Introduzione alle sezioni coniche a cura di Elisabetta Boselli – elisabetta.boselli@rcm.inet.it
CONO vertice Solido delimitato da una superficie co-nica ad una falda e da un piano che tagli tutte le generatrici. Cono retto ad una falda a base circolare generatrice cono a base circolare: la curva direttrice è una cir-conferenza cono retto: perché la ret-ta che congiunge il verti-ce con il centro della cir-conferenza di base è per-pendicolare al piano che la contiene altezza La prima definizione si riferisce fondamentalmente alla nozione che gli studenti hanno comunemente del cono, espressa però in termini a loro non familiari; un collegamento permette di poter passare ad una scheda che spiega il significato di superficie conica a una falda; si passa subito all’esempio di cono a loro più noto (quello circolare retto) che verrà usato sostanzialmente come unico riferimento da qui in avanti curva direttrice
Superficie conica a due falde Nello spazio tridimen-sionale, è il luogo geo-metrico dei punti appar-tenenti alle rette che passano per un punto V dato, detto vertice del cono, e per un punto di una curva data, detta direttrice. curva direttrice retta generatrice V Ognuna delle rette considerate si dice generatrice.
Sezioni coniche Sono le diverse figure piane che si ottengono dall’intersezione tra una superficie conica a due falde ed un piano. Per semplicità, negli e-sempi utilizzeremo una sup. conica (a due fal-de) circolare e retta. α retta generatrice V Diremo asse del cono la retta per V perpendicolare al piano della circonferen-za direttrice. L’angolo α formato dalla retta generatrice e dal suo asse è l’apertura del cono.
Ellisse retta generatrice Se l’angolo (convesso) che il piano di sezione forma con l’asse del cono è mag-giore di α, avremo che l’a-pertura del cono è minore dell’inclinazione del piano La curva ottenuta sarà chiusa e si dirà ellisse (in greco, il termine ‘ellisse’ significa ‘mancare’); se il piano forma con l’asse un angolo retto, si otterrà una circonferenza. α
Parabola retta generatrice Se l’angolo (convesso) che il piano di sezione forma con l’asse del cono è congruente ad α, avremo che l’apertura del cono è uguale all’inclina-zione del piano La curva ottenuta sarà aperta e si dirà parabola (in greco, il termine ‘parabola’ significa ‘eguagliare’). V α
Iperbole retta generatrice Se l’angolo (convesso) che il piano di sezione forma con l’asse del cono è minore di α, avremo che l’apertura del cono è maggiore dell’incli-nazione del piano: accade così che il piano intersechi entrambe le falde del cono La curva ottenuta sarà aperta e, poiché il piano di sezione interseca entrambe le falde del cono, risulterà formata da due diversi rami: tale curva si dirà iperbole (in greco, questo termine signi-fica ‘oltrepassare’). retta generatrice α
Cenni storici la scoperta delle coniche (solo più tardi chiamate ellisse, iperbole, parabola) viene attribuita a Menecmo: vissuto in-torno al 350 a.C., fu allievo di Eudosso e maestro di Ales-sandro Magno tra le opere perdute di Euclide (circa 300 a.C.) ve n’è una dedicata alle coniche è del 225 a.C. ca. il trattato di Apollonio sulle Coniche, il più importante dell’antichità sull’argomento: dimostra che tutte e tre le varietà di coniche si possono ottenere da un unico tipo di cono (non necessariamente retto) e introduce il cono a due falde nonché i nomi dei diversi tipi di coni-che
Un’importante osservazione…. Vale il seguente TEOREMA: Si consideri un’equazione di secondo grado in due in-cognite, la cui forma generale è la seguente: ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0, a,b,c,d,e,f R L’insieme delle soluzioni reali (formate da coppie di numeri reali) di ogni equazione di questo tipo, se non è vuoto, è rappresentato sul piano cartesiano da una coni-ca (eventualmente degenere). E viceversa: ogni conica ha come espressione algebrica un’equazione di questo tipo. FINE
Superficie conica a una falda Nello spazio tridimen-sionale, è il luogo geo-metrico dei punti appar-tenenti alle semirette che passano per un punto V dato, detto vertice del cono, e per un punto di una curva data, detta direttrice. Ognuna di queste semi-rette si dice generatrice. V semiretta generatrice curva direttrice