FRAZIONI CONTINUE

A COSA SERVONO? Le frazioni continue ci permettono di APPROSSIMARE IL VALORE DI UN NUMERO sia decimale periodico, che aperiodico, con semplici ed immediati passaggi. Ogni numero razionale si può rappresentare come frazione continua finita. Le frazioni continue possono essere rappresentate in due modi:

UN PO’ DI STORIA… Euclide Tradizionalmente si ritiene che le frazioni continue siano l’evoluzione grafica del noto METODO DI DIVISIONE EUCLIDEA ideato da EUCLIDE. L’origine di questa evoluzione grafica ha diviso i matematici: Alcuni ritengono che sia dovuta ad EULERO (1707-1783). Altri che sia dovuta al matematico indiano ARYABHATA, che le usò per risolvere un’equazione diofantea lineare nel 550. Altri matematici hanno studiato le frazioni continue PER APPROSSIMARE LE RADICI di alcuni numeri reali, fra i quali: Bombelli, Cataldi, Wallis (1616-1703), Lord Brouncker (1620-1684), Perron, Hermite, Gauss, Cauchy, Stieltijes, Brezinski e Jacobi.

REGOLA PRATICA PER LO SVILUPPO DI UNA FRAZIONE IN FRAZIONE CONTINUA Per trasformare una frazione positiva in frazione continua, basta calcolare il M.C.D. fra il numeratore ed il denominatore della frazione applicando le divisioni consecutive e scrivere la frazione continua che ha per elementi i quozienti che figurano nel calcolo del M.C.D. e nel medesimo ordine. Per capire meglio quanto detto guardiamo l’esempio con la frazione : Applichiamo le divisioni consecutive: 59:25=2 r9  25:9=2 r7  9:7=1 r2  7:2=3 r1  2:1=2 r0 Prendiamo i quozienti nel loro ordine: =[2,2,1,3,2] Il risultato ottenuto è un altro modo per esprimere: =2,36

METODO DI DIVISIONE EUCLIDEA Euclide elaborò la regola pratica per lo sviluppo di una frazione continua: costruì la frazione continua sommando i reciproci dei calcoli che aveva eseguito. Un esempio: =[2,2,1,3,2] ECCO COME:

ALCUNE DEFINIZIONI… DEFINIZIONE 1 Si chiama frazione continua (aritmetica) limitata una successione che scriviamo e con n (numero di elementi «a» sotto la frazione) un numero finito. DEFINIZIONE 2 Sia α un numero razionale e sia [a0, a1,··· ,an] una frazione continua finita. Se risulta Allora il numero razionale α si dice valore della frazione continua [a0,a1,a2,...,an] e si pone α = [a0,a1,··· ,an] α = a0 + 1 a 1 + 2 3 ··· + an

EQUAZIONI DIOFANTEE Le equazioni diofantee sono tutte quelle EQUAZIONI LINEARI INDETERMINATE con più incognite e coefficienti positivi. Furono studiate per la prima volta dal matematico greco Diofante. Le equazioni diofantee sono del tipo: ax – by = ±1 Per risolvere le equazioni diofantee è possibile usare le frazioni continue. TEOREMA L’equazione del tipo ax – by = ±1, dove a e b sono interi positivi primi fra loro, ha infinite soluzioni intere.

FRAZIONI CONTINUE ILLIMITATE È possibile rappresentare anche un numero irrazionale in forma di frazione continua, ma in questo caso l’espansione va avanti all’infinito invece di giungere ad una fine. Questo modo di scrivere i numeri irrazionali rende più semplice la memorizzazione. Per capire meglio analizziamo √3: √3= 1,73205080756887712......... Difficile da memorizzare!!! sotto forma di frazione continua è: √3 =[1,1,2,1,2,1,2,1,.........] =[1,1,2] È periodico!!! I risultati ottenuti sono solo approssimazioni, infatti ci sono i puntini.

FRAZIONI CONTINUE PERIODICHE Definizione 1 Una frazione continua aritmetica illimitata α = [a0,a1,a2,...] si definisce periodica se da un certo indice «i» in poi, gli interi ai si ripetono periodicamente. Definizione 2 Un numero complesso si definisce algebrico di ordine n se è radice di un’equazione algebrica di grado «n» a coefficienti interi anxn + ... + aixi + ... + a1x + a0 = 0 I numeri (reali) algebrici di secondo grado che sono soluzioni di equazioni della forma ax2 + bx + c = 0 con a,b,c ∈ Z, a ≠ 0, c ≠0 e b2 − 4ac > 0 si definiscono IRRAZIONALI QUADRATICI.

IRRAZIONALI QUADRATICI Definizione Gli irrazionali quadratici sono i più semplici numeri irrazionali, che sorgono come soluzioni di equazioni quadratiche con coefficienti interi. Per capire meglio analizziamo √2: √2=1,4142135624………….. Si sa che: Con la formula inversa calcoliamo: Sappiamo anche: Quindi: e Questi passaggi si ripeteranno sempre uguali:

CURIOSITÀ: CORREZIONE DEL CALENDARIO Ricordiamo che la differenza fra l’anno tropico di 365d5h48m49s e l’anno per uso civile, di soli 365d , è di 20929 secondi e che un giorno è formato da 86400 secondi. Sviluppando in frazione continua il rapporto , si ha: =[4,7,1,3,1,16,............(limitata)] Già dal primo elemento possiamo capire che ogni 4 anni i giorni saranno 1 in più. 86400 20929 86400 20929

LAVORO SVOLTO DA: La Mantia Luca