I movimenti e la congruenza

Trasformazioni Varianti Invarianti Studiare una trasformazione geometrica significa prendere in esame i cambiamenti che ha prodotto nella figura trasformata e ciò che invece ha lasciato inalterato. Si chiama trasformazione geometrica un qualsiasi procedimento che permette di ottenere da una figura data F un’altra figura F’ i cui punti sono in corrispondenza biunivoca con quella data. La figura F’ si dice trasformata o corrispondente nella trasformazione considerata. Le proprietà geometriche di una figura (forma, dimensioni e posizione) che in una trasformazione non cambiano prendono il nome di invarianti della trasformazione, quelle che invece cambiano prendono il nome di varianti della trasformazione.

Congruenza e isometrie Due figure sono congruenti se sovrapposte coincidono perfettamente. Due figure congruenti hanno le stesse misure, cioè: due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza; Due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza; Due figure piane congruenti hanno la stessa estensione. Figure congruenti Possiamo quindi dire che: La congruenza è una relazione fra due figure piane che mantiene invariate la forma e l’estensione. Essa mantiene quindi uguale la lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli corrispondenti, ma ne varia la posizione.

Congruenza e isometrie La congruenza è una particolare trasformazione geometrica che non varia la forma e le dimensioni delle figure ma ne varia la posizione. invarianti varianti Forma Dimensione Posizione Congruenza Tutte le trasformazioni geometriche che, come la congruenza, hanno come invarianti la forma e le dimensioni delle figure prendono il nome di trasformazioni isometriche o isometrie.

Congruenza e isometrie Per verificare che due figure sono congruenti, basta spostarne una sull’altra. Spostamenti di questo tipo sono detti movimenti rigidi delle figure e possono essere: Traslazioni Rotazioni Simmetrie P P P

Congruenza e isometrie Possiamo considerare due diversi tipi di movimenti rigidi in grado di produrre isometrie: Quelli che si compiono sul piano stesso dove giace la figura, cioè la traslazione e la rotazione, che vengono detti movimenti diretti. 2. Quelli che si compiono uscendo dal piano in cui giacciono le figure, cioè le simmetrie, che vengono detti movimenti inversi. P P

La traslazione verso u Consideriamo un segmento orientato, che indicheremo con u; esso ha una lunghezza precisa (modulo), una direzione e un verso di percorrenza. Un segmento di questo tipo si chiama vettore. modulo direzione Dato un punto A e un vettore u, disegniamo il corrispondente A’ di A secondo il vettore u nel seguente modo: Con origine nel punto A disegniamo un segmento uguale, in modulo, direzione e verso, al vettore u; L’estremo di questo segmento è il punto A’, corrispondente di A. u A La traslazione è un movimento diretto individuato da un vettore che ne stabilisce modulo, direzione e verso di spostamento nel piano. A’

La rotazione La rotazione è un movimento diretto individuato da un punto fisso O, detto centro di rotazione, e da un angolo orientato che ne stabilisce l’ampiezza e il verso di spostamento nel piano. Il punto A’ si dice corrispondente di A nella rotazione R. Data la rotazione R, individuata dal centro O e dall’angolo α di ampiezza 90°, proviamo ora a costruire la figura F’, corrispondente di una figura F assegnata, secondo la rotazione R. O C 90° A F B’ B F’ C’ Una rotazione stabilisce fra i punti del piano una corrispondenza biunivoca che dà origine a una isometria. Due figure ottenute per rotazione sono direttamente congruenti. A’

La simmetria assiale La simmetria assiale è un movimento inverso individuato da una retta a, detta asse della simmetria Sa. a Data una figura F e un asse, proviamo a disegnare la figura F’ corrispondente di F nella simmetria assiale di asse a. Se proviamo a spostare con il mouse la figura F per sovrapporla alla figura F’, ci accorgiamo che per farle coincidere perfettamente dobbiamo ribaltare la F, F ed F’ sono quindi inversamente congruenti. D D’ A A’ F’ F C C’ B’ B Possiamo allora dire che: Una simmetria assiale stabilisce fra i punti del piano una corrispondenza biunivoca che dà origine a una isometria. Due figure ottenute per simmetria assiale sono inversamente congruenti.

Figure geometriche e simmetria Figura Nome Assi di simmetria Triangolo isoscele 1 Rettangolo 2 Triangolo equilatero 3 Quadrato 4 Trapezio isoscele Rombo

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