Breve introduzione alle Geometrie non euclidee

L’opera “Elementi” di Euclide Euclide (300 a.C.) riorganizza la geometria in forma sistematica di tipo ipotetico-deduttivo Raccoglie tutte le conoscenze dei matematici in 13 libri Nei primi 4 vi sono i concetti fondamentali della geometria piana

Il Primo Libro degli Elementi 23 definizioni: descrizione intuitiva dei concetti geometrici con riferimento al reale “Punto è ciò che non ha parti” Assiomi o nozioni comuni: verità di carattere generale che hanno validità universale 5 postulati: verità evidenti, caratteristiche della geometria

Costruzione della geometria euclidea DEFINIZIONI POSTULATI ASSIOMI TEOREMI

1° Postulato Da ogni punto a ogni altro è possibile condurre una linea retta A B Rette incidenti (un punto in comune) Unicità della retta C1: Due rette distinte non possono avere più di un punto in comune

2° Postulato Un segmento può essere indefinitamente prolungato in linea retta C1: Ogni retta è un insieme infinito di punti A B

3° Postulato Attorno ad un centro scelto a piacere è possibile tracciare una circonferenza con raggio scelto a piacere C r C = centro della circonferenza r = raggio della circonferenza

Tutti gli angoli retti sono uguali 4° Postulato Tutti gli angoli retti sono uguali O’ r’ s’ O r s Osservazione: Con due movimenti rigidi è possibile sovrapporre l’uno sull’altro

5° Postulato Dati nel piano una retta r ed un punto P esterno ad essa esiste una ed una sola retta s passante per P e non avente alcun punto in comune con la r r P Rette parallele (coincidenti) Rette parallele (distinte)

Semirette, Semipiani e Segmenti Semipiano r  O Semiretta A B Segmento

I Triangoli Triangolo Rettangolo Triangolo scaleno Triangolo isoscele Triangolo equilatero Triangolo isoscele

Classificazione dei Triangoli Triangoli isosceli Triangoli scaleni Triangoli equilateri

I Quadrilateri Trapezio Trapezio isoscele Rombo Parallelogramma Quadrato Rettangolo

Classificazione dei Quadrilateri Trapezi Parallelogrammi Rettangoli Quadrati Rombi

Il V Postulato Se due rette con una trasversale formano angoli coniugati interni la cui somma è minore di due retti, quelle due prolungate si incontrano dalla stessa parte in cui stanno gli angoli” A P   B

Altre formulazioni “Due rette parallele formano con una trasversale angoli coniugati interni supplementari” (Tolomeo) “Due rette complanari equidistanti sono parallele” (Posidonio)” “Per un punto fuori da una retta si può condurre una ed una sola retta parallela alla retta data” (Proclo)

Il gesuita Saccheri (1677-1733) Opera: “Euclide emendato da ogni macchia” (1733) Tenta di dare una dimostrazione per assurdo del quinto postulato “Ammettiamo i primi 4 postulati e neghiamo il quinto: se si ottiene il teorema T e il non T allora il V è valido!”

L’opera di Saccheri Trovò teoremi poco intuibili, ma logicamente validi, e credette di aver trovato la contraddizione! Getta invece le basi per le geometrie non euclidee. Utilizza il cosiddetto “Quadrilatero Birettangolo Isoscele”

Il quadrilatero birettangolo isoscele M C      A N B

L’ipotesi dell’angolo retto B D C      AB=CD Somma angoli interni triangolo = 180° Corrisponde alla geometria euclidea

L’ipotesi dell’angolo ottuso B D C      AB>CD Somma angoli interni triangolo > 180° Vale se vale il V postulato, ma ciò implica l’ipotesi dell’angolo retto: è pertanto contraddittoria.

L’ipotesi dell’angolo acuto B D C      AB<CD Somma angoli interni triangolo < 180° Conduce all’esistenza di rette complanari asintotiche: Saccheri la esclude perché contraria all’intuizione, sebbene logicamente valida.

GEOMETRIA ELLITTICA

La Geometria ellittica o riemanniana si ottiene “depennando” il V postulato e ponendo al suo posto il postulato: Non esiste alcuna retta s passante per il punto P e parallela ad una retta r prefissata. Essa sarà “non contradditoria“, ossia non porterà mai ad affermare un asserto e contemporaneamente il suo opposto, se è possibile trovare un modello che soddisfi sia ai primi quattro postulati scritti da Euclide che al postulato.

Gli enti primitivi della Geometria di Riemann sono: Il piano Esso è costituito da una qualunque superficie sferica Il punto Esso è costituito da una qualunque coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie sferica Il retta Essa è costituita da una qualsiasi circonferenza massima

Esempio di geometria ellittica Sulla superficie della sfera non esistono 'rette' o meglio geodetiche che non si incontrano.                                               Nella figura sono rappresentati due meridiani perpendicolari all'equatore e che si incontrano perpendicolarmente al polo Nord. Si vede che la somma degli angoli interni del triangolo curvilineo ABN è 270°.

Si dice anche che è una geometria a CURVATURA POSITIVA. In generale la somma degli angoli interni di un triangolo di questo tipo è sempre maggiore di 180° e non è costante per tutti i triangoli. Mentre nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°, nella geometria ellittica la somma degli angoli interni del triangolo è variabile e dipende dalla grandezza del triangolo. Si dice anche che è una geometria a CURVATURA POSITIVA.

