formulare il problema della Morfodinamica In cosa consiste? Assegnati: In questa lezione ci proponiamo di formulare il problema della Morfodinamica In cosa consiste? Assegnati: La geometria del corso d’acqua, Le portate liquida e solida immesse nella sezione iniziale (eventualmente in funzione del tempo) Vogliamo determinare L’assetto del fondo (eventualmente in funzione del tempo)
A questo scopo abbiamo bisogno dei seguenti ingredienti: Equazione di continuità della fase fluida Equazione del Moto della fase fluida Equazione di continuità della fase solida Equazione del moto della fase solida + Condizioni iniziali e al contorno
1 - Equazione di continuità della fase solida
Volume di sedimenti contenuto nel v.d.c. all’istante t : C (Ω dx) Di controllo v.d.c Volume di sedimenti contenuto nel v.d.c. all’istante t : C (Ω dx) Volume di sedimenti contenuto nel v.d.c. all’istante t + dt : (C + 𝜕𝐶 𝜕𝑡 dt) (Ω dx) C 𝜕(Ω dx) 𝜕𝑡 dt t+dt t Qs dt Ω dx 𝜕C 𝜕𝑡 dt Ω (Qs + 𝜕Qs 𝜕𝑥 dx)dt t t+ dt dx x x cM ( 𝜕η 𝜕𝑡 dt) bf dx x+dx h(x,t)
Equazione di continuità dei sedimenti Qs dt - cM ( 𝜕η 𝜕𝑡 dt) bf dx - (Qs + 𝜕Qs 𝜕𝑥 dx)dt - C 𝜕(Ω dx) 𝜕𝑡 dt = Ω dx 𝜕C 𝜕𝑡 dt [ C 𝜕Ω 𝜕𝑡 + Ω 𝜕C 𝜕𝑡 + cM bf 𝜕η 𝜕𝑡 + 𝜕Qs 𝜕𝑥 ] dx dt = 0 𝜕(CΩ) 𝜕𝑡 + cM bf 𝜕η 𝜕𝑡 + 𝜕Qs 𝜕𝑥 = 0 Caso particolare: solo trasporto di fondo cM bf 𝜕η 𝜕𝑡 + 𝜕Qsf 𝜕𝑥 = 0 (Equazione di Exner)
2 - Equazione del moto della fase solida
Dunque, in generale porremo: Si assume che il fondo evolva su scale temporali molto più lente della scala temporale su cui evolve il campo di moto, sicché l’equazione del moto della fase solida viene approssimata con la relazione algebrica per la portata solida valida in moto uniforme Dunque, in generale porremo: dove:
3, 4 - Equazioni di continuità e del moto della fase fluida
Equazione di continuità della fase fluida Equazione del moto della fase fluida (de Saint Venant) dove: