Parte XXVII: Cenni di Analisi di Fourier Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte XXVII: Cenni di Analisi di Fourier Vettori e loro decomposizione Funzioni periodiche Serie di Fourier di seni e coseni Serie di esponenziali Convergenza e tagli ad alta frequenza Funzioni aperiodiche e trasformate di Fourier Trasformate di Fourier come limite delle serie Monocromaticità di un segnale Il principio di Indeterminazione

Vettori e loro decomposizione Assegnato un vettore, è ben noto che può essere rappresentato in termini delle sue componenti sugli assi coordinati (per esempio cartesiani): Questa semplice operazione è possibile solo perché siamo stati capaci di definire un set di vettori e l’operazione di prodotto scalare: Rispetto a questa operazione gli elementi del set godono delle proprietà di ortonormalità e completezza

Alcune osservazioni sulle formule precedenti L’operazione prodotto scalare (in gergo più tecnico prodotto interno) è proprio l’operazione che permette di definire le componenti del vettore Sostituendo nella rappresentazione del vettore si ottiene una identità a causa della proprietà di ortonormalità Il significato di componente di un vettore (rapportata al modulo), Vn, è quello di misura di quanto il vettore assegnato sia parallelo alla direzione corrispondente n. Tecnicamente la rappresentazione del vettore è una combinazione lineare; si dice che il set è una base ed i versori del set sono linearmente indipendenti La scelta del set è arbitraria, in quanto si può scegliere un altro riferimento con gli assi ruotati, un'altra origine, un diverso sistema di coordinate (e.g. polari). Non cambia, comunque, la struttura del procedimento né il significato delle componenti, ma solo il loro valore numerico.

L’utilità pratica dello sviluppo sta nel fatto che spesso conviene studiare separatamente l’evoluzione delle singole componenti piuttosto che il vettore tutto. Per esempio il moto di un proiettile nel campo della gravità conviene studiarlo decomponendo il vettore posizione lungo le due direzioni linearmente indipendenti x e y, quindi interpetrando il moto come una sovrapposizione di un moto rettilineo uniforme (lungo x) e un moto rettilineo uniformemente accelerato (lungo y). Si noti che tale decomposizione non solo facilita i calcoli, ma consente una base di interpretazione fisica del fenomeno. Il concetto di sovrapposizione precedente, va a volte sotto il nome di Principio di Sovrapposizione. La composizione e decomposizione del moto bi e tridimensionale è, tuttavia, solo un caso possibile. Infatti, se le leggi fisiche che descrivono un fenomeno danno luogo ad equazioni differenziali (di solito) lineari, come è ben noto, combinazioni lineari di soluzioni note sono ancora soluzioni delle stesse equazioni (altre condizioni al contorno, altri vincoli). Ne segue che casi più complicati possono essere costruiti o composti come sovrapposizione di casi più semplici. Il procedimento studiato è autocontenuto. Ciò fa intuire che sia applicabile anche ad oggetti matematici che non siano vettori. In particolare è estendibile al caso di funzioni, e cioè: una qualunque funzione potrebbe essere sviluppabile in termini di combinazione lineare di altre, a condizione di poter definire un prodotto interno ed un set di funzioni di base che sia ortonormale e completo rispetto a tale operazione.

Funzioni periodiche Una funzione periodica, f(t), gode della proprietà di riassumere lo stesso valore se alla variabile indipendente, t, si somma un multiplo intero del periodo T. In formule: Esempi di funzioni periodiche sono sin(nwt) o cos(nwt), dove la pulsazione fontdamentale è definita da Si noti che il periodo di sin(nwt) (cos(nwt)) è in realtà il sottotmultiplo di T, T/n, ma, come è facile verificare, ogni funzione che abbia una periodicità T/n si ripete anche con periodicità T Qualunque funzione periodica può sempre essere pensata come come una ripetizione di oscillazioni complicate attorno ad un valor medio e potrebbe avere punti di singolarità e/o discontinuità

Serie di Fourier di seni e coseni In completa analogia con lo sviluppo di un vettore nelle sue componenti cartesiane possiamo pensare di costruire un set di funzioni linearmente indipendenti e il corrispondente prodotto interno, in modo da poter rappresentare una funzione periodica come combinazione lineare delle funzioni del set. Notiamo che il set è ortonormale rispetto alla seguente operazione * È molto più difficile dimostrare che il set è anche completo, il che è però abbastanza Intuitivo se si pensa che n->. Se lo diamo per buono segue che Nota: l’ elemento ½ viene aggiunto per un motivo puramente tecnico: se n=0 cosnwt=1 e mentre sinnwt=0

Sempre in completa analogia potremo rappresentare f(t) come combinazione lineare degli elementi del set dove Abbiamo cioè espresso i coefficienti della combinazione lineare, detta Serie di Fourier, per mezzo del prodotto interno. F0 è il valor medio attorno al quale la funzione oscilla. Notare che se sostituiamo nelle espressioni dei coefficienti la formula della Serie, queste si riducono ad una identità, a causa delle relazioni di ortonormalità

