD e OE congruenti in quanto corrispondenti, essendo le rette AD e OE parallele). Si può perciò scrivere: DA:EO = BD:BE Ed essendo DA² : EK² = BD : BE risulta: DA² : EK² = DA : EO

Ponendo per assurdo S > X Si deve dimostrare che: V conoide S = V cono X S = X Ponendo per assurdo S > X (n-1) P cilindri inscritti n Q cilindri circoscritti n CC cilindri del cilindro circ. Q - P < S – X Per costruzione: Q > S => P > X

CC1 : P1 = DA2 : EK2 = DA : EO Quindi: CC1 : P1 = DA : EO DA2 : EK2 = BD : BE DA : EO = BD : BE quindi DA2 : EK2 = DA : EO Secondo Euclide Analogamente: CC2 : P2 = DA : PF CC3 : P3 = DA : r3 CC4 : P4 = DA : r4 CC5 : P5 = DA : r5 CC6 : P6 = DA : r6 CC1 : P1 = DA2 : EK2 = DA : EO Quindi: CC1 : P1 = DA : EO

Allo stesso modo pongo S < X : assurdo. Si conclude: CCn : Pn = DA : IG Sommiamo termine a termine nCC : (P1 + P2 + … + Pn) = nDA : (EO + FP + … + IG) nDA > 2 (EO + FP + … + IG) nCC> 2 (P1 + P2 + … + Pn ) MA nCC = 2X e (P1 + P2 + … + Pn ) = P 2 X > 2 P X > P Assurdo. Allo stesso modo pongo S < X : assurdo. Sono in progressione aritmetica Proposizione 2

S = X

SPIRALE

Proposizione I Se un punto viene mosso con velocità costante su di una linea, e su questa si prendono due segmenti, essi avranno tra loro lo stesso rapporto che hanno i tempi nei quali il punto li percorre S1 = v t1 S2= v t2 → S1/S2 = t1/t2 S1 S2

Proposizione II Se due punti percorrono ciascuno una linea con velocità costante, presi su ciascuna linea due segmenti che i primi punti percorrono in tempi uguali a quelli impiegati dai secondi, i segmenti considerati sulle due linee hanno rapporto costante. S1 S1’ T1 T1 T2 S2 S2’ S1 / S2 = S1’ / S2’

Proposizione III Dati quanti cerchi quanti se ne vogliano è possibile trovare una retta che sia maggiore di tutte le circonferenze dei cerchi. C 2p OTTAGONO

PROPOSIZIONE IV Date due linee disuguali: un segmento (r) e una circonferenza C, è possibile trovare un segmento che sia minore della maggiore e maggiore della minore. C r

PROPOSIZIONE VII CD/BD= F/G(dato) se F/G>HB/OH A B H C D O È possibile presa una circonferenza C e una sua corda AB minore del diametro,congiungendo con un segmento il prolungamento della corda e il centro della circonferenza ottenere un rapporto CD/BD uguale a un rapporto F/G dato a condizione che questo sia maggiore di HB/OH.

La spirale di Archimede Se si traccia nel piano una linea retta, ed essa, fermo restante uno dei suoi estremi, viene fatta ruotare con velocità costante quante volte si vuole, fino a tornare nella posizione da cui era partita, e se al tempo stesso sulla linea rotante si trasporta un punto con moto uniforme cominciando dall’estremo che resta fermo, il punto descriverà nel piano una spirale.

P= principio della spirale s= semiretta principio di rotazione PA= primo segmento AB= secondo segmento BC= terzo segmento s P A B C

A1= area prima A2= area seconda A3= area terza A1 A2 A3

Primo cerchio: cerchio che ha per raggio il primo segmento e per centro il principio della spirale. O

PROPOSIZIONE XIV Se alla spirale descritta nella prima rotazione si conducono due segmenti a partire dal punto che è principio della spirale, e si prolungano fino alla circonferenza del primo cerchio, allora: AC/BC = ArcoDE / ArcoDF(DE+EF) E F A B CA/CD= arco DF/ arco DE

Proposizione XVIII Se una linea retta è tangente ad una spirale, nella prima rotazione, nel termine della spirale stessa, e dal punto che è principio della spirale si conduce una retta perpendicolare alla retta principio della rotazione, allora AF=CI (prima circonferenza). C A B D L F G H N W R

NR:HR=AH : AL Dimostrazione Per Assurdo FA≠C Sia FA > C C < AL < FA (prop.4). C A B D L F G H N W R AH : AL > AH : AF (AL < AF); ma AH : AF = GZ : AZ (poiché cateti di triangoli simili) da cui AH : AL > GZ : AZ Questa è la condizione necessaria a applicare la proposizione VII vista in precedenza: se AH:AL> GZ : AZ Allora: NR:HR=AH : AL C A B D L F G H N W R z

HR : AL < HRarco : C (poiché AL > C e HR < HRarco ) da cui B D L F G H N W R Quindi è possibile trovare un punto N tale che NR : HR = AH : AL. Vale la relazione NR : AH = HR : AL. Ma HR : AL < HRarco : C (poiché AL > C e HR < HRarco ) da cui NR : AH < HRarco : C NR : AR < HRarco : C (AH = AR) NA : AR < (HRarco + C) : C proprietà del Comporre

(HRarco + C) : C = WA : AH NA : AR < (HRarco + C) : C Quindi B D L F G H N W R NA : AR < (HRarco + C) : C Per la Proposizione XV conseguenza della XIV abbiamo: ''segmenti che intersecano la seconda spirale hanno un rapporto pari al arco staccato sulla prima circonferenza sommato e poi diviso per essa'‘ (HRarco + C) : C = WA : AH Quindi NA : AR < WA : AH . Ma ciò è impossibile perché AR = AH e NA > WA. Assurdo Matematico.

