Relazioni base per l’estensimetro K = fattore di taratura  = deformazione griglia R= resistenza griglia R= variazione resistenza griglia Evidenziando il contributo delle varie componenti di deformazione si ha Kt=fattore di taratura trasversale Ks=fattore di taratura per deformazione a taglio t = deformazione trasversale griglia t = deformazione angolare a taglio della griglia Ka = fattore di taratura assiale a = deformazione assiale griglia R= resistenza griglia R= variazione resistenza griglia

Di norma il termine Ks0 Mentre nel caso monodimensionale (es. provino sottoposto a trazione) si può scrivere: Si introduce infine il parametro sensibilità trasversale dell’estensimetro definito come: La relazione della variazione relativa di resistenza diviene allora:

La variazione di resistenza degli estensimetri è rilevata grazie al ponte di Wheatstone di cui si riportano le relazioni principali Nelle seguenti ipotesi: 1) piccole variazioni di resistenza 2) ponte inizialmente equilibrato Per la sovrapposizione degli effetti si ha: Variazioni di resistenza su rami opposti si sommano Variazioni di resistenza su rami contigui si sottraggono

Caratteristiche estensimetro: K=2.0550.5% Ro=120 0.3%  Nella figura è riportato il concio di un tirante a sezione circolare cava, di una struttura reticolare. Su tale tirante vengono collocati quattro estensimetri per la misura del carico F in direzione assiale. 1) Indicare la collocazione e l’orientazione degli estensimetri sul tirante e la disposizione sul ponte di misura giustificando la scelta. 2) Determinare lo sforzo normale F corrispondente ad una lettura di 10.0 mV di sbilanciamento con il ponte alimentato a 10.0 V D=26 mm d=0.8 inc E=205 Gpa =0.30 Caratteristiche estensimetro: K=2.0550.5% Ro=120 0.3% 

Estensimetro 1 e 3 Estensimetro 2 e 4 Lo stato di tensione associato ad una sollecitazione monodimensionale di trazione sul provino da luogo in una qualsiasi sezione ortogonale all’asse del provino ad una tensione normale  costante nella sezione considerata e pari a: Si disporranno quindi 2 estensimetri lungo l’asse longitudinale (su due generatrici opposte del cilindro), e tali trasduttori saranno collegati su rami opposti nel ponte di Wheastone (R1 e R3) (il segnale si somma), mentre gli ulteriori 2 estensimetri (R2 e R4) saranno disposti ortogonalmente all’asse della sollecitazione e permetteranno di compensare gli ingressi interferenti dovuti alla temperatura.

Se sul provino agisse una sollecitazione di momento flettente giacente su un piano passante sull’asse del provino e sugli estensimetri 1 e 3, la deformazione conseguente a tale sollecitazione non darebbe luogo ad uno sbilanciamento del ponte di Wheatstone: in questo caso gli estensimetri 1 e 3 sono sottoposti a deformazioni uguali in modulo ma di segno opposto, il conseguente sbilanciamento del ponte di Wheatstone, visto il collegamento di R1 e R2, risulta quindi, per tale componente di sollecitazione, nullo. La disposizione a ponte completo così come indicata nel caso in esame consente: 1) fornire il segnale massimo 2) compensare gli effetti della temperatura 3) eliminare gli effetti dell’eventuale presenza del momento flettente Nell’eventualità siano disponibili 2 soli estensimetri (collegamento a 1/2 ponte) da porsi su due rami adiacenti del ponte di Wheatstone, gli estensimetri da scegliere sono il nr. 1 e 2 oppure il nr. 3 e 4, le altre combinazioni a 1/2 ponte fornirebbero segnale nullo. La disposizione a 1/2 ponte completo così come indicata nelle righe precedenti porta a: 1) fornire il segnale pari alla metà di quello rilevato nel caso di ponte intero 2) compensare gli effetti della temperatura 3) gli effetti di un eventuale momento flettente sono misurati e sommati al contributo dato dalla forza di trazione F

Ricordando le modalità di collegamento degli estensimetri a ponte intero esposte in precedenza si avrà: Estensimetro 1 e 3 deformazione cui è sottoposto: Estensimetro 2 e 4 deformazione cui è sottoposto: Quindi le variazioni sui singoli rami del ponte di Wheatstone risulteranno Supponendo di impiegare estensimetri uguali, e quindi con lo stesso fattore di taratura K, dalla relazione per il calcolo dello sbilanciamento dl ponte di Wheatstone si ottiene:

Noto pertanto lo sbilanciamento di 10mV del ponte di Wheatstone è possibile ricavare il conseguente valore della deformazione, in particolare si ottiene: Nota la relazione che esprime la deformazione attesa sul provino in funzione della forza esterna applicata F, impiegando unità di misura fra loro congrue si ricava:

