Parte XII: Cenni di teoria della relatività Corso di Fisica Generale II Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte XII: Cenni di teoria della relatività Il principio di Relatività di Galilei Il teorema di addizione delle velocità Inconsistenza dell’Elettromagnetismo con la Meccanica Classica L’esperimento di Michelson e Morley I principi della Relatività di Einstein Simultaneità di due eventi e sincronizzazione Le trasformazioni di Lorentz Contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi Lo Spazio-tempo di Minkowski ed il cono di luce Il quadrivettore quantità di moto e la relazione massa-energia

Il Principio di Relatività di Galilei Le Leggi della Meccanica sono le stesse in tutti i possibili sistemi di riferimento inerziali x t P x’ t’ O y z z’ y’ O’ uzt Riferimenti Inerziali R ed R’: Traslano con velocità u=cost. Trasformazioni di Galilei x ’= x x = x’ y’ = y y = y’ z’ = z - uzt z = z’ + uzt’ t’ = t t = t’ R  R’ R’  R

Alcuni Commenti Le equazioni per (x,y) ed (x',y') sono una diretta conseguenza dell' isotropia dello spazio Le equazioni per t e t’ esprimono il postulato dell’esistenza di un tempo assoluto Vale il Principio di Reciprocità: RR' è la trasformazione inversa di R'  R e si ottiene con u  - u. Di conseguenza la distinzione R= "in quiete" R'="in moto" è puramente arbitraria: un osservatore 1) solidale con R vede O' allontanarsi con vel. u 2) solidale con R' vede O allontanarsi con vel. -u Il concetto di moto è relativo Postulato della Teoria della Relatività: E’ impossibile distinguere per mezzo di un esperimento o fenomeno fisico un riferimento inerziale da un’altro Le misure delle distanze in R ed in R' sono eseguite con regoli dalle stesse caratteristiche chimico-fisiche, che si suppone non cambino nei passaggi R’R’, calibrati una volta per tutte a t=0

Il Teorema di addizione delle velocità Siccome dt=dt’, r’=r-ut, e la velocità di trascinamento è costante “In quiete” “In moto” Ciò corrisponde alla nostra intuizione, ma è una conseguenza dell’ ipotesi di tempo assoluto La conseguenza di ciò è che le accelerazioni sono le stesse in ogni riferimento e quindi anche le forze (se le masse restano costanti) “In quiete” “In moto” Quindi se m=m’, F=F’. In riferimenti non inerziali

Inconsistenza fra l’Elettromagnetismo e la Meccanica Classica Le equazioni di Maxwell Costanti universali Le costanti e0,m0 e c dipendono solo dalla scelta del sistema di unità di misura. Quindi è strano che una velocità non dipenda dalla scelta del riferimento Sia e0 che m0 possono essere espresse in termini di c Le predizioni delle equazioni di Maxwell accadono: e.g. onde elettromagnetiche, dipoli oscillanti, etc.

Tre ipotesi di consistenza Alcuni risultati dell’elettromagnetismo sono: Non esistono azioni a distanza I campi si propagano per onde la cui velocità di fase nel vuoto è c c è una costante universale I campi non sono invarianti per cambiamento di riferimento, (e.g. in un riferimento solidale con una carica puntiforme questa è ferma e non subisce forze di Lorentz in un campo magnetico perché v=0) Tutto ciò è palesemente inconsistente con le trasformazioni di Galilei È possibile elaborare Tre ipotesi di consistenza Le onde elettromagnetiche si propagano in un mezzo, l’ ETERE, che è anche un riferimento "privilegiato", la cui esistenza deve essere provata (Maxwell,1879) Le Trasformazioni di Galilei sono corrette ma l’Elettromagnetismo è non formulato correttamente (Teorie Emissive, Lorentz-Fitzgerald e altri) Le Trasformazioni di Galilei non sono corrette e la Teoria della Relatività va corretta (Relatività ristretta di Einstein)

