PROGETTO SIGMA a.s. 2017/18 DATI E PREVISIONI Dalla scuola dell'infanzia alla secondaria superiore Giochiamo con …. ….le combinazioni! Proposta di una sperimentazione in verticale

Il calcolo combinatorio è considerato un tema piuttosto impegnativo e quindi inadatto ad essere affrontato nella scuola dell’obbligo. Vogliamo invece mostrare, con le attività che vi proponiamo, come in realtà sia un argomento che può essere trattato anche in modo molto concreto e coinvolgente addirittura fin dalla scuola dell’ Infanzia e come possa sviluppare nei bambini e nei ragazzi la capacità di organizzarsi per riuscire a padroneggiare una situazione complessa.

In particolare vogliamo affrontare attività relative a quello che i matematici chiamano “principio fondamentale del calcolo combinatorio” cioè quel principio che ci permette, conoscendo il numero di modi in cui possono essere fatte alcune scelte,di ottenere il numero di tutte le possibili combinazioni.

Facciamo un esempio Supponiamo di dover ordinare al ristorante e che nel menù ci siano: - 3 primi pasta al ragù,tortellini in brodo,risotto con i funghi - 3 secondi bistecca alla brace, petto di pollo al limone, trota al forno - 2 dolci tiramisù,crostata

In quanti modi diversi possiamo fare l’ordinazione? Rappresentiamo la situazione con un “grafo ad albero”: Percorrendo i vari “rami” dell’albero abbiamo pasti diversi: per esempio seguendo le frecce in figura abbiamo ordinato pasta al ragù, bistecca, tiramisù.

Quindi, poiché ogni percorso-pasto termina nell’ultimo livello, per sapere quanti pasti diversi possiamo ordinare basta contare le “terminazioni” dell’albero, che nel nostro caso sono 18. Il numero delle “terminazioni” si ottiene quindi moltiplicando 3 (possibilità per la prima scelta) * 3 (possibilità per la seconda scelta)* 2 (possibilità per la terza scelta) Questo è il principio fondamentale del calcolo combinatorio.

La nostra sperimentazione La nostra sperimentazione consiste nel proporre attività sul principio fondamentale del calcolo combinatorio per la scuola dell’Infanzia, per la scuola Primaria , per la scuola secondaria di primo grado e di secondo grado che , in modo diverso in relazione all’età dei bambini e dei ragazzi, li aiutino a riflettere e a organizzarsi per risolvere una situazione “complessa”. E’ importante che i docenti osservino come i bambini o i ragazzi cercano di risolvere il problema proposto senza suggerire la soluzione, ma aiutandoli a scoprirla da soli.

Snow il pupazzo Vanitoso e il calcolo combinatorio SCUOLA DELL’INFANZIA Snow il pupazzo Vanitoso e il calcolo combinatorio

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Costruiamo un gioco comune IL GIOCO Costruiamo un gioco comune 12

In quanti modi posso vestire il mio pupazzo In quanti modi posso vestire il mio pupazzo? Registriamo ogni combinazione che troviamo

Costruiamo uno schema ad albero controlliamo se abbiamo trovato tutte le combinazioni

Come mi vesto a Carnevale? A Carnevale posso travestirmi scegliendo un cappello, un vestito e un paio di scarpe: posso scegliere tra tre cappelli diversi (fata, strega e mago), tre vestiti diversi (rosa, rosso e blu) e due paia di scarpe (grosse e eleganti).

In quanti modi diversi posso travestirmi?

Cominciamo a prendere il cappello di fata: possiamo metterci il vestito rosa con le scarpe grosse o il vestito rosa con le scarpe eleganti; possiamo metterci il vestito rosso con le scarpe grosse o il vestito rosso con le scarpe eleganti; possiamo metterci il vestito blu con le scarpe grosse o il vestito blu con le scarpe eleganti.

Quindi abbiamo 6 travestimenti diversi con il cappello da fata Quindi abbiamo 6 travestimenti diversi con il cappello da fata. Prendiamo poi il cappello da mago:anche in questo caso avremo 6 travestimenti diversi Prendiamo infine il cappello da strega: anche con questo cappello avremo 6 travestimenti diversi. Quindi avremo in tutto 6+6+6=18 travestimenti diversi!

SCUOLA PRIMARIA

E’ necessario (in relazione all’età degli alunni): - PORRE IL PROBLEMA e FORMULARE IPOTESI - SPERIMENTARE - RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE - TABULARE I DATI - VERIFICARE LE IPOTESI FORMULATE - ESTRAPOLARE REGOLE - PASSARE DALLA COMBINATORIA ALLA PROBABILITA’

Provo COME MI VESTO? COSA MANGIO? IN QUALE ORDINE USCIAMO?

