MODULO Q OPERAZIONI CON I VOLUMI UNITÀ Q2 SISTEMAZIONI SUPERFICIALI Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

SPIANAMENTI ORIZZONTALI Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

SISTEMAZIONI SUPERFICIALI Una sistemazione superficiale (spianamento) è l’insieme delle operazioni di movimento di masse terrose necessarie per trasformare la superficie fisica di un terreno in una superficie piana, orizzontale o inclinata. Il piano che si ricava dalla trasformazione superficiale del terreno viene detto piano di progetto; la sua giacitura spaziale può essere: al disotto del terreno (spianamento con sterri); al disopra del terreno (spianamento con riporti); parte al disopra e parte al disotto del terreno (spianamento misto). Nel caso di spianamenti misti, in relazioni ai volumi delle masse terrose coinvolte, si hanno: spianamenti di compenso (uguaglianza tra i volumi delle masse di sterro e di riporto); spianamenti con piano assegnato (senza uguaglianza tra i volumi delle masse di sterro e di riporto). Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629] DEFINIZIONI Gli spianamenti riguardano piccole porzioni di territorio, pertanto la rappresentazione per il loro studio è, in generale, il piano quotato. A Il volume dello spianamento è quello del solido compreso tra il terreno e il piano di progetto. La quota del piano di progetto in corrispondenza della verticale condotta da un punto A del terreno è definita quota di progetto dello stesso punto (QPA) La differenza tra la quota di progetto (QPA) di un punto A, e la corrispondente quota del terreno (QTA) è detta quota rossa del punto A (qA): Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

CALCOLO DEI VOLUMI DELLE MASSE Il calcolo dei volumi delle masse interessate a uno spianamento, studiato su un piano quotato, deve seguire la sequenza delle seguenti fasi temporali: Definizione del piano di progetto. Calcolo delle quote di progetto di ciascun punto del terreno. Calcolo delle quote rosse di ciascun punto del terreno (spigoli dei prismi individuati dal piano quotato). Definizione dei punti di passaggio (di quota rossa nulla) in corrispondenza dei lati del piano quotato che agli estremi presentano quote rosse di segno opposto. Definizione delle linee di passaggio come collegamento dei punti di passaggio appartenenti alla stessa falda. Calcolo delle aree delle sezioni normali triangolari in corrispondenza di ciascun prisma individuato. Calcolo dei volumi con la formula del prisma a sezione triangolare, tenendo separati quelli di sterro da quelli di riporto. Negli spianamenti tutti in sterro o tutti in riporto non saranno effettuate le fasi connesse alla ricerca dei punti e delle linee di passaggio. Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

GLI ELEMENTI DEL PIANO QUOTATO Quando si studia uno spianamento su un piano quotato, si immagina di conoscere, o comunque di poter calcolare, tutti gli elementi plano-altimetrici del terreno. A A’ B’ E’ C’ D’ C B D E E A B C D a b c d e f g S1 S2 S3 Vista planimetrica Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

