Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LE OPERAZIONI GEOMETRICHE INTERSEZIONE DI TRE PIANI RICERCA DEL PUNTO IMPROPRIO Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 2008/09 da Tenisci Leonardo della classe 2°E del Liceo artistico “G. Misticoni” di Pescara per la materia :“Discipline geometriche” Insegnante: Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Arch. Elio Fragassi

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (1) Passiamo ora, mediante quattro esempi, a presentare alcuni casi relativi alla ricerca e definizione del punto improprio P¥ dell'intersezione di tre piani. E’ solo il caso di accennare che dei tre piani, in trattazione, due devono essere paralleli. Ricordo, quindi, la relativa condizione che stabilisce: “Due piani sono paralleli se tali sono le rispettive tracce” Esempio 9: Intersezione di a proiettante in 1a nel IV D parallelo a b proiettante in 1a nel I D e g generico nel I D Assegnati i seguenti piani (Es. 09) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: a(^p1+; Ðp2-) b(^p1+; Ðp2+) g(Ðp1+; Ðp2+) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani. Poiché i piani assegnati a e b sono paralleli è implicito, per le condizioni di parallelismo, che essi avranno la retta d’intersezione impropria e quindi sarà (aÇb)®x¥

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (2) Non resta, quindi, che sviluppare i passi dell’algoritmo grafico intersecando questi due piani a e b con g come nella figura dell’Es.9-a Passo 1: intersezione tra a e g (t1a Çt1g) T1r r’ (t2a Çt2g) T2r r” Passo 2: intersezione tra b e g (t1b Çt1g) T1s s’ (t2b Çt2g) T2s s” Determinate le proiezioni delle due rette, ne ricerchiamo il punto d’intersezione sviluppando il terzo passaggio dell’algoritmo grafico

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (3) Passo 3: intersezione tra r ed s (r’ Ç s’) (r’ // s’) P’ ¥ (r Ç s) P¥ (r” Ç s”) (r” // s”) P” ¥ Poiché le rispettive proiezioni delle due rette sono parallele, in ossequio alla condizione di parallelismo tra rette, si evince che il relativo punto d’intersezione è un punto improprio P ¥ Verifica La verifica ci è fornita dalla retta impropria x¥ = (a Ç b) che, per sua natura, dovrà passare per P ¥. Si può concludere, quindi, che P ¥Î (a Ç b Ç g)

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (4) Esempio 10: Intersezione tra a generico nel II D parallelo a b generico nel IV D e g generico //lt nel I D Assegnati i seguenti piani (Es. 10) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: a(Ðp1-; Ðp2+) b(Ðp1+; Ðp2-) g(Ðp1+; Ðp2+; // lt) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani. Poiché i piani a e b, pur essendo collocati in due diedri opposti, presentano le tracce omonime parallele, per le relative condizioni di parallelismo, si deduce che essi sono paralleli e pertanto la relativa retta d’intersezione sarà una retta impropria cioè: (a Ç b) ® x¥ Data l’impossibilità di operare con questi due piani, sviluppiamo i passi dell’algoritmo grafico come nella figura dell’Es.10-a

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (5) Non resta, quindi, che sviluppare i passi dell’algoritmo grafico intersecando questi due piani a e b con g come nella figura dell’Es.10-a Passo 1: intersezione tra a e g (t1a Çt1g) T1s s’ (t2a Çt2g) T2s s” Passo 2: intersezione tra b e g (t1b Çt1g) T1r r’ (t2b Çt2g) T2r r” Determinate le proiezioni delle due rette ne ricerchiamo il loro punto d’intersezione mediante lo sviluppo del terzo passaggio dell’algoritmo grafico

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (6) Passo 3: intersezione tra r ed s (r’ Ç s’) (r’ // s’) P’ ¥ (r Ç s) P¥ (r” Ç s”) (r” // s”) P” ¥ Poiché le rispettive proiezioni delle due rette sono parallele, in ossequio alla condizione di parallelismo tra rette, si evince che il relativo punto d’intersezione è un punto improprio P ¥ Verifica La verifica ci è fornita dalla retta impropria x¥ = (a Ç b) che, per sua natura, dovrà passare per P ¥. Si può concludere, quindi, che P ¥Î (a Ç b Ç g)

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (7) Esempio 11: Intersezione di tre piani generici a, b, g con a // b Assegnati i seguenti piani (Es. 11) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: a(Ðp1+; Ðp2+) b(Ðp1-; Ðp2+) g(Ðp1+; Ðp2+;) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani. Poiché i piani a e b, pur essendo collocati in due diedri opposti, presentano le tracce omonime parallele, per le relative condizioni di parallelismo, si deduce che essi sono paralleli e pertanto la relativa retta d’intersezione sarà una retta impropria cioè: (a Ç b) ® x¥ Data l’impossibilità di operare con questi due piani, sviluppiamo i passi dell’algoritmo grafico come nella figura dell’Es.11-a

