Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Introduzione Un fluido a T0 entra in un tubo di lunghezza L mantenuto a T1 r T1 T0 z L Sistema di equazioni (Navier-Stokes + energia) Le variabili v e T compaiono in entrambe e quindi le equazioni sono concatenate. Ipotesi: ρ e μ variano poco con T (equazione di NS risolvibile senza bilancio di energia)

Eq. del moto e di energia Il profilo di v è: L’eq. dell’energia Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Eq. del moto e di energia Il profilo di v è: L’eq. dell’energia Br << 1 In condizioni stazionarie Adimensionalizzando

Eq. del moto e di energia Adimensionalizzando Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Eq. del moto e di energia Adimensionalizzando moltiplicando e dividendo per Velocità out-in energia per convezione Velocità out-in energia per conduzione Velocità out-in energia per convezione lungo z Velocità out-in energia per conduzione lungo z Velocità out-in energia per conduzione lungo R

Eq. del moto e di energia Se Pe >>1 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Eq. del moto e di energia Se Pe >>1 Si trascura la conduzione lungo z rispetto alla convezione lungo z Se trascurassimo anche la conduzione lungo R avremmo T=T(z) ossia T costante lungo z

Eq. del moto e di energia L’equazione è quindi Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Eq. del moto e di energia L’equazione è quindi Introducendo il profilo parabolico di v Si ha B.C. NO B.C. per z=L N.B. La semplificazione effettuata ha ridotto il numero di BC da imporre

Adimensionalizzazione Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Adimensionalizzazione Variabili adimensionali ponendo L’equazione

Adimensionalizzazione Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Adimensionalizzazione Gz = numero di Graetz Significato fisico Tempo di permanenza Tempo caratteristico per la conduzione per penetrare fino a R Gz >> 1 td >> tp lo scambio termico è limitato a uno strato vicino alla parete

Adimensionalizzazione Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Adimensionalizzazione Gz = numero di Graetz

Soluzione per Gz >> 1: tubi corti Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per Gz >> 1: tubi corti r r L T1 T0 z T1 T0 T Tempo necessario al processo di conduzione per penetrare fino a R Tempo di permanenza Se Gz >> 1 il fluido non permane un tempo sufficiente nel tubo e il fenomeno di scambio termico avviene solo per r ≈ R Si può quindi trascurare la curvatura e scrivere l’equazione in coordinate cartesiane y T0 T T1

Soluzione per Gz >> 1: tubi corti Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per Gz >> 1: tubi corti r r L T1 T0 z T1 T0 T Il nuovo sistema di coordinate è asse cilindro y R r y =R-r T0 y T1 T

Soluzione per Gz >> 1: tubi corti Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per Gz >> 1: tubi corti Profilo di v nelle nuove coordinate y =R-r r =R-y Per cui l’equazione diventa Se Gz >> 1 la T cambia solo in uno spessore molto vicino alla parete per cui è possibile linearizzare il profilo di v

Soluzione per Gz >> 1: tubi corti Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per Gz >> 1: tubi corti Introducendo il profilo di v Nella equazione dell’energia adimensionalizzando

Soluzione per Gz >> 1: tubi corti Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per Gz >> 1: tubi corti B.C. La ultima condizione può essere sostituita da In questo modo la prima e la terza condizione possono essere combinate in una sola condizione attraverso il metodo di combinazione delle variabili La soluzione porta al profilo di temperatura e soprattutto al calcolo di h Valida per Gz > 50

Soluzione per tubi lunghi Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per tubi lunghi r ΔT2 ΔT1 z Immaginiamo che dopo un breve tratto il trasporto di calore per conduzione sia arrivato al centro e quindi in tutto il tubo il profilo sia ben sviluppato. Ipotizziamo di considerare due sezioni a cui sia ΔT1 il doppio di ΔT2 Poiché ΔT1 = 2 ΔT2 sarà anche e quindi h indipendente da z. Infatti per Gz < 5 Nu  3.9

Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti T variabile alla parete - Definizione di h, T e A L T0= T della parete Tb = T media di corrente del fluido Tb2 Tb1 Q = h DL T T02 T01

Q = portata volumetrica Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti - T media di corrente (cup-mixing) dr dA=2prdr r v=v(r) T=T(r) v e T costanti in dA R Q = portata volumetrica v costante A=pR2 T cup-mixing

Convezione forzata in condotti (tubi): DTln Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti (tubi): DTln Bilancio differenziale su un tratto dz L Tb2 Tb1 Bilancio globale T0 T0 Uguagliando 1 e 2 Ipotesi semplificativa T0=costante Integrando se hloc= costante In genere se T01  T02

In caso di sezione circolare risulta Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti E’ conveniente utilizzare hln perché dipende meno degli altri dal rapporto L/D Nell’utilizzare i valori del coefficiente di trasmissione termica riportati in letteratura è necessario fare attenzione alla definizione del coefficiente La sezione del condotto potrebbe essere di diverse geometrie (circolare, quadrata, rettangolare …). La dimensione caratteristica (nel numero di Nusselt) è L = 4 (Sezione/perimetro bagnato) In caso di sezione circolare risulta

Convezione forzata in condotti - Analisi dimensionale Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti - Analisi dimensionale Assumendo che le proprietà del fluido rimangano costanti l’analisi dimensionale dell’eq. di bilancio di energia per un fluido che si muove in un condotto ci fornisce come risultato

Convezione forzata in condotti - Calcolo di h o Q Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti - Calcolo di h o Q Condizioni fluidodinamiche Moto laminare (Re < 2100)  di scarso interesse Zona di transizione (2100 < Re < 10000)  male interpretata Moto turbolento (Re > 10000)  di interesse Strumenti di calcolo Correlazioni semi empiriche Analogia di Reynolds - Analogia di Colburn

Convezione forzata in condotti - Correlazioni Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti - Correlazioni correzione di Sieder-Tate che tiene conto della variazione di m con T in genere poco rilevante Per Re > 104 Perry eq. 5-50a Per moto altamente turbolento Reb > 2  104 Bird eq.13.2-16 G=ru velocità di massa N.B. Le proprietà del fluido sono valutate - alla media della T media di corrente Tb =(Tb1+Tb2)/2 (ad es. kb) - alla T media di parete (T01+T02)/2 (esempio 0)

Convezione forzata in condotti - Correlazioni Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti - Correlazioni Per valori elevati di Re Middleman eq. 12.3.3 St = numero di Stanton Valida per 3 x103 < Re < 106 0.46 < Pr < 59

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata oggetti sommersi e condotti – valutazione delle proprietà del fluido Oggetti sommersi: in genere le proprietà del fluido vengono valutate a T film Moto in condotti : Esistono diverse T di riferimento Tb= temperatura del fluido e T0 = temperatura della sup solida entrambe in genere variabili tra in e out Le correlazioni dovrebbero specificare a quale T le proprietà vanno valutate In genere le proprietà del fluido sono valutate alla media della T media di corrente