Elevamento a potenza di G. CALVI

la moltiplicazione può essere vista come abbreviazione di un’addizione tra addendi uguali 4 + 4 + 4 = 4 ∙ 3 = 12 numeri.altervista.org di G. Calvi

Consideriamo ora moltiplicazioni di fattori uguali fra loro: Questa operazione può essere abbreviata con la scrittura dove 2 prende il nome di base e 4 è detto esponente L’operazione ora introdotta è detta elevamento a potenza numeri.altervista.org di G. Calvi

elevare a potenza un numero, significa moltiplicarlo per se stesso tante volte quando indica l'esponente numeri.altervista.org di G. Calvi

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Alcune proprietà delle potenze rendono più semplici calcoli Impariamole subito! numeri.altervista.org di G. Calvi

Si applica al prodotto di potenze che hanno la stessa base proprietà n. 1 Si applica al prodotto di potenze che hanno la stessa base Dobbiamo svolgere l’operazione: possiamo farlo utilizzando la definizione di potenza = ( 2 2 2 ) ( 2 2 ) = 2 2 2 2 2 3 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 2 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 5 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 possiamo farlo più brevemente scrivendo numeri.altervista.org di G. Calvi

Si applica al prodotto di potenze che hanno lo stesso esponente proprietà n. 2 Si applica al prodotto di potenze che hanno lo stesso esponente Dobbiamo svolgere l’operazione: possiamo farlo utilizzando la definizione di potenza = (2x2x2)x(3x3x3) = (2x3)(2x3)(2x3) 3 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 3 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 3 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 possiamo farlo più brevemente scrivendo numeri.altervista.org di G. Calvi

Si applica al quoziente di potenze che hanno la stessa base proprietà n. 3 Si applica al quoziente di potenze che hanno la stessa base Dobbiamo svolgere l’operazione: possiamo farlo utilizzando la definizione di potenza = ( 4x4x4x4x4 ) : ( 4x4x4 ) = 4x4 5 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 3 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 2 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 possiamo farlo più brevemente scrivendo numeri.altervista.org di G. Calvi

Si applica al quoziente di potenze che hanno lo stesso esponente proprietà n. 4 Si applica al quoziente di potenze che hanno lo stesso esponente Dobbiamo svolgere l’operazione: possiamo farlo utilizzando la definizione di potenza = (12x12x12) : (3x3x3) = (12 : 3)(12 : 3)(12 : 3) 3 𝑣𝑜𝑙𝑡e 3 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 3 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 possiamo farlo più brevemente scrivendo numeri.altervista.org di G. Calvi

La potenza di una potenza proprietà n. 5 La potenza di una potenza Dobbiamo svolgere l’operazione: possiamo farlo utilizzando la definizione di potenza = (2x2x2) X (2x2x2) = 2x2x2x2x2x2 3 𝑣𝑜𝑙𝑡e X 2 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 6 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 possiamo farlo più brevemente scrivendo numeri.altervista.org di G. Calvi

STESSA BASE PRODOTTO STESSO ESPONENTE STESSA BASE QUOZIENTE STESSO ESPONENTE POTENZA DI POTENZA

Due situazioni pericolose….. numeri.altervista.org di G. Calvi

cerchiamo di dare una risposta a questo interrogativo Per far questo consideriamo un esempio numerico : Possiamo svolgere i calcoli, utilizzando la definizione di potenza: Oppure applicando le proprietà appena studiate I due procedimenti, entrambi corretti, devono avere lo stesso risultato per cui concludiamo numeri.altervista.org di G. Calvi

Ma ricorda numeri.altervista.org di G. Calvi

cerchiamo di dare significato a questa scrittura Per far questo consideriamo un esempio : Possiamo svolgere i calcoli, utilizzando la definizione di potenza: Oppure applicando le proprietà appena studiate I due procedimenti, entrambi corretti, devono avere lo stesso risultato per cui concludiamo numeri.altervista.org di G. Calvi

Per calcolare una potenza con esponente negativo è necessario: elevare il reciproco della base all’opposto dell’esponente. numeri.altervista.org di G. Calvi

Potenze con base numeri.altervista.org di G. Calvi

base positiva base negativa Nessun problema svolgiamo i calcoli come nell’insieme dei Naturali base positiva ESPONENTE PARI  RISULTATO POSITIVO base negativa ESPONENTE DISPARI  RISULTATO NEGATIVO numeri.altervista.org di G. Calvi

Estensione del concetto di potenza Parte 2 Estensione del concetto di potenza numeri.altervista.org di G. Calvi

Facendo variare l’insieme a cui appartiene l’esponente Il nostro obiettivo è quello di estendere il concetto di elevamento a potenza, dando significato alla scrittura: Facendo variare l’insieme a cui appartiene l’esponente numeri.altervista.org di G. Calvi

esponente intero relativo esponente naturale esponente intero relativo esponente razionale positivo numeri.altervista.org di G. Calvi

Potenza ad esponente razionale positivo Anche in questo caso la definizione discende dalla necessità di mantenere valide le proprietà formali, in particolare la proprietà della potenza di potenza. Osserva questo esempio: avendo applicato la prop. della potenza di potenza è ugual ad un numero che elevato al quadrato da’ 2 cioè pertanto generalizzando arriviamo alla definizione numeri.altervista.org di G. Calvi

è possibile definire una potenza anche quando l'esponente è un numero reale arbitrario (quindi anche per esponenti irrazionali che non possono essere scritti come quoziente di due numeri interi, come ad esempio ). Ha un senso la potenza ? numeri.altervista.org di G. Calvi

A tal fine ricordiamo che ciascun numero irrazionale può essere approssimato da numeri razionali. Se come esponente vogliamo scegliere ad esempio , consideriamo la successione di numeri 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ... numeri.altervista.org di G. Calvi

Questi numeri si avvicinano sempre più a (più precisamente: possiamo avvicinarci a piacere a ), e sono tutti razionali (ad esempio 3.14 = 314/100 è quoziente di due numeri interi), quindi possono essere scelti come esponenti di una potenza. numeri.altervista.org di G. Calvi

Consideriamo adesso le potenze che possiamo formare con questi numeri volendo calcolare numeri.altervista.org di G. Calvi

N.B. le due successioni tendono allo stesso valore, tale valore è l’elemento separatore delle due classi di numeri.   La nostra argomentazione non è rigorosa dal punto di vista matematico, ma per il momento ci accontentiamo Forse la costruzione può sembrare un po' complicata, malgrado sia poco rigorosa. Il suo scopo non è il calcolo pratico - ciò sarà come sempre delegato al calcolatore elettronico . Scopo della nostra discussione era accertare (teoricamente) che il concetto di potenza con esponenti reali avesse un significato. numeri.altervista.org di G. Calvi