Immagino LE BANBIERE DEI PIRATI I LETTI DEI NANETTI I TAPPETI DI ALADINO I FORZIERI DI ALI’ BABA’ APRITI SESAMO

Realizzo QUALI PAROLE POSSO OTTENERE Realizzo QUALI PAROLE POSSO OTTENERE? (parole da dividere in sillabe per formarne altre)

(gioco da inventare con schede e cartelle, in scatola) Che combinazione! (gioco da inventare con schede e cartelle, in scatola)

LIBRO-GAME STORIA-GAM (tre personaggi, due ambienti, tre oggetti magici, due antagonisti)

Costruisco - DOMINO da realizzare - DADI da disegnare, ritagliare, montare - LANCIO DI DADI

SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO

Vacanza studio all’estero!

Supponiamo di poter scegliere: - di soggiornare in tre città europee per migliorare la conoscenza delle tre principali lingue straniere come Barcellona (per lo spagnolo), Parigi (per il francese) o Londra (per l’inglese) - il mezzo di trasporto che potrebbe essere il pulman, il treno oppure l’areo - infine il periodo: durante le vacanze estive oppure in inverno durante le vacanze natalizie Con questi presupposti in quanti modi diversi è possibile organizzare il nostro soggiorno all’estero?

… proviamo a costruire “l’albero” delle combinazioni possibili estate inverno aereo treno pulman Barcellona Londra Parigi scuola

ma quante sono tutte le combinazioni delle possibili vacanze studio? … percorrendo ogni ramo dell’albero abbiamo tutte le combinazioni delle possibili gite, ad esempio, seguendo il ramo colorato andiamo a Barcellona con il treno durante le vacanze estive ma quante sono tutte le combinazioni delle possibili vacanze studio? Basta contare il numero delle terminazioni dei rami del nostro albero e scopriamo che nel nostro caso sono 18!

… ma noi grandi matematici non possiamo sempre fare alberi e contare una ad una le terminazioni dei loro rami! Scopriamo come calcolare questo numero dunque, considerando che abbiamo: 3 possibili città 3 possibili mezzi di trasporto e 2 possibili stagioni per andare in gita … trovato! Basta fare ……………

Indovina la password! Inseriamo una password a protezione di un file (con la successione di comandi strumenti-opzioni-protezione se usiamo Word altrimenti introducendola a livello di salvataggio se usiamo Open Office) in cui per esempio avremo scritto soltanto “Avete indovinato la password…bravi!”. Proponiamo agli studenti di scoprire la pw per aprire il file….. Naturalmente dobbiamo stabilire il numero dei caratteri della pw, se ci possono essere solo numeri o anche lettere con ripetizione o meno.. Si può partire con pw semplici, per esempio di 3 cifre scelte tra le cifre1,2,3,4 eventualmente ripetute: già così abbiamo 4*4*4=64 pw diverse!

SUGGERIMENTI Può essere divertente per gli studenti stabilire essi stessi la pw di protezione di un loro file, sfidandosi per esempio a coppie : è importante che comunichino alla coppia avversaria la modalità di costruzione della pw e che le pw siano della stessa difficoltà (per esempio una pw di tre lettere scelte tra a,b,c,d ha la stessa difficoltà di una pw di 3 cifre scelte tra 1,2,3,4). E’ comunque fondamentale che comprendano l’importanza di procedere utilizzando un “metodo” per scrivere tutte le possibili pw fino ad arrivare a quella giusta! Sarebbe interessante proporre ai ragazzi di descrivere per scritto il metodo o la strategia seguita per evitare di inserire pw a caso e poi discuterne tutti insieme.

SCUOLA SECONDARIA DI SECONDO GRADO

Codici segreti Questa attività può essere svolta in una classe seconda della scuola secondaria superiore come introduzione al calcolo combinatorio e al calcolo delle probabilità. Si presuppone che gli studenti conoscano, dalla scuola media, la definizione classica di probabilità di un evento come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili(tutti ugualmente probabili)

L’insegnante pone agli studenti, divisi in gruppi di lavoro, il seguente problema: “Qual è la probabilità, al primo tentativo, di scoprire un codice di cinque cifre scelte tra le dieci cifre 0,1,2….9?” Può darsi che qualche studente chieda subito se le cifre si possono ripetere oppure no: l’insegnante risponderà allora che si devono distinguere i due casi.

