Bilancio di energia o legge di conservazione dell’energia Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia o legge di conservazione dell’energia Si applica la legge di conservazione dell’energia ad un piccolo elemento di volume DxDyDz che si fa tendere a dxdydz Dz dz dy dx Dy Dx Calore in ingresso La legge di conservazione dell’energia è una estensione del primo principio della termodinamica DU = Q + W Lavoro compiuto sul sistema dall’esterno Variazione di energia interna

Bilancio di energia o legge di conservazione dell’energia Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia o legge di conservazione dell’energia Si considera un volume fisso nello spazio attraverso il quale passa un fluido Velocità di accumulo dell’energia cinetica e interna Velocità di IN-OUT dell’energia cinetica e interna per convezione Velocità di IN-OUT del calore per conduzione Lavoro compiuto nella unità di tempo sul sistema da meccanismi molecolari (viscosità pressione) = + + Lavoro compiuto nella unità di tempo sul sistema da forze di volume (gravità) + IN –OUT attraverso le superfici Processi molecolari Forze di volume

Bilancio di energia o legge di conservazione dell’energia Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia o legge di conservazione dell’energia In pratica è il primo principio della termodinamica scritto per un sistema aperto En. cinetica per unità di volume L’energia cinetica è associata al moto del fluido Per energia interna si intende quella cinetica delle molecole calcolata rispetto al moto complessivo del fluido (moto traslazionale disordinato), quella associata al moto rotazionale e vibrazionale nonché quella dovuta alla interazione delle molecole stesse L’energia potenziale non compare esplicitamente perché si è preferito esprimere il termine di lavoro compiuto dalla forza gravitazionale Altri termini di generazione di energia per processi chimici, elettrici o nucleari non compaiono nella eq. precedente e verranno inseriti se del caso

Bilancio di energia: accumulo Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: accumulo Velocità di accumulo dell’energia cinetica e interna Energia interna per unità di massa Energia cinetica e interna per unità di volume = Dz Dy Dx

Bilancio di energia: termine di scambio attraverso le superfici Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: termine di scambio attraverso le superfici Velocità di IN-OUT dell’energia attraverso le superfici del volume di controllo Il vettore e (flusso di energia combinata) rappresenta il flusso dell’energia che entra/esce attraverso le superfici che delimitano il volume e comprende: trasporto convettivo di energia cinetica ed interna trasporto di calore per conduzione lavoro associato a processi molecolari (pressione e tensioni) Dz Dy Dx

Bilancio di energia: forze di volume Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: forze di volume Forze di volume Lavoro compiuto dalle forze di volume (gravità) nell’unità di tempo

Scrittura del bilancio di energia Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Scrittura del bilancio di energia Si esplicitano i diversi termini nella equazione di bilancio di energia Si divide per il volume DxDyDz

Scrittura del bilancio di energia Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Scrittura del bilancio di energia Si porta al limite per DxDyDz  0 In forma più compatta Lavoro compiuto nell’unità di tempo dalla forza di gravità per unità di volume Velocità di accumulo di en. cinetica e interna per unità di volume Velocità di IN-OUT dell’energia attraverso le superfici per unità di volume

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e e = flusso di energia combinata rappresenta il flusso di tutte le forme di energia che vengono scambiate attraverso le superfici del volume di controllo Il termine e comprende: trasporto convettivo di energia cinetica ed interna trasporto diffusivo di energia (conduzione) lavoro associato a processi molecolari (pressione e tensioni) Dz Dy Dx

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e 1 Trasporto convettivo di energia cinetica ed interna La portata di una qualunque grandezza A, dovuta al trasporto convettivo, attraverso la superficie dS ortogonale a x è data da: v z y x dS Concentrazione di A Portata volumetrica Concentrazione di A x Portata volumetrica = portata di A = [A/t]

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e 1 trasporto convettivo della energia cinetica ed interna Portata di energia cinetica e interna lungo x Energia cinetica e energia interna per unità di volume Portata volumetrica lungo x Flusso di energia cinetica e interna attraverso dS

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e 2 Trasporto di energia per diffusione (conduzione) flusso diffusivo del calore da legge di Fourier

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e 3 Lavoro compiuto nell’unità di tempo dalle forze che agiscono sulle superfici del volume (meccanismi molecolari) forza che agisce su un corpo spostamento Lavoro compiuto dalla forza Lavoro compiuto nell’unità di tempo = Velocità di compimento del lavoro

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e 3 Lavoro compiuto nell’unità di tempo dalle forze che agiscono sulle superfici del volume (meccanismi molecolari) Forza per unità di superficie esercitata sulla faccia di normale x dal fluido a x inferiore v z y x Il fluido a x inferiore esercita una forza PxdS sul fluido a x maggiore attraverso la superficie dS di normale x dS Px Forza esercitata dal fluido a x inferiore sulla superficie di normale x