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (8) Data l’impossibilità di operare con questi due piani, sviluppiamo i passi dell’algoritmo grafico come nella figura dell’Es.11-a Passo 1: intersezione tra a e g (t1a Çt1g) T1r r’ (t2a Çt2g) T2r r” Passo 2: intersezione tra b e g (t1b Çt1g) T1s s’ (t2b Çt2g) T2s s” Determinate le proiezioni delle due rette ne ricerchiamo il loro punto d’intersezione mediante lo sviluppo del terzo passaggio dell’algoritmo grafico

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (9) Passo 3: intersezione tra r ed s (r’ Ç s’) (r’ // s’) P’ ¥ (r Ç s) P¥ (r” Ç s”) (r” // s”) P” ¥ Poiché le rispettive proiezioni delle due rette sono parallele, in ossequio alla condizione di parallelismo tra rette, si evince che il relativo punto d’intersezione è un punto improprio P ¥ Verifica La verifica ci è fornita dalla retta impropria x¥ = (a Ç b) che, per sua natura, dovrà passare per P ¥. Si può concludere, quindi, che P ¥Î (a Ç b Ç g)

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (10) Esempio 12: Intersezione tra due piani di profilo a e b, tra loro paralleli, con il piano generico g. Assegnati i seguenti piani (Es. 12) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: a(^p1+; ^p2+) b(^p1+; ^p2+) g(Ðp1+; Ðp2+;) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani. Poiché i piani assegnati a e b sono paralleli il risultato della loro intersezione sarà una retta impropria, per cui avremmo: (aÇb) ® x¥ Non potendo sviluppare le operazioni per la ricerca del punto d’intersezione su questi due piani, i passi dell’algoritmo grafico verranno svolti come nella figura dell’Es. 12-a

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (11) Passo 1: intersezione tra a e g (t1a Çt1g) T1r r’ (t2a Çt2g) T2r r” Passo 2: intersezione tra b e g (t1b Çt1g) T1s s’ (t2b Çt2g) T2s s” Come evidenziato nell’immagine le proiezioni delle due rette r ed s appartenendo ai rispettivi piani di profilo a e b non consentono di sviluppare il terzo passo dell’algoritmo in quanto non è possibile determinare né l’orientamento né la posizione delle due rette, per cui l’esercizio si presenta insoluto Per rimuovere questo problema grafico operiamo il ribaltamento dei due piani di profilo a e b su p1 come mostrato nella figura dell’Es. 12-b

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (12) Ribaltando t2a su p1 determiniamo la posizione ribaltata della seconda traccia della retta (T2r) sulla linea di terra. Allo stesso modo ribaltando t2b su p1 si determina la posizione della (T2s) sulla linea di terra Collegando, poi, T1r con (T2r) si ottiene (r) che descrive sia la posizione che l’orientamento della retta nella sua posizione reale nello spazio del primo diedro. Allo stesso modo collegando, poi, T1s con (T2s) si ottiene (s) che descrive sia la posizione che l’orientamento della retta nella sua posizione reale nello spazio del primo diedro Definito quanto sopra è possibile applicare il terzo passo dell’algoritmo grafico intersecando le rette r ed s, che, in questo caso, vengono considerate nella posizione ribaltata. Dall’analisi grafica, che qualifica le due rette parallele (s)//(r), si evince che tali saranno anche le relative proiezioni per cui il terzo passo si svilupperà come di seguito

Passo 3: intersezione tra r ed s Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (13) Passo 3: intersezione tra r ed s Poiché le due rette nella posizione ribaltata su p1 sono parallele, tali saranno anche le rispettive proiezioni (r’//s’) ed (r’’//s’’) (r’Çs’) (r’//s’) P’ ¥ (r) // ( s) (rÇ s) P ¥ (r”Çs”) (r”//s”) P” ¥ Per questo motivo le relative intersezioni determineranno le proiezioni del punto improprio P ¥ L’operazione di ribaltamento dei piani a e b può essere eseguita anche su p2 come nella figura dell’Es.12-c. Si determineranno, così, le posizioni ribaltate (T1r) e (T1s) sulla linea di terra Collegando T2r con (T1r) e T2s con (T1s) si determina sia la posizione che l’orientamento delle due rette reali nello spazio del diedro.

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi sulla ricerca del punto improprio (14) Si evidenzia come, anche in questo caso, le due posizioni ribaltate su p2 sono parallele tra loro per cui tali saranno anche le rispettive proiezioni (r’//s’) ed (r’’//s’’) Passo 3: intersezione tra r ed s (r’ Ç s’) (r’ // s’) P’ ¥ (r) // ( s) (r Ç s) P ¥ (r” Ç s”) (r” // s”) P” ¥ Per questo motivo il passo 3 può essere applicato anche al risultato ottenuto dalle operazioni di ribaltamento dei due piani di profilo su p2 perché essendo parallele le rette ribaltate, tali saranno anche le rispettive proiezioni. Ciò conferma quanto già evidenziato nella figura dell’Es.12-b Si può concludere, quindi, che La verifica, implicita, della correttezza esecutiva ci è data dalla retta impropria x¥= (a Ç b) che, per sua natura dovrà passare per P ¥ P ¥Î (a Ç b Ç g)

Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito http://www.webalice.it/eliofragassi