Caso in cui le cifre non si possono ripetere Dalla discussione collettiva alla fine dovrebbe emergere che un buon metodo per visualizzare tutti i possibili codici che si possono formare è quello di un “grafo ad albero”. Per scegliere la prima cifra ho tutte le dieci cifre a disposizione, per scegliere la seconda cifra, se non devo ripetere le cifre, ho solo nove cifre , per scegliere la terza cifra ho otto cifre possibili e così via ottengo codici diversi! Cioè una probabilità dello 0,0033% !

e quindi una probabilità dello 0,001% ! Caso in cui le cifre si possono ripetere Per la prima cifra ho 10 possibilità, ma avrò 10 possibilità anche per la seconda cifra visto che posso ripetere le cifre e così via fino alla quinta cifra e quindi diversi possibili codici! In questo caso la probabilità di indovinare un codice al primo colpo sarà ancora più bassa: e quindi una probabilità dello 0,001% !

Giochiamo al lotto! Ricordiamo che nel gioco del LOTTO vengono estratti (su ciascuna Ruota) 5 numeri scelti tra i numeri da 1 a 90. Se gioco un numero al LOTTO su una determinata ruota qual è la probabilità di vincere? (si parla di probabilità di vincere un “estratto semplice”) Nota storica E’ interessante far ricercare agli studenti le origini storiche del gioco del LOTTO: nel XVI secolo a Genova venivano estratti a sorte, tra 90 candidati, i cinque “Reggitori” che dovevano governare la Repubblica. Poiché su questa estrazione la popolazione effettuava scommesse il gioco fu regolamentato.

In quanti modi diversi possono essere estratti i 5 numeri In quanti modi diversi possono essere estratti i 5 numeri? Bisogna guidare gli studenti ad osservare che questa situazione è diversa da quella del codice segreto (o della pw) perché nel codice è importante l’ordine in cui si susseguono i numeri mentre se per esempio vengono estratti i numeri 23 45 1 33 20 l’ordine dei numeri estratti non è affatto importante e se anche fossero stati estratti in diversa successione avrei sempre gli stessi 5 numeri estratti. Quindi il primo numero potrebbe essere uno dei cinque (5 possibilità), il secondo numero potrebbe essere uno dei 4 rimanenti e così via….cioè avrei modi diversi di avere sempre estratto gli stessi 5 numeri. Quindi per trovare quanti gruppi di cinque numeri (cioè il numero delle combinazioni di cinque numeri che si possono formare scegliendoli tra 90 numeri ) devo dividere per

Ma allora come si calcola la probabilità di vincere un estratto semplice? Abbiamo visto che tutti i casi possibili sono Ma quanti sono i casi favorevoli? Occorre pensare che possono esserci tanti gruppi di 5 numeri che contengono il numero che ho giocato io: se per esempio ho giocato il 90 gli altri 4 numeri usciti possono essere 4 numeri tra i rimanenti 89 numeri cioè le combinazioni di 4 oggetti scelti tra 89 oggetti cioè Quindi abbiamo

Un ultimo spunto Si può trarre spunto da questa attività sul gioco del lotto per parlare del concetto di GIOCO EQUO. Un gioco tra due giocatori A e B (oppure un giocatore e il banco) che scommettono su un evento E (A scommette su E , B scommette sul non verificarsi di E cioè sull’evento contrario che viene indicato con ), si dice equo quando la somma rischiata da A e la somma rischiata da B (cioè il guadagno di A) sono nello stesso rapporto delle rispettive probabilità di vincere di A e di B cioè nello stesso rapporto tra i casi favorevoli e sfavorevoli ad E Nota: se per esempio nel lancio di un dado scommetto sull’evento “esce il 6” se rischio 10 euro devo guadagnare 50 euro perché il gioco sia equo poiché c’è 1 caso favorevole e 5 sfavorevoli

Se il gioco del Lotto fosse un gioco EQUO quanto dovrebbe essere pagato l’estratto semplice? Poiché la probabilità di vincere è 1/18 e quindi la probabilità di perdere è 17/18 dovrei guadagnare 17 volte quello che ho rischiato (la “posta”) e quindi l’estratto semplice dovrebbe essere pagato 18 volte la posta . Invece l’estratto-semplice viene pagato solo 11,232 volte la posta! Nello stesso modo si può controllare, con il calcolo delle probabilità, che anche l’ambo, il terno, la quaterna e la cinquina vengono pagati molto meno di quello che dovrebbero perché il gioco fosse equo. Si capisce così che il gioco del LOTTO, come del resto tutti giochi d’azzardo, non è un gioco equo e che quindi non conviene giocare al Lotto!