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Se vogliamo scrivere il lavoro compiuto nell’unità di tempo dalle forze che agiscono sulla faccia di normale x avremo Che può essere scritto come Lavoro compiuto attraverso la faccia di normale x nell’unità di tempo Forza per unità di superficie esercitata sulla faccia di normale x

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Si può scrivere la stessa equazione per le altre facce del volume di controllo Lavoro compiuto attraverso la faccia di normale x Lavoro compiuto attraverso la faccia di normale y Lavoro compiuto attraverso la faccia di normale z Le tensioni sul nostro volume di controllo sono descritte da 9 componenti Tensore totale degli sforzi molecolari Si può definire

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Tensore totale degli sforzi molecolari Abbiamo definito Possiamo anche definire un tensore come sommatoria delle sue componenti (costituite da uno scalare) associate a coppie ordinate delle coordinate Un vettore può essere espresso come:

Prodotto diadico Tensore Vedi appendice A Bird-Stewart-Lightfoot Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Prodotto diadico Tensore Vedi appendice A Bird-Stewart-Lightfoot

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Definendo il prodotto di un tensore per un vettore Come prodotto righe per colonne Che fornisce il vettore Si ottiene il vettore del lavoro per unità di superficie compiuto attraverso le superfici del volume di controllo Lavoro compiuto sulla faccia di normale x

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Nota bene

Bilancio di energia: flusso combinato e Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Flusso di energia combinata Lavoro nell’unità di tempo per unità di superficie Flusso diffusivo (conduzione) Flusso di energia cinetica e interna Dividiamo il tensore degli sforzi in sforzi di pressione e sforzi dovuti ai gradienti di velocità Tensore totale degli sforzi molecolari Pressione Tensore degli sforzi viscosi

Scrittura della eq. di conservazione dell’energia Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Scrittura della eq. di conservazione dell’energia Avevamo ricavato Si ottiene quindi

Bilancio di energia per un osservatore fisso nello spazio Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia rispetto ad osservatore fisso. Coordinate euleriane Abbiamo ottenuto quindi: Lavoro/tempo compiuto dalle forze di volume per unità di volume Velocità di out-in dell’energia per unità di volume per convezione Velocità di out-in dell’energia per unità di volume per diffusione Velocità di accumulo dell’energia per unità di volume out-in Lavoro/tempo compiuto dalle forze di pressione per unità di volume out-in Lavoro/tempo compiuto dalle forze viscose per unità di volume Bilancio di energia per un osservatore fisso nello spazio

Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane In coordinate euleriane Portando a sinistra il primo termine e mettiamo r in evidenza si ha: Dimostriamo che:

Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane La derivata rispetto al tempo del primo termine è facendo il prodotto scalare nel secondo termine si ha e facendo le derivate spaziali si ha

Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane abbiamo ottenuto in forma vettoriale quindi

Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane Possiamo quindi dire Mettendo in evidenza i fattori comuni = 0 Eq. di continuità

Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane In conclusione la eq. di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane è

Eq. di conservazione della energia termica Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Eq. di conservazione della energia termica Se sottraiamo alla equazione di bilancio di energia la eq. di bilancio della energia meccanica Velocità di in-out dell’energia per unità di volume per diffusione si ottiene: Trasformazione irreversibile degli sforzi viscosi in energia interna per unità di volume. Per fluidi newtoniani Trasformazione reversibile di energia meccanica in energia interna per unità di volume (compressione/espansione) Velocità di accumulo dell’energia interna per unità di volume

Equazione dell’energia termica Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione dell’energia termica Velocità di IN-OUT per conduzione dell’energia interna per unità di volume Velocità di accumulo dell’energia interna per unità di volume Velocità reversibile di aumento dell’energia interna per unità di volume per effetto della compressione Velocità irreversibile di aumento dell’energia interna per unità di volume per effetto della dissipazione viscosa

Confronto eq. energia termica e eq. en. meccanica Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Confronto eq. energia termica e eq. en. meccanica Confrontando le due equazioni si osserva che ci sono 2 termini comuni che compaiono con segni opposti Eq. energia termica Eq. en. meccanica Il primo rappresenta la trasformazione reciproca delle energie meccanica e termica. Può essere positivo o negativo (espansione o compressione) Il secondo: è sempre positivo (fluidi newtoniani) e rappresenta la degradazione irreversibile della energia meccanica (dissipazione viscosa) in termica

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Prodotto scalare di due tensoriConfronto eq. energia termica e eq. en. meccanica