Caratteristiche delle teorie di consistenza Teoria Sistema di riferimento Dipendenza della velocità Connessione spazio-temporale Trasformazioni Teoria classica dell’Etere Etere c non dipende dal moto della sorgente spazio e tempo sono indipendenti Trasformazioni di Galilei Teorie emissive Nessun rif. privilegiato c dipende dal moto della sorgente Teoria della Relatività Speciale spazio e tempo sono interdipendenti Trasformazioni di Lorentz  

Confronto Teorie-Esperimenti Esperimento Etere Staz. no contraz. Etere Staz. contraz. di Lorentz Etere solidale corpi pond. Sorgente originale Balistica Relatività speciale Aberrazione sì no Coeff. Fizeau irr. Michelson-Morley Michelson-Morley l. s. Kennedy-Thorndike Sorg. e specchi in moto De Sitter, stelle binarie Massa-velocità Massa-Energia Radiaz.cariche in moto Decadimento mesoni Trouton-Noble Induzione unipolare Legenda: sì= accordo; no=disaccordo; irr.= irrilevante per la teoria

L’esperimento di Michelson-Morley Per verificare l’esistenza dell’etere Michelson ideò il seguente esperimento. Se l’Etere esiste non può essere solidale con la Terra. Quindi facendo interferire i raggi che percorrono i tratti AS1 ed AS2 e ruotando l’interferometro deve essere possibile misurare una variazione di frange s1 s2 l2 l1 A d L T Esperimento I s1 s2 l2 l1 A d L T Esperimento II

Se la Terra si muove rispetto a l’Etere con velocità v e la direzione di tale moto è AS2, il tempo t2 che impiega la luce a percorrere il tratto AS2A sarà Mentre a percorrere il tratto AS1A starà un tempo t1, perché vi sarà stata un traslazione 2AH=vt1 del punto A A H S1 La distanza fra le frange di interferenza dipende dal rapporto fra la differenza di cammino delle due onde e la lunghezza d’onda

Pertanto se l’Etere esiste è solidale con la Terra (cioè non esiste) Se adesso si ruota l’inteferometro di 90 gradi (Esp. II), i ruoli di l1 ed l2 si invertono La rotazione dovrà dare dunque una variazione di frange legata alla differenza di fase Pertanto ripetendo l’esperimento per tantissime differenti rotazioni, a tutte le ore del giorno e della notte, tutti i giorni dell’anno, nell’arco di molti anni (inclinazione dell’asse terrestre) si dovrà apprezzare una differenza nelle frange di interferenza che corrisponderà al momento in cui la direzione del moto terrestre rispetto all’Etere sarà parallelo Michelson e Morley non rivelarono MAI variazioni delle frange superiori agli errori sperimentali Pertanto se l’Etere esiste è solidale con la Terra (cioè non esiste)

I principi della Relatività di Einstein Ci sono evidenze sperimentali e teoriche sufficienti ad ammettere che la velocità di fase delle onde elettromagnetiche è costante Queste evidenze falsificano la teoria della Relatività di Galilei, in particolare negano il teorema di addizione delle velocità Per quanto spiacevole e contrario alle nostre intuizioni possa essere la teoria della Relatività di Galilei è inesatta e va ampliata per tenere in conto che c=costante È necessario, pertanto, introdurre un nuovo principio della Teoria della Relatività: c=costante Sulla base dei nuovi principi bisogna cercare le nuove leggi di trasformazione che devono ridursi alle trasformazioni di Galilei per velocità relative piccole rispetto a c In Fisica quello che conta sono i fatti e non le sensazioni, che sono basate sulla nostra esperienza quotidiana per la quale u << c

2) La velocità delle onde elettromagnetiche ha lo stesso valore c in Pertanto i Principi della Teoria della Relatività di Einstein devono diventare: 1) Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i riferimenti inerziali 2) La velocità delle onde elettromagnetiche ha lo stesso valore c in tutti i riferimenti inerziali Come vedremo ciò ha delle conseguenze concettuali drammatiche: bisogna abbandonare il concetto di tempo assoluto Bisogna poi dare delle ricette per la sincronizzazione degli orologi in sistemi in moto relativo

