VERSO IL TEOREMA DI PITAGORA di Clara Colombo Bozzolo Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018 1 1

A Clara Colombo Bozzolo per le sue grandi dote professionali e umane La scuola dovrebbe... Promuovere la flessibilità di pensiero Favorire un approccio dinamico alla geometria, che prenda in carico il movimento, che non tema i cambiamenti e le trasformazioni, purché siano controllate e controllabili... Ricostruire la matematica Tutti gli elementi che non sono essenziali alla struttura del concetto devono essere variati per mettere in luce ciò che è costante, ovvero il concetto. (Dienes, 1966 matematico) Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018 2

Verso il Teorema di Pitagora Di Clara Colombo Bozzolo Teorema di Pitagora in forma problematica L’itinerario proposto può essere usato in quinta primaria per il ripasso dell’insieme dei triangoli , con particolare attenzione alla loro classificazione rispetto ai lati e rispetto agli angoli alla scuola secondaria, all’inizio della classe seconda, come premessa alla trattazione, con dimostrazione, del teorema di Pitagora. Il problema che si presenta permette, inoltre, l’introduzione della similitudine dei triangoli attraverso l’omotetia. Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora PREREQUISITI: saper classificare i triangoli rispetto ai lati e rispetto agli angoli conoscere la somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo saper usare il goniometro conoscere i legami tra le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli di un triangolo (a lati uguali sono opposti angoli uguali, a lati diversi angoli diversi) conoscere la terminologia relativa ai triangoli rettangoli saper calcolare l’area del quadrato, data la lunghezza del lato. Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Il problema si suddivide in due sotto problemi: 1°Problema : Conoscendo, in un triangolo, l’ampiezza di due angoli è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? 2°Problema : Conoscendo, in un triangolo, le lunghezze dei tre lati è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora 1°Problema Siamo partiti da un caso particolare: Di un triangolo ABC sai che: •il lato AB è lungo 8cm •gli angoli di vertici A e B sono ampi rispettivamente 60° e 70°. Disegna il triangolo . Calcola l’ampiezza dell’angolo di vertice C senza usare il goniometro. Classifica il triangolo rispetto ai lati e rispetto agli angoli e giustifica le risposte che dai. Il triangolo è: acutangolo perché ha tre angoli acuti scaleno perché ad angoli diversi si oppongono lati diversi (Nella figura disegnata le misure lineari e angolari date non sono rispettate). Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Discussione: Se non ti avessi dato la lunghezza di AB, avresti potuto classificare il triangolo rispetto agli angoli? si, no Perché? ........................ rispetto ai lati? si, no Perché? ........................ ( Segna con una crocetta la risposta giusta). Completa la prima tabella che segue e disegna i sette triangoli m,n,p,q,r,s,t che in essa compaiono. Per ognuno di essi disegna il lato AB di 6cm. Determina l’ampiezza dell’angolo di vertice C con un calcolo, poi controlla, usando il goniometro, se il calcolo che hai fatto è corretto. ( I disegni richiesti e il controllo dell’ampiezza dell’angolo di vertice C servono anche per verificare se l’allievo sa usare il goniometro in modo corretto). Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018 1°Problema : Conoscendo, in un triangolo, l’ampiezza di due angoli è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? triangolo misura ampiezza in gradi dell’angolo  il triangolo ABC rispetto ABC A B C ? agli angoli è ai lati è   m 70 60 50 acutangolo scaleno   n 40 100 ottusangolo isoscele p 20 90 rettangolo   q isosc. equil.   r 45   s 30 110   t 80 triangolo misura ampiezza in gradi dell’angolo  il triangolo ABC rispetto ABC Â B Ĉ ? agli angoli è ai lati è   m 70 60   n 40 100 p 20   q   r 45   s 30   t 80 Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Completa la seconda tabella. triangolo acutangolo rettangolo ottusangolo scaleno m p s isoscele equilatero q non equil. t r n Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora DOMANDA: Se non ti avessi dato la lunghezza del lato AB avresti potuto disegnare i sette triangoli? Un alunno dice immediatamente di “no” perché, giustifica, “mancherebbe il lato su cui appoggiare i due angoli da disegnare”. Altri allievi sono incerti, altri, pochi, sono convinti che la lunghezza di AB può essere scelta a piacere perché affermano “cambia la grandezza del triangolo ma non le sue qualità rispetto ai lati e agli angoli, perché non cambiano gli angoli”. Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Un allievo propone: “ Ognuno di noi sceglie per il lato AB la lunghezza che vuole, ma una diversa dall’altra, ridisegniamo i sette triangoli e vediamo che cosa succede”. Poiché gli allievi sono 20 si dividono in tre gruppi e ogni gruppo sceglie per il lato AB una lunghezza a piacere ( diversa da 6cm). Gli alunni scelgono numeri naturali, precisamente: 4cm, 8cm, 10cm . Naturalmente ogni gruppo e non ogni alunno, disegna, con la misura scelta, i sette triangoli in triplice copia. I disegni vengono fatti fare su fogli colorati: 4cm giallo 8cm rosso 10cm azzurro Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Finito il disegno si osservano i 28 triangoli ottenuti (compresi i sette triangoli iniziali con il lato di 6cm e tracciati su carta bianca) e si chiede agli alunni di mettere assieme, uno per ogni colore, “quelli che, secondo loro, si assomigliano ” anche se non sono “grandi uguali”. La scelta non presenta difficoltà. Dicono gli alunni: “Abbiamo messo assieme quelli che, grandi o piccoli, hanno la stessa forma”. Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Consideriamo il triangolo ottusangolo scaleno con gli angoli ampi 30° e 40° e vediamo i disegni corrispondenti (in scala 1:2) alle quattro lunghezze del lato AB: 4cm, 6cm, 8cm e 10cm. (Nella figura disegnata le misure lineari date non sono rispettate). Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Si dispongono i triangoli in modo che si corrispondano in una omotetia. Se gli alunni conoscono già questa trasformazione si lasciano liberi di lavorare in gruppo, altrimenti si guidano a scoprire come disporli perché esista una omotetia che trasformi l’uno nell’altro. Lavorando con i triangoli ritagliati si scoprono facilmente le tre possibilità (i colori diversi facilitano l’attività). Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Il centro dell’omotetia può essere esterno alle figure, sul loro contorno o interno ad esse Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora CONCLUSIONE Quando di un triangolo conosciamo l’ampiezza di due angoli possiamo determinare l’ampiezza del terzo angolo e quindi possiamo classificare tale triangolo sia rispetto agli angoli, sia rispetto ai lati. Se vogliamo disegnarlo ne troviamo tantissimi perché possiamo scegliere la lunghezza di un lato a piacere. Questi triangoli che disegniamo hanno però tutti la stessa forma, ognuno è l’ingrandimento o il rimpicciolimento di un altro: si dice che sono triangoli simili .” Se vogliamo disegnare tutti lo stesso triangolo dobbiamo fissare l’ampiezza di due angoli e scegliere tutti la stessa lunghezza per il lato su cui appoggiano i due angoli ” . Alla scuola secondaria si può passare a considerare sia i criteri di congruenza che quelli di similitudine tra triangoli. Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora 2°Problema : Conoscendo, in un triangolo, le lunghezze dei tre lati è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? Anche per la risoluzione di questo problema siamo partiti da un caso particolare. Di un triangolo ABC sai che i lati AB, BC, AC sono lunghi rispettivamente 7cm, 5cm, 6cm . Disegna il triangolo, usando righello e compasso, e classificalo sia rispetto ai lati che rispetto agli angoli. Rispetto ai lati il triangolo è scaleno. Rispetto agli angoli il triangolo è…. Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Si apre una discussione sulle ampiezze angolari. Parecchi alunni sono del parere che, per decidere, sarebbe meglio misurare con il goniometro l’ampiezza degli angoli. Si mettono al lavoro: alcuni ne misurano solo due, altri ne misurano tre ma, alla fine, nonostante le ampiezze trovate non siano per tutti le stesse, gli alunni sono tutti d’accordo nell’affermare che il triangolo dato è acutangolo. Alla domanda dell’insegnante “ Le ampiezze che avete letto sul goniometro sono sicure ?” Alcuni rispondono subito affermativamente altri dicono che forse non sono proprio giuste, ma quasi ...... e che quindi del goniometro ci si può fidare. Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Completa la tabella usando, se necessario, il goniometro dopo aver disegnato ogni triangolo (le parti in corsivo devono essere scritte dagli alunni): triang. lunghezza in cm di ogni lato ampiezza, in gradi di ogni angolo il triangolo ABC rispetto  ABC AB BC AC C A B ai lati è agli angoli è  e 6,5 60 isosc.eq. acutangolo  f 6 8 10 scaleno g 4,2 5,6 7  h isoscele  i 4 8,5 Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora I disegni degli allievi sono spesso imprecisi, le misure trovate con il goniometro anche. Succede quindi che, in alcuni casi, un triangolo sia ottusangolo per alcuni, rettangolo o acutangolo per altri. Nella tabella proposta i casi in cui non vi è stato accordo sono stati, come prevedibile, il g (tr.rettangolo) e l’h ( tr. ottusangolo). h g Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora I matematici hanno scoperto “una regola” che permette di risolvere il problema di cui ci stiamo occupando. Invece di lavorare sulle lunghezze dei lati provate a considerare il quadrato di tali lunghezze e a confrontare il quadrato maggiore con la somma degli altri due”. Misura dei lati in cm Quadrato della misura dei lati in cm2 5 6 7 25 36 49 8 10 64 100 4,2 5,6 17,64 31,36 4 8,5 16 72,25 ... Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Gli allievi hanno discusso ogni caso e hanno concluso, a parole, quello che ora noi presentiamo in simboli: Siano a,b,c ( a ≥ b ≥ c) le lunghezze dei lati di un triangolo, si ha: Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora DOMANDA “In geometria, il quadrato della misura di una lunghezza in centimetri che cosa rappresenta? ” RISPOSTA “La misura, in centimetri quadrati, dell’area del quadrato il cui lato ha la lunghezza considerata”. Siamo allora passati ad una verifica grafica delle uguaglianze e disuguaglianze sopra scritte. Prima però abbiamo, come sempre, ribadito agli alunni che noi abbiamo verificato “ queste regole” in un numero finito di casi, facendo anche riferimento al disegno che è un modello impreciso, ma che i matematici hanno dimostrato che queste regole (teoremi), per i triangoli, valgono sempre. Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Triangolo rettangolo Misura, in cm, della lunghezza dei lati Misura, in cm2, dell’ area dei quadrati costruiti sui lati AB BC CA AB2 BC2 CA2 10 6 8 100 36 64 100 = 36 + 64 Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Triangolo rettangolo Costruzione: Dal centro O di uno dei quadrati costruiti sui cateti si tracciano le parallele ai lati del quadrato costruito sull’ipotenusa. Si ottengono così i quattro quadrilateri congruenti m, n, s, t. Si dispongono assieme al quadrato q , come in figura, nel quadrato di lato AB. Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Triangolo acutangolo Misura, in cm, della lunghezza dei lati Misura, in cm2, dell’ area dei quadrati costruiti sui lati AB BC CA AB2 BC2 CA2 7 6 5 49 36 25 49 < 36 + 25 Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Triangolo acutangolo Per la costruzione si procede come per il triangolo rettangolo. I quadrilateri m, n, s, t non sono contenuti nel quadrato di lato AB (tratteggiato nella seconda figura). Per sistemarli in tale quadrato dovrei in parte sovrapporli e il quadrato q’ da essi individuato risulta allora meno esteso del quadrato q; quindi, complessivamente, le figure m, n, s, t, q sono più estese del quadrato di lato AB. Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Triangolo ottusangolo Misura, in cm, della lunghezza dei lati Misura, in cm2, dell’ area dei quadrati costruiti sui lati AB BC CA AB2 BC2 CA2 8,5 4 6 72,25 16 36 72,25 > 16 + 36 Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Verso il Teorema di Pitagora Triangolo ottusangolo Si procede come negli altri due casi. Il disegno mette chiaramente in evidenza la disuguaglianza sopra scritta. Alla scuola secondaria di primo grado si presenta successivamente qualche dimostrazione del Teorema di Pitagora. Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Lavoro disegnato con GeoGebra Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018

Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018 Grazie per l’attenzione Albero di Pitagora dagli appunti di Clara Dova Patrizia "Incontro con la matematica" 24 ottobre 2018