SPIANAMENTI ORIZZONTALI Il piano di progetto orizzontale costituisce di fatto una semplificazione del problema degli spianamenti, in quanto tutti i punti del terreno presentano la stessa quota di progetto QP (tanto che si parla impropriamente di quota del piano di progetto). E E’ A’ B’ C’ D’ A A’ B’ E’ C’ D’ C B D E Piano di progetto orizzontale Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629] SPIANAMENTO ORIZZONTALE A QUOTA ASSEGNATA -1 (con soli volumi di sterro) PROBLEMA: determinare i volumi connessi allo spianamento orizzon-tale posizionato alla QP=10 m. A C B D E E A B C D S1 S2 S3 (17) (12) (16) (14) (22) Quote del terreno VOLUME DELLO SPIANAMENTO Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629] SPIANAMENTO ORIZZONTALE A QUOTA ASSEGNATA -1 (con soli volumi di sterro) Calcolo delle quote rosse (q=QP–QT): A C B D E qA=–7 qB=–2 qC=–6 qD=–4 qE=–12 E A B C D S1 S2 S3 (17) (12) (16) (14) (22) Quote del terreno e quote rosse (–7) (–2) (–6) (–4) (–12) Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629] SPIANAMENTO ORIZZONTALE A QUOTA ASSEGNATA -1 (con soli volumi di sterro) Calcolo dei volumi: E A B C D S1 S2 S3 (17) (12) (16) (14) (22) (7) (2) (6) (4) (12) Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629] SPIANAMENTO ORIZZONTALE A QUOTA ASSEGNATA -2 (con soli volumi di sterro e di riporto) PROBLEMA: determinare i volumi connessi allo spianamento orizzonta-le posizionato alla QP=15 m. E A B C D S1 S2 S3 (17) (12) (16) (14) (22) Quote del terreno A C B D E Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629] SPIANAMENTO ORIZZONTALE A QUOTA ASSEGNATA -2 (con soli volumi di sterro e di riporto) Calcolo delle quote rosse (q=QP–QT). E A B C D S1 S2 S3 (17) (12) (16) (14) (22) Quote del terreno e quote rosse qB=+3 qC=–1 qD=+1 qE=–7 qA=–2 (–2) (+3) (–1) (+1) (–7) A E B D C Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629] SPIANAMENTO ORIZZONTALE A QUOTA ASSEGNATA -2 (con soli volumi di sterro e di riporto) Calcolo dei punti di passaggio (q=0, sui lati con estremi di quote rosse di segno opposto) e delle linee di passaggio. +3 B A –2 x1 Quote del terreno e quote rosse A (17) (–2) +3 B C –1 x2 x1 (–7) (0) (22) +1 D A –2 x3 x3 E +1 D C –1 x4 x5 (+3) (12) B +1 D E –7 x5 D x2 x4 C (14) (16) (+1) (–1) Le linee di passaggio uniscono punti di passaggio appartenenti alla stessa falda. Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629] SPIANAMENTO ORIZZONTALE A QUOTA ASSEGNATA -2 (con soli volumi di sterro e di riporto) Calcolo dei volumi (individuando prismi omogenei a sezione triangolare). Volumi di riporto A (17) (–2) x1 (–7) (0) S’1 S’2 S’3 S’’’1 S’’1 S’’2 S’’’2 S’’3 S’’’3 (22) x3 Volumi di sterro E (0) x5 (+3) (12) (0) B (0) x2 x4 D (0) C (14) (16) (+1) (–1) Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

SPIANAMENTI ORIZZONTALI DI COMPENSO Negli spianamenti di compenso i volumi di sterro devono eguagliare quelli di riporto. Perché ciò avvenga è necessario che il piano orizzontale sia collocato a una altezza ben definita. Per determinare la quota di progetto QP a cui collocare il piano orizzontale, affinché si realizzi il compenso tra sterri e riporti, è necessario utilizzare un piano orizzontale di riferimento collocato a una quota arbitraria QRIF più bassa rispetto a quelle dei punti del terreno in modo che, rispetto a questo piano, vi sia un volume VRIF solo di sterro. È poi necessario determinare questo volume VRIF rispetto al piano arbitrario scelto come riferimento. Esso viene calcolato come volume relativo a uno spianamento a quota assegnata, ed è fornito dalla somma dei volumi dei singoli prismi a sezione triangolare: Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

SPIANAMENTI ORIZZONTALI DI COMPENSO Successivamente viene calcolato di quanto occorre spostare il piano arbitrario di riferimento per ottenere il piano orizzontale che genera compenso tra sterro e riporto. Indicando con h tale quantità e con STOT l’area complessiva del terreno (STOT=S1+S2+S3…), considerando poi che il solido che si viene a creare ha le basi orizzontali e parallele, si ha: h La quota di progetto QP a cui collocare il piano orizzontale di compenso sarà: S1 S2 S3 A questo punto si procede come illustrato in precedenza per gli spianamenti a quota assegnata (in questo caso QP). Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

SPIANAMENTI INCLINATI Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

SISTEMAZIONI SUPERFICIALI Quando dalla sistemazione superficiale del terreno si ricava un piano inclinato si è nell’ambito di spianamenti in cui il piano di progetto è un piano inclinato. La procedura di calcolo degli spianamenti inclinati si discosta da quella vista per gli spianamenti orizzontali per la sola (ma significativa) seguente differenza: negli spianamenti orizzontali tutti i punti del terreno (piano quotato) hanno la stessa quota di progetto QP; negli spianamenti inclinati, invece, a ogni punto del terreno K corrisponde una diversa quota di progetto QKP, che pertanto deve essere calcolata per ciascun punto del terreno. Per tutti gli altri aspetti (calcolo quote rosse, punti e linee di passaggio, calcolo dei volumi) la procedura è analoga a quella degli spianamenti orizzontali. In questo ambito, l’identificazione dei piani inclinati nello spazio avverrà con i parametri della retta di massima pendenza dei piani stessi. Tale tecnica non è la più efficiente, tuttavia non richiede la conoscenza della geometria analitica dello spazio, e si adatta bene a problemi su piani quotati con un limitato numero di falde triangolari. Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