Simultaneità e sincronizzazione La costanza di c in tutti i riferimenti implica che due eventi simultanei nel sistema in quiete non lo siano per un osservatore in moto "In quiete" "In moto" Un onda è emessa da una sorgente posta nell’originedel riferimento al tempo t=0 quando O’ coincide con O A B O d l’onda el.mag. raggiunge i punti A e B simultaneamente l’onda el.mag. NON raggiunge i punti A e B simultaneamente perché A si avvicina ad O’ con velocità u, mentre B si allontana da O’ con velocità -u O’ d A B u

Sincronizzazione degli orologi Il tempo trascorre in maniera differente in riferimenti inerziali diversi Non si può pensare di sincronizzare gli orologi portandoli prima tutti nell’origine O e quindi trasportarli nei punti dello spazio (x,y,z) perché il moto altera lo scorrimento del tempo. Ogni punto dello spazio deve avere il suo proprio orologio, e deve usarsi il fatto che c=costante (II principio della relatività) per sincronizzare tutti gli orologi: un orologio in (x,y,z) è sincronizzato con un orologio in O se segna un tempo quando è raggiunto da un’onda partita da O all’istante in cui l’orologio in O segnava t(O)=0 e se ciò è vero per tutti gli istanti successivi. Spazio e tempo sono quindi intimamente connessi Si deve introdurre il concetto di Evento Puntuale mediante l’assegnazione delle quattro variabili (x,y,x,t) Possiamo ora cercare le equazioni di trasformazione per due riferimenti inerziali imponendo che non esista un tempo assoluto ma che la velocità della luce sia una costante

Le Trasformazioni di Lorentz Consideriamo due riferimenti inerziali, e cerchiamo dapprima le trasformazioni lungo le direzioni perpendicolari alla direzione del moto di trascinamento x t x’ t’ O y z z’ y’ O’ uzt a a’ Deve essere: y=a(R); y’=a’(R’);=> k=a’/a Ora posso invertire le direzioni di x e z e non deve fisicamente cambiar nulla se lo spazio è omogeneo: x-x, y y, z -z; x’ -x’, y’ y’, z’ -z’. A causa dello scambio z -z, z’ -z’ il ruolo di R ed R’ si scambia (si inverte uz): deve quindi essere pure k=a/a’. Ma siccome a e a’ non dipendono dallo stato di moto di O e O’ deve essere k2=1. Siccome non ho cambiato il segno di y deve essere per forza k=+1 e quindi Ovvero le distanze lungo y (perpendicolare al moto relativo) non cambiano. Pertanto

Non può però essere così per z e z’ (la direzione del moto) e per t e t’ (non esiste il tempo assoluto) Tali trasformazioni devono essere lineari, perché deve essere sempre possibile scambiare il ruolo di R ed R’ (Principio di Reciprocità) Proviamo con leggi del tipo: dove i parametri REALI g, a e b vanno determinati imponendo c=costante Se all’istante t=0 O ed O’ coincidono e una sorgente emette un’onda sferica, le equazioni del fronte d’onda nei due riferimenti saranno "In quiete" "In moto" Sostituendo nell’ultima equazione a x’,y’,z’ e t’ Ma i fronti d’onda devono coincidere, quindi per confronto si ottengono le tre equazioni

Ricavando b2 dalla I e a2 dalla III E riscivendo la II, quadrandola e sostituendo Sostituendo nelle altre La scelta dei segni deve essere consistente col fatto che R è in quiete e R’ è in moto (a,g>0 e b<0) Si ottengono così le famose Trasformazioni di Lorentz

RR’ R’R Rispettano il Principio di Reciprocità (scambiare u-u equivale a scambiare il sistema in quiete con quello in moto) Rispettano l’isotropia dello Spazio Si riducono alle trasformazioni di Galilei nel limite u<<c Ecco perché Galilei e la nostra intuizione falliscono: le velocità cui siamo abituati sono troppo piccole rispetto alla velocità della luce

Definendo In pratica g differisce da 1 solo per valori di b > 0.2, cioe u > 6.0 107 m/sec

