Limite di una funzione appunti

Limite di una funzione Sinteticamente possiamo dire che il limite di una funzione y = f(x) è lo studio del comportamento della variabile indipendente y, cioè la funzione f(x), al variare della variabile indipendente x. Consideriamo la funzione di equazione Sappiamo che non possiamo attribuire a x il valore 2 perché non fa parte del suo dominio, tuttavia possiamo chiederci come si comporta la funzione, cioè la grandezza y, quando x assume valori che ad esso si avvicinano. Nella tabella che segue abbiamo calcolato le coordinate di alcuni punti della funzione le cui ascisse hanno valori prossimi a 2: x y 1,7 9,99 1,8 10,64 1,9 11,31 1,99 11,9301 1,999 11,993001 x y 2,2 13,44 2,1 12,71 2,01 12,0701 2,005 12,035025 2,001 12,007001

Questo comportamento della funzione è espresso dal seguente limite: x Dall’analisi della tabella sembra che, più l’ascissa del punto si avvicina a 2, più l’ordinata si avvicina a 12, vale a dire che, quando i valori della variabile indipendente x si addensano attorno a 2 (escludendo però tale valore), i corrispondenti valori della variabile dipendente y si addensano attorno a 12. Questo comportamento della funzione è espresso dal seguente limite: Grafico della funzione x y 2,2 13,44 2,1 12,71 2,01 12,0701 2,005 12,035025 2,001 12,007001 x y 1,7 9,99 1,8 10,64 1,9 11,31 1,99 11,9301 1,999 11,993001

Definizione Si dice che la funzione y = f(x) ha per limite il numero reale l (o converge ad l ) per x che tende a x0, e si scrive se, comunque si sia fissato un numero reale positivo  che individua un intorno di l, esiste un intorno di x0, in generale dipendente dalla scelta fatta per , tale che per tutti i suoi punti che appartengono al dominio della funzione, eccettuato al più x0, il corrispondente valore della funzione differisce da l meno di .

 Algebricamente la definizione data equivale Scegliamo un numero positivo  piccolo a piacere (per esempio 0,5 oppure 0,1 o anche 0,01) e individuiamo un intorno di l: (l , l+ ). Algebricamente la definizione data equivale a dire che la disequazione y y=f(x) A questo intorno, se il limite è l, deve corrispondere un intorno di x0. l+ l  | f(x) – l | f(x) deve ammettere fra le sue soluzioni un intorno di x0, cioè un intervallo che contiene x0 al suo interno (sempre escludendo eventualmente x0) qualunque sia il valore scelto per . l x0 x O x0 " x0+’ x Intorno di x0 Così che, preso un qualsiasi punto x all’interno dell’intorno di x0 il valore corrispondere f(x) deve essere all’interno dell’intorno di l e quindi risulterà: |f(x) – l| < 

Da cui: Esempio 1 Data la funzione: vogliamo verificare che Quindi, scelto un numero  positivo piccolo a piacere, costruiamo un intorno del limite 4. In corrispondenza di questo intorno dovrà corrispondere un intorno di 6 e per ogni x che appartiene all’intorno di 6, il corrispondente valore della y dovrà distare dal limite 4 meno di . Per  scegliamo il valore 0,1   = 0,1 Così l’intorno di 4 sarà: (4 – 0,1; 4 + 0.1)  (3,9; 4,1) Per y = 3,9 avremo: Per y = 4,1 avremo: Pertanto, (5,7; 6,3) è un intorno di 6. All’interno di questo intorno di 6, scegliamo il punto 5,9. Per x = 5,9 avremo: Da cui:

Da un punto di vista matematico, per dimostrare che dobbiamo far vedere che la disequazione ha fra le sue soluzioni un intorno del punto 6, per ogni possibile scelta di . Risolviamo allora la disequazione che sappiamo essere equivalente al sistema L’insieme soluzione è dunque l’intervallo 6 – 3 < x < 6 + 3  che, qualunque sia il valore scelto per , rappresenta un intorno di 6; il limite è dunque verificato.

4+ 4 4 f(x)  x 6 Intorno di 6

Esempio 2 Data la funzione: vogliamo verificare che Quindi per dimostrare la verità di tale uguaglianza, dobbiamo far veder che la disequazione ha fra le sue soluzioni un intorno del punto 3, per ogni possibile scelta di . Risolviamo allora la disequazione che sappiamo essere equivalente al sistema: L’insieme soluzione è dunque l’intervallo 5/2  /2 < x < 5/2 + /2 che non rappresenta un intorno di 3 per qualsiasi valore di : se poniamo  = 1,5 avremo (1,75 ; 3,25) che è un intorno di 3, ma ponendo  = 0,5 avremo (2,25 ; 2,75) che non è un intorno di 3. Quindi il limite non è verificato e pertanto non è 6.

Possiamo concludere allora che non è vero che la funzione esaminata ha  = 1,5 6+1,5=7,5 61,5=4,5 Possiamo concludere allora che non è vero che la funzione esaminata ha per limite 6 quando x tende a 3.  = 0,5 6+0,5=6,5 60,5=5,5

Bibliografia M. Re Fraschini – G. Grazzi Progetto Matematico 2 Atlas ITIS Chieti - 5A Sirio a.s 2012/2013 Prof. Luciano Alberici