SPIANAMENTO INCLINATO CON PIANO ASSEGNATO Nel nostro contesto il modo più conveniente di assegnare un piano è quello di definire tre punti appartenenti a questo piano. Nella pratica sul terreno vengono individuati tre punti su cui fare passare il piano di progetto, che successivamente verranno rilevati ottenendo le relative coordinate spaziali. Immaginiamo di dover spianare il piano quotato ABCDE costituito da tre falde triangolari, con un piano inclinato di progetto passante per i punti i tre punti ACD (dunque coincidente con la falda ACD). A B C D E Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

LA RETTA DI MASSIMA PENDENZA DEL PIANO Il primo passo per lo studio dello spianamento è quello di determinare i parametri della retta di massima pendenza del piano di progetto ACD, necessari per poter calcolare le quote di progetto dei punti del terreno. Essa è una retta perpendicolare a una orizzontale; nel nostro caso possiamo utilizzare come orizzontale la congiungente i due punti a quota 18, cioè il punto D e il punto H sul lato opposto AC. A B C D E Retta di massima pendenza di ACD orizzontale H Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

LA RETTA DI MASSIMA PENDENZA DEL PIANO La posizione del punto H su AC di quota 18, che con D forma l’orizzontale HD di quota 18, può essere ottenuta sia per via grafica che analitica. Tracciando la perpendicolare a HD dal punto A otteniamo una delle rette di massima pendenza del piano ACD. Per il calcolo della sua pendenza pmax, è necessario ricavare l’angolo φ dal triangolo risolvibile ADH. C 8 2 D H φ orizzontale B S1  S2 E A Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629] LE QUOTE DI PROGETTO Dato che il piano assegnato deve passare per i punti ACD, le quote di progetto per questi punti coincidono con le quote del terreno. Per calcolare le quote di progetto dei restanti punti B e E, è necessario tracciare da questi punti le perpendicolari alla retta di massima pendenza (cioè le orizzontali), quindi ottenere le distanze che i piedi delle perpendicolari formano con l’origine A della retta di massima pendenza. C D B A’ Es. 12 m A” E ’ ” Es. 14 m A Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629] LE QUOTE ROSSE Le quote rosse nei vertici ACD, naturalmente, sono nulle. Le quote rosse nei vertici B e E vengono calcolate dalla differenza tra le quote di progetto e le quote del terreno. Non essendoci punti di passaggio oltre a quelli che definiscono il piano di progetto, esse consentono di calcolare i volumi di sterro e di riporto: VOLUME DI STERRO VOLUME DI RIPORTO C D B E A Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

I VOLUMI DELLO SPIANAMENTO In questo esempio il volume di sterro è costituito dal solo prisma ABC; analogamente quello di riporto dal solo prisma ADE. Per il loro calcolo, dopo aver ottenuto le aree della sezione retta con normali operazioni planimetriche sui triangoli ABC e ADE, si applica direttamente la formula del prisma a base triangolare. C (0) D (0) B (–16) S1 S2 (+8) E (0) A Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

SPIANAMENTI INCLINATI DI COMPENSO Negli spianamenti inclinati di compenso la procedura ricalca esattamente quella adottata nell’ambito degli spianamenti con piani orizzontali. Ricordiamo brevemente i passaggi fondamentali. Determinazione dei parametri del piano inclinato di progetto (posizione e pendenza della retta di massima pendenza). Adozione di un piano di riferimento, parallelo a quello di progetto, collocato in un certo punto K e a una quota arbitraria QKRIF. A questo proposito occorre considerare che (come per le quote di progetto) le quote su questo piano variano in ogni punto, pertanto la quota QKRIF andrà scelta sufficientemente bassa da rendere tutte le quote rosse relative a questo piano negative. È poi necessario determinare il volume VRIF rispetto al piano arbitrario scelto come riferimento. Esso viene calcolato come volume relativo a uno spianamento a quota assegnata, ed è fornito dalla somma dei volumi dei singoli prismi a sezione triangolare: Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]

SPIANAMENTI INCLINATI DI COMPENSO Successivamente viene calcolato di quanto occorre TRASLARE parallelamente a se stesso il piano arbitrario di riferimento, per ottenere il piano che genera compenso tra sterro e riporto. Indicando con h tale quantità e con STOT l’area complessiva del terreno (STOT=S1+S2+S3…), si ha: La quota di progetto QiP, che i generici punti i assumeranno sul piano inclinato di compenso, sarà: A questo punto si procede come illustrato in precedenza sia per gli spianamenti inclinati che per quelli orizzontali, determinando prima le quote rosse, quindi i punti e le linee di passaggio, e infine i volumi dello spianamento. Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]