Effetti della temperatura nelle misure di deformazione con estensimetri elettrici Dalla relazione che fornisce la resistenza elettrica per l’estensimetro elettrico, si può scrivere, dopo opportuna differenziazione: Termine che tiene conto delle variazioni specifiche di resistività del materiale (termine piezoresistivo) Coefficiente poisson materiale griglia La temperatura costituisce un importante ingresso di disturbo nelle misure di deformazione tramite estensimetri elettrici, si possono distinguere i seguenti casi: a) ingresso di disturbo di natura interferente: provoca variazioni dirette della resistenza facendo variare: 1) la resistività del filo, 2) la lunghezza della griglia a causa delle dilatazioni differenziali fra griglia e materiale su cui l’estensimetro è incollato Si manifestano poi delle variazioni di resistenza dei cavi di collegamento tra i lati del ponte sempre a causa delle variazioni di temperatura b) ingresso di disturbo di natura modificante: 1) connesso alla dipendenza del termine piezoresistivo dalla temperatura

Stima dell’effetto interferente della temperatura Data una variazione di temperatura t si possono calcolare le variazioni di resistenza dell’estensimetro. 1) La variazione di resistività risulta pari a: Ove 0 è la resistività alla temperatura di riferimento e e è il coefficiente termico per la resistività La variazione di resistenza sarà allora pari a: 2) inoltre l’estensimetro subisce una deformazione l a causa della differenza tra il coefficiente di dilatazione del materiale su cui è incollato l’estensimetro m e quello del materiale di cui è costituita la griglia g: Per la definizione di deformazione e del fattore di taratura degli estensimetri si potrà scrivere

Di conseguenza l’effetto interferente della temperatura su una misura di deformazione eseguita con estensimetri elettrici si può stimare dalla somma dei due contributi valutati in precedenza, si ha: Il che è equivalente ad una deformazione fittizia di Effetto modificante Un secondo effetto della temperatura è di tipo modificante ed è connesso alla dipendenza dalla temperatura del termine piezoresistivo che compare nella formula del fattore di taratura K. I materiali comunemente adottati per gli estensimetri elettrici a resistenza, e in particolare la costantana, manifestano un ridotto contributo piezoresistivo al fattore di taratura, di conseguenza anche l’effetto modificante non ha rilevanza nell’impiego a temperatura ambiente, in particolare indicata con tamb=24 °C per un campo di temperature compreso in 25°C rispetto tamb, l’eventuale correzione da apportare al fattore di taratura è minore del 0.5% e quindi dello stesso ordine di grandezza dell’incertezza con cui è noto tale parametro. L’impiego di estensimetri elettrici in campi di temperatura esterni all’intervallo indicato richiede la correzione del fattore di taratura per mezzo di appositi diagrammi forniti dal costruttore dell’estensimetro.

Influenza della variazione di temperatura sui cavi di collegamento I cavi di collegamento tra i vari lati del ponte possono, talvolta, essere lunghi anche diversi metri di conseguenza una variazione di temperatura ne determina una variazione di resistenza che conduce ad uno sbilanciamento del ponte di Wheatstone con la possibilità di interpretare tale sbilanciamento come causato da una deformazione rilevata dagli estensimetri. Il coefficiente di temperatura per la resistività del metallo base della griglia è di norma modesto (ad es. 2010-6 °C-1) mentre per il rame tale valore è circa pari a 410-3 °C-1 le variazioni di temperatura sono di un fattore 1000 più cospicue. Esempio Un conduttore lungo 10m, di sezione 0.5 mm2, la sua resistenza è di circa 0.35, per una variazione di 5 °C la corrispondente variazione di resistenza diventa: Cui corrisponde, assumendo che tale conduttore sia collegato all’estensimetro in esame, una deformazione apparente di: Come si vedrà a breve questo genere di disturbo è comunque eliminabile con la connessione 3 fili.