Superficie

Proposizione X Avendo -N linee che fanno parte di una progressione aritmetica, cioè che si superano una con l'altra di una egual quantità corrispondente alla prima linea (la seconda doppia della prima, la terza tripla della prima e così via) -N linee uguali alla più lunga di quelle della progressione:

n(nd)² + (nd)² +d(d+2d+3d...+nd)=3(d²+(2d²)+...(nd²)) Esempio Abbiamo 3 linee a, b, c che sono in progressione aritmetica con ragione e primo termine a, e 3 linee uguali alla maggiore; dimostriamo graficamente la proposizione 10: a b c d d d 27 + 6 + 9= 3(9+4+1)*/ n(nd)² + (nd)² +d(d+2d+3d...+nd)=3(d²+(2d²)+...(nd²))

n(nd)2 + (nd)2 + d(d + 2d + … + nd) = 3[d2 + (2d)2 + … + (nd)2] COROLLARIO n(nd)2 + (nd)2 + d(d + 2d + … + nd) = 3[d2 + (2d)2 + … + (nd)2] n(nd)2 < 3[d2 + (2d)2 + … + (nd)2] n(nd)2 > 3{d2 + (2d)2 + … + [(n-1)d]2} (nd)2 + d(d + 2d + … + nd) < 3(nd)2

< 3[d2 + (2d)2 + … + (nd)2] n(nd)2 < 3[d2 + (2d)2 + … + (nd)2]

> n(nd)2 > 3{d2 + (2d)2 + … + [(n-1)d]2}

< < 3{d2 + (2d)2 + … + [(n-1)d]2} 3[d2 + (2d)2 + … + (nd)2] n(nd)2 3[d2 + (2d)2 + … + (nd)2] < <

se su tutte le linee si costruiscono figure simili, Dunque, se su tutte le linee si costruiscono figure simili, la somma delle figure costruite su linee uguali alla maggiore sarà minore del triplo delle figure costruite sulle linee che si superano l’una rispetto all’altra di una stessa quantità, e maggiore del triplo delle figure costruite sulle linee che si superano, eccettuata la figura costruita sulla figura maggiore

Proposizione XII Se alla spirale in una sola rotazione si conducono dal principio della spirale quante rette si vogliono, ciascuna delle quali formi con quella seguente angoli fra loro uguali la differenza fra la lunghezza delle rette è sempre la stessa. OAI-OA = K OAII-OAI= K AII α O A α AI K O AI α A K O O AII Ne consegue il fatto che i raggi vettori di una spirale di Archimede sono termini di una progressione aritmetica.

Proposizione XXI Considerata la superficie compresa tra la spirale descritta nella prima rotazione e il primo segmento sull’origine della rotazione, è possibile circoscrivere alla stessa una figura piana, ed inscriverne un’altra, composta da settori simili, in modo che la figura circoscritta superi quella inscritta di una superficie minore di una qualunque superficie data.

SUPERFICIE INSCRITTA ALLA SPIRALE

SUPERFICIE CIRCOSCRITTA ALLA SPIRALE

Esemplificazione della superficie: 1. inscritta; 2.circoscritta. 2. 1.

La superficie S compresa dalla spirale Proposizione 24 La superficie S compresa dalla spirale descritta nella prima rotazione e dal primo segmento sulla retta principio della rotazione è la terza parte Z del primo cerchio. . S < Z con Z = 1/3 C

S < Z Z = 1/3 cerchio S Z Fcirc. ASSURDO

Per la proposizione 12, i raggi sono termini di una progressione aritmetica di cui il primo termine e la ragione è la misura di ΘE, e l’ultimo termine è ΘA. (il maggiore)

la somma delle figure costruite su linee uguali alla maggiore I prolungamenti di tali raggi fino al primo cerchio sono in numero uguali ai raggi della spirale e la loro misura è quella di ΘA. Dunque per la proposizione 10, se su tutte le linee si costruiscono figure simili, la somma delle figure costruite su linee uguali alla maggiore sarà minore del triplo delle figure costruite sulle linee che si superano l’una rispetto all’altra di una stessa quantità.

la somma dei settori costruiti su segmenti uguali al maggiore è minore del triplo dei settori costruiti sui segmenti che si superano l’un l’altro di una uguale quantità. E’ 3Z < 3F; Z < F. Assurdo

Proposizione XXVII Delle aree comprese dalle spirali e dalle rette in rotazione la terza è doppia della seconda, la quarta è tripla della seconda, la quinta è quadrupla della seconda e ogni area seguente è multipla della seconda secondo numeri interi. Inoltre la prima area è la sesta parte della seconda.

La spirale di Archimede e la trisezione di un angolo b T V a W O