Contrazione delle lunghezze Un osservatore fermo in R vuole misurare la lunghezza d di un regolo fermo in R’ O z z’ O’ d z1 z2 z’1 z’2 uzt L’osservatore in O deve registrare contemporaneamente rispetto al suo orologio le coordinate z1 e z2 "In quiete" "In moto" Gli oggetti in moto rispetto ad un osservatore appaiono contratti nella direzione del moto, rispetto al risultato ottenibile da un osservatore FERMO rispetto ad essi

Dilatazione dei tempi Un osservatore fermo in O’ (in moto) misura la distanza temporale fra due eventi O z z’ O’ uz Troverà Per la quarta trasformazione di Lorentz (con z’=0) Per un osservatore “in moto il tempo” scorre più lentamente che per un osservatore “in quiete” (paradosso dei gemelli) Si definisce t il tempo proprio di un corpo in moto come il tempo segnato da un orologio solidale col corpo stesso

Lo Spazio-Tempo di Minkowski È possibile definire una lunghezza pari a x4=ct. Siccome c è una costante universale, queste grandezze fisiche, tempo e lunghezza hanno lo stesso significato fisico. (Attenzione 4 è un apice non un esponente!) Un evento puntuale EE(x,y,z,t) può essere quindi definito in termini delle quattro coordinate spazio-temporali EE(x1=x,x2=y,x3=z,x4=ct) Nei fatti abbiamo definito uno spazio quadridimensionale, lo Spazio-tempo di Minkowski, nel quale le trasformazioni di Lorentz assumono una forma estremamente più simmetrica Inoltre le quantità sono identiche, quindi invarianti per trasformazione di Lorentz In questo spazio quadridimensionale s gioca il ruolo del modulo del vettore posizione, e quindi le trasformazioni di Lorentz vanno pensate come rotazioni delle coordinate in questo spazio

In questo spazio il moto di un punto materiale deve essere pensato come una sequenza di eventi puntuali: cioè il punto materiale in differenti punti spaziale a differenti tempi La legge oraria del moto sarà quindi una traiettoria detta linea universo x4 x3 450 Futuro Passato Altrove q Per moti solo nella direzione x3 Se la velocità della luce è il limite superiore di tutte le velocità, allora tutte le linee-universo sono contenute nelle zone indicate da Passato (x4<0) e Futuro (x4>0)e le regioni indicate con Altrove sono irraggiungibili. Il Presente è il punto x4=0 e le linee tratteggiate sono le linee-universo dei fotoni che viaggiano alla velocità della luce.

In caso di moti "spazialmente bidimensionali“ le linee-universo dei fotoni descrivono un cono di rotazione detto il cono di luce x3 x4 x2 Futuro Passato Altrove Nel caso di moti tridimensionali il cono di luce è un ipercono quadridimensionale

I quadrivettori Sono la generalizzazione del concetto di vettore tridimensionale e si definiscono in termini delle componenti lungo i quattro assi spazio-temporali I quadrivettori si trasformano seguendo le trasformazioni di Lorentz e si distingue fra componenti covarianti (pedici) e controvarianti (apici) legate da: Si definisce prodotto scalare di due quadrivettori la somma dei prodotti delle componenti controvarianti del primo per le corrispondenti covarianti del secondo Di conseguenza il “modulo quadro” di un quadrivettore, ovvero il prodotto scalare di un quadrivettore per sé stesso è Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso non è quindi definito positivo: Se (AiAi) >0 si dice che il vettore è di genere spazio; se (AiAi) <0 si dice che il vettore è di genere tempo; se (AiAi) =0 si dice che il vettore è di genere luce

I quadrivettore velocità e quantità di moto Si definisce il quadrivettore velocità come la derivata del quadrivettore posizione rispetto al tempo proprio Si definisce quantità di moto il quadrivettore con e m0 è la massa a riposo del punto materiale Per piccoli valori di v/c (semplice sviluppo in serie):

Relazione massa-energia Si definisce energia totale di un punto materiale come somma dell’energia in quiete e dell’ energia cinetica (caso della particella libera) Confrontando con l’espressione della quantità di moto La circostanza che energia e massa siano legate da una costante universale implica la completa equivalenza di questi concetti in fisica relativistica Se calcoliamo il prodotto scalare della quantità di moto per sé stessa Quest’ultima relazione va sotto il nome di relazione di dispersione