Osservazioni sulle formule precedenti Abbiamo applicato una procedura del tutto analoga a quella descritta per i vettori Abbiamo trovato un modo per rappresentare una funzione periodica arbitraria in termini delle sue componenti Fn(c) e Fn(s) Il significato della singola componente di Fourier Fk è quello di una misura di quanto la funzione f(t) sia periodica con periodo T/n, o meglio quanto assomigli alla funzione sinnwt (cosnwt). Data la linearità delle equazioni viste, se una equazione differenziale lineare ammette soluzioni del tipo Fcoskwt anche la funzione f(t) sarà una possibile soluzione Se l' equazione differenziale cui si riferisce l’osservazione precedente non è omogenea ed il termine noto è una funzione periodica (p. es. il moto di un'altalena spinta da una forza impulsiva periodica) tale equazione può essere decomposta in un set di equazioni indipendenti, nelle quali il termine noto è del tipo  Fcoskwt . La soluzione vera sarà costruibile, allora, tramite le singole soluzioni indipendenti, come una serie di Fourier di quest'ultime. Ciò è in analogia con la decomposizione del moto tridimensionale nelle sue componenti vettoriali (cfr. Oss.6 del paragrafo precedente). Si noti che se la funzione f(t) è pari (dispari), cioè f(-t)=f(t) (f(-t)=-f(t)), allora solo i coefficienti della serie dei coseni (seni) saranno non nulli. I punti di singolarità o discontinuità della funzione sembrano essere scomparsi dalla. Tuttavia essi sono presenti e descritti dal fatto che le sommatorie sono estese fino ad 

Serie di Fourier di esponenziali Se si cambia sistema di riferimento, il set di base che ci consente di rappresentare il vettore cambia. Il nuovo set può essere rappresentato in termini dei vecchi vettori (e viceversa) Anche le funzioni seno e coseno possono essere rappresentate come combinazioni lineari di altre: gli esponenziali di argomento immaginario Si può pertanto applicare la stessa procedura di prima usando queste nuove funzioni per rappresentare le funzioni periodiche: Relazione di ortonormalità Coefficienti di Fourier

Serie di Fourier In buona sostanza non cambia granché rispetto al caso della serie di seni e coseni salvo che Le componenti armoniche sono dei numeri complessi Se f(t) è reale la serie deve ridursi ad un numero reale con la cancellazione di tutte le parti immaginarie; 3) Le formule sono molto più compatte;

Convergenza e tagli ad alta frequenza Una funzione periodica che presenta singolarità o discontinuità (e.g. onda quadra) non è trattabile analiticamente. La sua rappresentazione in serie di Fourier, tuttavia, può consentire una decomposizione in termini di funzioni continue e quindi ne facilita il trattamento. Il problema però e che le sommatorie che danno la serie vanno estese fino ad un numero elevato di termini e la convergenza della serie può essere anche molto lenta. Se consideriamo l’onda quadra possiamo calcolare facilmente le componenti armoniche:

Un po’ più complicato è il calcolo delle ampiezze dei seni I risultati sono diversi per n pari o dispari: Si ottiene:

Dente di sega Onda Triangolare Onda Triangolare Alternata Onda Triangolare Alternata

Le serie di Fourier sono un potentissimo algoritmo per rappresentare con semplici funzioni analitiche (seno e coseno) funzioni periodiche che presentino singolarità e/o discontinuità. Non è tuttavia possibile calcolarle numericamente esattamente poiché non si può materialmente estendere il loro calcolo ad un numero infinito di componenti.  Ciononostante si può ottenere una rappresentazione qualitativa o semi-quantitativa corretta della funzione anche con poche componenti armoniche In pratica, qualunque serie può essere calcolata solo introducendo un taglio per le alte frequenze. Ciò è assolutamente analogo al comportamento, per esempio, di un altoparlante acustico, la cui membrana non può vibrare con frequenze troppo elevate; In sostanza, un taglio delle alte frequenze può essere visto come una perdita di risoluzione dell'apparato che realizza il calcolo della serie; Spesso una descrizione approssimata di un fenomeno fisico (modello) può essere interpetrata come un taglio delle frequenze più alte, e,  quindi, come una perdita di risoluzione del modello