Spazio a curvatura positiva Definizione di spazio “chiuso”

La figura di sinistra è un rettangolo con angoli “ottusi”

GEOMETRIA IPERBOLICA

La Geometria iperbolica o di Bolyai- Lobacevskij cancella il V postulato e pone al suo posto il postulato Esistono almeno due rette s’ e s’’ passanti per il punto P e parallele ad una retta prefissata r. Essa sarà “non contradditoria“ se è possibile individuare un modello che soddisfi sia ai primi quattro postulati scritti da Euclide che al postulato.

Gli enti primitivi della Geometria di Bolyai-Lobacevskij sono: Il piano Esso è costituito dalla superficie di una qualunque sella Il punto Esso è costituito da un qualsiasi punto interno alla superficie curva Il retta Essa è costituita da una qualunque geodetica

Un modello intuitivo, didatticamente utile per la geometria iperbolica o di Lobacevskij è un po' più complesso. In particolare, non esiste un modello che rappresenti globalmente una geometria di questo tipo. Si può prendere una superficie a forma di sella, o meglio la pseudosfera oppure un semplice cerchio.

Il triangolo curvilineo ABC su un pezzo di pseudosfera è il corrispondente di un triangolo rettilineo del piano euclideo, perché è composto da linee geodetiche. La somma degli angoli interni di questo triangolo è minore di 180° e dipende dalla grandezza del triangolo.

Per il punto P, esterno alla geodetica r, passano più geodetiche (p1 e p2) che non incontrano la geodetica r e che quindi sono parallele a r.

Le geometrie non euclidee e la fisica

La nascita delle Geometrie non Euclidee nell’Ottocento diede una profonda svolta agli studi della Matematica, facendo crollare la convinzione che essa fosse una “scienza esatta” fondata su verità evidenti e indimostrabili. La Matematica scoprì in sé numerose antinomie. I concetti di spazio assoluto e tempo assoluto dovevano necessariamente essere rivisti.

Tutte le più importanti convinzioni circa la concezione del mondo espressi da Newton, ossia la nozione di spazio e di tempo assoluti, e quella delle particelle solide elementari, sono state sconvolte, nei primi decenni del 1900, dalla teoria della relatività di Albert Einstein (1879-1955) e dallo sviluppo della fisica atomica. Secondo la fisica classica, da Euclide al modello meccanico di Newton dell'universo, lo spazio geometrico era concepito come caratterizzato da rette ed angoli retti e fondamentalmente uniforme in ogni suo punto.

Lo spazio era assoluto, non aveva alcuna relazione con l'esterno, e rimaneva sempre eguale e perfettamente immobile, mentre tutte le variazioni che avvengono nel mondo fisico erano descritte in funzione del tempo, anche esso assoluto, e la materia era completamente inerte e senza vita.

Gauss fu il primo a riconoscere con chiarezza che solo con un’indagine sperimentale sullo spazio si poteva decidere la natura geometrica che meglio può descriverlo. Egli dedusse che lo spazio fisico, almeno in regioni limitate, è euclideo oppure, se non è euclideo, la deviazione è così piccola da non poter essere rilevata con gli strumenti allora disponibili.

Poincarè da parte sua affermò che era impossibile determinare sperimentalmente le caratteristiche della geometria dello spazio fisico. Egli sostenne che la scelta di una geometria oppure di un’altra ha un carattere convenzionale e propose di accettare la geometria euclidea perché più semplice ed intuitiva e di adattare poi le leggi fisiche alle proprietà empiriche riscontrate.

Nel 1916 Einstein grazie alla formulazione della teoria della relatività generale contribuì fortemente allo studio del rapporto tra geometria e spazio fisico. Egli introdusse una quarta variabile, il tempo, e secondo la sua teoria la struttura dello spazio era determinata da spazi gravitazionali e non dalla geometria euclidea. Seguendo il linguaggio non euclideo adottato da Einstein non era possibile parlare di contrazioni gravitazionali dei corpi solidi nello spazio fisico

La teoria della relatività di Einstein è basata sull’ipotesi che i corpi materiali producono una distorsione dello spazio circostante modificandone la geometria. Tale teoria affonda le radici nella nascita delle geometrie non euclidee.

Le geometrie non euclidee sono plausibili in uno spazio che non presenta le caratteristiche di omogeneità che gli assegnava Newton: esse presuppongono uno spazio curvo Einstein spiegò i fenomeni dell’inerzia e della gravitazione facendo ricorso ad un modello geometrico quadrimensionale. Esso consiste nello spazio-tempo reso curvo dall’azione delle masse e delle energie e la sua curvatura, punto per punto, dipende dalla presenza o meno di masse.

Dalla curvatura dello spazio deriva anche la questione della struttura dell’universo, che non risulterebbe chiuso ma in espansione, in accordo con le scoperte astronomiche fatte proprio in quegli stessi anni. La teoria della relatività ebbe quasi subito una clamorosa conferma grazie alla scoperta dell’incurvamento dei raggi luminosi in prossimità di corpi celesti di massa elevata.

Considerazioni finali Per molti secoli si è ritenuto che la Geometria di Euclide fosse l’unica adatta a descrivere il mondo che ci circonda; su di essa Galileo e Newton fondarono la fisica classica. Bisogna giungere ai primi del 1900, con la fisica relativistica e quantistica di Einstein, la fisica delle particelle che si muovono a velocità vicina a quella della luce (300 000 km/sec), per vedere notevoli applicazioni delle geometrie non euclidee.

Ma quale curvatura ha il nostro universo?... E’ “aperto” o “chiuso”?...

GRAZIE per l’attenzione