Tecniche di riduzione dei disturbi dovuti alla variazione di temperatura nelle misure di deformazione con estensimetri elettrici Gli ingressi di disturbo di tipo interferente di possono compensare sfruttando le caratteristiche del ponte di Wheatstone, ricordando cioè: variazioni relative di resistenza su lati opposti si sommano variazioni relative di resistenza su lati adiacenti si sottraggono Nel caso dei disturbi che riguardano direttamente l’estensimetro la strategia consta quindi nel porre su un ramo adiacente all’estensimetro di misura un analogo estensimetro (estensimetro compensatore) incollato su una barretta dello stesso materiale in esame, non gravato da forzanti esterne, ma posto alla stessa temperatura. Oppure l’estensimetro compensatore può essere incollato accanto all’estensimetro attivo ma secondo una direzione a cui corrisponda una deformazione di segno opposto a quello dell’estensimetro attivo (caso della flessione su trave incastrata ad un estremo e libera all’altro) Per compensare gli effetti dovuti alla resistenza dei cavi si impiega la stessa strategia, nel collegamento a 3 cavi. Va sottolineato che i 3 cavi devono presentare delle lunghezze nominalmente uguali, infatti l’effetto di sbilanciamento del ponte dovuto all’influenza della temperatura sui cavi di collegamento è proporzionale alla differenza di lunghezza dei cavi.

Nel collegamento a tre fili la variazione di resistenza dei cavi di collegamento si compensa in quanto tale variazione ha luogo su lati adiacenti del ponte di Wheatstone. Poiché la resistenza è proporzionale anche alla lunghezza dei cavi, se i conduttori, nel collegamento a 3 cavi presentano lunghezze diverse, allora lo sbilanciamento del ponte è proporzionale alla differenza di lunghezza dei cavi. L’effetto di disturbo di tipo modificante non è eliminabile con tecniche di compensazione come l’effetto interferente visto prima e la soluzione comunemente adottata consiste in una correzione a posteriore dei dati.

Un estensimetro viene incollato su un cilindro di acciaio di diametro d, in direzione parallela alla forza esterna, per misurare il carico agente in direzione assiale. Il ponte di misura viene completato con tre resistori da 120 . 1) Si determini il carico corrispondente ad uno sbilanciamento del ponte di 0.50 mV tenendo conto che il ponte è alimentato a 4V 2)Si determini lo sbilanciamento del ponte per effetto di una variazione di temperatura di +5 °C Sono dati: diametro d = 1.00 inc Modulo Young E=205 Gpa Coefficiente Poisson =0.30 Fattore di taratura K=2.0550.5% Resistenza dell’estensimetro R=120 0.3%  Sensibilità trasversale St=(0.7 0.2)% Coefficiente di dilatazione termica della griglia g=1510-6 °C-1 Coefficiente di dilatazione termica dell’acciaio m=1110-6 °C-1 Coefficiente di temperatura della resistività elettrica e=2010-6 °C-1

La variazione di resistenza manifestata dall’estensimetro sarà pari a: La relazione tensione-deformazione nel caso in esame, trattandosi di una sollecitazione di tipo monodimensionale è: Sostituendo si ottiene quindi:

La variazione di resistenza correlata all’incremento di temperatura di +5°C è pari a: Di conseguenza la deformazione fittizia risulta di:

Lo schema di seguito riportato, rappresenta una catena strumentale in cui sono presenti in cascata, rispettivamente, un trasduttore, un amplificatore ed un registratore grafico (tipo plotter). Si esegua la riduzione dei blocchi del sistema sino a giungere ad un unico blocco che correla la grandezza di ingresso gi(i) con quella di uscita gu(i). 2 1 ) ( wt i Kt + - Ka K n w x gi(i) gu(i) Sono dati

Di seguito sono riportate le relazioni essenziali dell’algebra a blocchi necessarie per la risoluzione dell’esercizio proposto a) gi(i) gu(i) K1 K2 gi(i) gu(i) b) - + gi(i) gu(i) gi(i) gu(i) Nello schema proposto sono presenti due anelli di retroazione (negativa) nidificati, si prende in esame inizialmente l’anello più interno. In questo anello prima di poter impiegare la formula di riduzione b) è necessario applicare l’equivalenza a) nel tratto orizzontale. Lo schema che si ottiene è riportato di seguito.

) ( wt i Kt + - ) ( wt i Kt + - w ) ( wt i Kt + - w w gi(i) gu(i) 2 1 ) ( wt i Kt + - Ka K n w gi(i) gu(i) 2 1 ) ( wt i Kt + - Ka K w gi(i) gu(i) gi(i) gu(i) 2 1 ) ( wt i Kt + - Ka K w

2 1 ) ( wt i Kt + - Ka K w gi(i) gu(i) 2 1 ) ( wt i Kt + - Ka K gi(i) gu(i) L’anello di retroazione si può pensare come caratterizzato da un blocco unitario 2 1 ) ( wt i Kt + Ka K gi(i) gu(i)

Dopo alcune semplificazioni si ha 2 1 ) ( wt i Kt + Ka K gi(i) gu(i) Dopo alcune semplificazioni si ha 2 1 ) ( wt i Kt + Ka K gi(i) gu(i) Il blocco equivalente si ottiene moltiplicando i vari blocchi fra loro gi(i) gu(i)