Funzioni aperiodiche e trasformate di Fourier In parecchi fenomeni fisici intervengono funzioni che per gli scopi pratici possono essere ritenute periodiche. Per esempio il moto di una altalena sospinta da una forza periodica o il moto di oscillazione di un cristallo di quarzo in un orologio elettronico o, ancora, il passaggio di una corrente alternata in un circuito LC serie. Ma rigorosamente una funzione periodica è f(t)=f(t+nT) dove n deve poter assumere valori positivi e negativi arbitrariamente grandi. Ciò vuol dire che un fenomeno fisico è periodico solo se è iniziato da un tempo infinito e durerà per l'eternità. Pertanto la periodicità è di norma una eccezione nei fenomeni naturali, visto che di solito questi hanno un inizio ed una fine. Come vedremo, in un fenomeno che ha inizio ad un determinato istante finito e che termina ad un altro, pur essendo perfettamente periodico in tutto l'intervallo di tempo, non è possibile ritrovare una ed una sola periodicità Come conseguenza l'utilità degli sviluppi in serie illustrati nel paragrafo precedente in fisica è limitata ai soli fenomeni a regime, ma vale la pena di chiedersi se esista un modo di estendere le considerazioni fatte prima al caso di funzioni impulsive o aperiodiche, ovvero se sia possibile rappresentare una funzione aperiodica in termini di combinazione lineare di funzioni più semplici, ovvero una generalizzazione di combinazione lineare. Queste trasformazioni lineari vanno sotto il nome di trasformate di Fourier.

Trasformate di Fourier come limite delle serie Consideriamo una funzione aperiodica Definendo T>t possiamo definire una funzione periodica g(t)=g(t+T) che coincida con f(t) nell’intervallo descritto ma che si ripeta periodicamente T

La funzione g(t) può essere rappresentata in serie di Fourier e osserviamo che nel limite T-> f(t)g(t) Le virgolette stanno ad indicare che il limite va inteso in maniera particolare: infatti La pulsazione fondamentale w tende a zero in questo limite Con l’introduzione del set di funzioni di base abbiamo introdotto due successioni fra loro in corrispondenza biunivoca L’insieme dei valori {wn} è costituito da numeri reali a spaziatura costante wn wn+1 wn-1 Dw Nel limite T-> Dw tenderà a zero! Di conseguenza la successione {wn} tenderà ad assumere tutti i valori reali: diventerà la variabile reale w.

Corrispondentemente la successione {Gn} diventerà una funzione continua (complessa) della variabile w e due valori “adiacenti” differiranno della quantità infinitesima È intuitivo che la serie si trasformerà in un integrale Balza agli occhi che la relazione fra f(t) ed F(w) sono, a parte un banale fattore (1/2p), assolutamente simmetriche. F(w) è la trasformata di Fourier di f(t). Spesso f(t) è detta l’antitrasformata di F(w). Le variabili t ed w si dicono coniugate.

Osservazioni sulle trasformate di Fourier Il significato di F(w) è in qualche modo analogo a quello delle componenti di Fourier: F(w)dw dice quanto le periodicità comprese tra  w e  w +d w sono rilevanti per la funzione f(t). Per esempio se F(w) fosse molto piccola per tutti i valori di  w, tranne che per un piccolo intervallo attorno al valore w0 (-w 0), e lí prendesse valori molto elevati la funzione f(t) sarebbe una funzione praticamente monocromatica, cioè una sinusoide di pulsazione w 0 (periodica) Data la dualità delle equazioni vale anche il viceversa: se f(t) è non nulla solo in un intervallo molto piccolo Dt , la sua trasformata di Fourier F(w) sarà non nulla e grande in un intervallo di frequenze molto esteso, pari a  DW=2p/Dt L‘osservazione ci porta a concludere che qualunque sia la funzione f(t), purché esista F(w), il prodotto di DW per Dt non può essere minore di una costante (diseguaglianza di Cauchy-Schwartz): Come vedremo da ciò discende il Principio di Indeterminazione

Trasformata di Fourier La funzione assegnata non è monocromatica!!

Tagli ad alta frequenza Se si vuole ricalcolare dalla trasformata l’antitrasformata, spesso bisogna eseguire l’integrale numericamente L’ultimo passaggio viene fuori perché bisogna necessariamente stabilire un estremo superiore di integrazione. Ciò produce un effetto di troncamento simile a quello delle serie di Fourier

Funzione Rect

Pacchetto d’onde ad ampiezza modulata

Relazione col Principio di Indeterminazione La disequazione È la formulazione matematica del Principio di Indeterminazione Dt può essere intesa come l'incertezza temporale nell'accadimento di un fenomeno impulsivo come l'emissione di un fotone da parte di un atomo, e, corrispondentemente, DW sarà l'incertezza nella frequenza del fotone emesso. Ora, definendo E= w , dove  =h/2p con h la Costante di Planck, si avrà: Da questa equazione si deduce che se si può misurare esattamente la frequenza del fotone, cioè si ha un'onda rigorosamente monocromatica, non è possibile conoscere l'istante in cui il fotone viene emesso. Ovvero, se si conosce l'istante di emissione del fotone, cioè il fenomeno è localizzato temporalmente, allora non se ne può stabilire l'energia, cioè non si può localizzare il fenomeno nello spazio delle frequenze. Quanto affermato ha un preciso riscontro sperimentale nella larghezza intrinseca delle righe di emissione e assorbimento degli spettri atomici.